12二次根式的性质

专题1.2二次根式的性质【学习目标】1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.【知识要点】要点一、二次根式的双重非负性二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于任意一个二次根式a，可知(1)a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；(2)a表示一个数或式的算术平方根，可知a≥0.要点诠释：①被开方数非负a≥0；②二次根式的值非负a≥0.要点二、二次根式的性质

1.（≥0）；

2..

要点诠释：

1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.2.与要注意区别与联系特别注意：≥0时，==；<0时，无意义，=.1.若，则实数x满足的条件是（）A．x=2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【答案】D【分析】根据二次根式的性质即可得出，由此得解．解：∵，∴，即．故选：D．【总结升华】本题考查二次根式的性质．熟记二次根式的性质是解题关键．【变式】（1）=_____________.=_____________.【答案】(1)10;(2)0.2.实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7 B．7 C． D．无法确定【答案】A【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可．解：∵由图可知，5＜a＜10，

∴，，

∴原式，故选：A．【总结升华】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出的取值范围是解答此题的关键．【变式】等式成立的条件是（）A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1 D．x≥1或x≤﹣1【答案】A解：∵等式成立，∴，解得故选A.【总结升华】成立的条件是：且.

二次根式的性质（专项练习）1．若等式，成立，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【详解】解：∵等式成立，∴a≥0．

故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．2．对于有理数x，的值是（）A． B．2020 C． D．0【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，列出不等式即可求出x的值，然后代入即可．【详解】解：由题意可得解①得，x≤2020解②得，x≥2020∴x=2020∴==故选A．【点睛】此题考查的是二次根式有意义条件的应用，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0，是解题关键．3．实数，在数轴上所对应的点的位置如图所示，则的值为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据实数，在数轴上所对应的点的位置，判断出，的正负，再化简原式算出结果．【详解】解：∵，∴原式

．

故选．【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．4．等于（）A．3 B．3 C．±3 D．9【答案】A【分析】根据实数的性质即可化简．【详解】==3故选A．【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知实数的运算法则．5．下列运算中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质分别判断即可．【详解】解：A、，故错误；B、，故错误；C、，故正确；D、，故错误；故选C．【点睛】本题考查了二次根式的性质，学会利用该性质化简式子是解题的关键．6．如果，则取值范围为（）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根据算术平方根的非负性可得，根据可得，据此即可作答．【详解】∵算术平方根非负，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴取值范围：，故选：B．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，二次根式的化简以及绝对值的知识，掌握二次根式的化简以及算术平方根的非负性是解答本题的关键．7．若，则a的取值范围是（

）A．a＞3 B．a≤3 C．a≥3 D．【答案】B【分析】结合完全平方公式对被开方式子进行变形，然后利用二次根式的性质进行化简，从而结合绝对值的意义作出分析判断．【详解】解：∵，∴，∴a≤3，故选：B【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质，理解相关公式是解题关键．8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】先根据数轴判断出a、b和a－b的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．【详解】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0∴==a－b＋a－b=故选A．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的关键．9．已知，则的值为（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】根据二次根式有意义的条件求出的值，然后代入求值即可．【详解】解：，，，解得：，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的混合运算法则，根据二次根式有意义的条件得出的值是解本题的关键．10．已知|2020﹣a|+＝a，则4a﹣40402的值为（）A．6063 B．8084 C．4042 D．2021【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件，得出a2021≥0，从而得出2020a<0，将式子化简整理后得到，根据积的乘方的逆用，将4a﹣化为的形式，求解即可．【详解】解：∵a2021≥0，∴a≥2021，∴2020a<0，∴化简|2020﹣a|+＝a得：（a2020）+=a，整理得：=2020，两边同时平方：a2021=，∴，====4×2021=8084．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和化简求值，根据二次根式有意义的条件将等式化简整理是解题的关键．11．是某三角形三边的长，则等于（

）A． B． C．10 D．4【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：是三角形的三边，，解得：，，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（）A．2a B．2b C．﹣2a D．2【答案】C【分析】先根据a、b在数轴上的位置，即可推出，，，由此进行求解即可．【详解】解：由数轴得：，，∵，∴∴，，，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了根据数轴判定式子的符号，无理数故值，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13．把中根号前的（m－1）移到根号内得（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断出m1的符号，然后解答即可．【详解】∵被开方数，分母.∴，∴.∴原式．故选D．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．14．下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．【详解】解：A.,本选项不成立；B.，本选项不成立；C.=，本选项不成立；D.，本选项成立.故选：D.【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得出b＜0＜1＜a，进而化简求出即可．【详解】解：由数轴可得：b＜0＜1＜a，则原式=ab．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题关键．二、填空题16．实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果是_____．【答案】0【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简二次根式即可得．【详解】由数轴的定义得：，则，因此，，，故答案为：0．【点睛】本题考查了数轴、二次根式的化简，熟练掌握数轴的定义是解题关键．17．若3，m，5为三角形的三边长，则化简的结果为________．【答案】【分析】先根据三角形三边的关系判断2m和m8的正负，然后根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵3，m，5为三角形的三边长，∴53<m<5+3，∴2<m<8，∴2m<0，m8<0，∴=(2m)+(m8)=2+m+m8=2m10．故答案为：2m10．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．18．，则______.【答案】【分析】把平方后，得到，取算数平方根即可求解.【详解】∵，∴，∴（舍负）.故答案为：【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键.19．若，则的平方根是______．【答案】【分析】根据绝对值、二次根式和偶次方的非负性得到a、b、c的值，利用平方根的定义即可求解．【详解】解：∵，∴，，，即，，，∴，∴的平方根是，故答案为：．【点睛】本题考查绝对值、二次根式和偶次方的非负性，以及平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．20．若为整数且n为小于8的正整数，设整数部分为x，小数部分为y，则_______．【答案】【分析】为整数，则3n开方能开得尽，n为小于8的正整数，故n=3，进一步求x和y，计算代数式的值即可．【详解】解：∵为整数，∴3n开方能开得尽，∵n为小于8的正整数，∴，∴，∴，∴，，∴=．故答案为：【点睛】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．21．已知实数、在数轴上的位置如图所示，化简=_____________【答案】【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得．【详解】由数轴的定义得：，则，因此，，，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴、绝对值、二次根式、整式的加减，熟练掌握数轴的定义是解题关键．22．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．【答案】2【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．【详解】解：由数轴可得：0＜a＜2，则a+=a+=a+（2﹣a）=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a的取值范围．23．设实数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是________．【答案】【分析】先根据数轴得出a＜0＜b，|a|＜|b|，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可．【详解】解：由数轴可知：a＜0＜b，|a|＜|b|，∴a－b＜0，a＋b＞0，∴原式＝＝|a−b|＋|a＋b|＝b−a＋a＋b＝2b，故答案为：2b．【点睛】本题主要考查对二次根式的性质，绝对值的意义等知识点的理解和掌握，能正确化简二次根式是解此题的关键．24．计算：______．【答案】【详解】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式．故答案为：．【点睛】此题主要考查了实数的运算和二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．25．给出表格：0.00010.011100100000.010.1110100利用表格中的规律计算：已知，则____．（用含的代数式表示）【答案】【分析】根据题意易得，然后问题可求解．【详解】解：由，则；故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．三、解答题26．如图A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．利用图形化简：．【答案】0【分析】根据数轴判断出a、b、c的大小情况，然后根据绝对值的性质与二次根式的性质化简整理即可．【详解】解：由已知得，b＞a＞c，所以，a−b＜0，c−b＜0，a−c＞0，所以，＝＝＝0．故答案为：0．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质：＝|a|，根据数轴上的点准确识图判断出a、b、c的大小情况是解题的关键．27．已知，求的值．【答案】【分析】根据非负数的意义求出、的值，再把进行变形，最后把、的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵∴，，解得：，，∵，当，时，原式．【点睛】本题考查非负数的性质，代数式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的性质．理解和掌握绝对值，二次根式的性质是解题的关键．28．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：①；②；③；④__________；…（2）深入探究，观察下列等式：①；②；③；…根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：__________．（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：①；②．【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．【详解】解：（1）10；（2）；（3）①原式；②原式．【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键29．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：(1)的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；(3)当时，求的值．【答案】(1)小亮(2)(3)2【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可求出答案．（2）根据二次根式