高考数学一轮复习专练5二次函数与一元二次方程不等式

五二次函数与一元二次方程、不等式(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2024·六安模拟)已知集合A=xx2+x-2≤0,B=xx-2A.xB.xC.xD.x【解析】选D.A={x|2≤x≤1},B=xx<-1或x≥2,故A∩B={x|2.(5分)一元二次不等式ax2bx+c>0的解集为x2<x<3,则不等式cx2bx+a<0A.-∞,1B.1C.-∞,-12D.-【解析】选A.因为不等式ax2bx+c>0的解集是x2<故a<0且2,3为ax2bx+c=0的两根.根据根与系数的关系有ba故b=5ac=6a,故cx2bx+a<0可写成6ax25ax+a<0,因为a<0,所以6x25解得x<13或x>12,所以不等式cx2bx+a<0的解集为-∞,13.(5分)(2024·连云港模拟)某地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格为2400元,为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少52t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是 (A.{t|t≥3} B.{t|3≤t≤5}C.{t|3<t<5} D.{t|t≤5}【解析】选B.由题设2400×t%×(2052t)≥900且0<t<8,整理得t28t+15≤0,可得3≤t≤54.(5分)若不等式a(1+x)≤x2+3对于x∈[0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是 ()A.0,3 BC.(∞,2] D.(∞,3]【解析】选C.原不等式可化为a≤x2设f(x)=x2则f(x)=x+12-2x-2+4当且仅当x+1=4x+1,即x=1时等号成立,函数f(x)有最小值为因为a≤f(x)恒成立,所以a≤2.【加练备选】关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则a的取值范围为()A.{a|a>0} B.{a|0<a<1}C.{a|0<a≤1} D.{a|a>1}【解析】选B.要使一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则需满足a>0Δ=2a5.(5分)(多选题)在R上定义运算:abcd=adbc,若不等式x-1a-2A.1 B.32 C.12 【解析】选CD.不等式x-1a-2a+1x≥1对任意实数x恒成立,有(x1)x(a+1)(a2)≥1,即x2xa2+a+1≥0恒成立,所以Δ=1+4解得12≤a≤36.(5分)(多选题)(2024·镇江模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为xx≤3或x≥4,则下列结论正确的是A.a>0B.不等式bx+c<0的解集为xC.不等式cx2bx+a<0的解集为xx<D.a+b+c>0【解析】选AD.由ax2+bx+c≥0的解集为xx≤3或x≥4得ax2+bx+c=a(x3)(x4)=a(x27x+12),a>0,故故b=7a,c=12a,a+b+c=6a>0,故D正确;对于B,bx+c<0,解得x>127,故B错误对于C,cx2bx+a<0为12ax2+7ax+a<0,解得13<x<14,故C7.(5分)设a∈R,若关于x的不等式x2ax+1≥0在1≤x≤2上有解,则a的取值范围为________.

【解题指南】根据不等式等价变形,转化为对勾函数在1≤x≤2上的最值,即可求解.【解析】由x2ax+1≥0在1≤x≤2上有解,得x2+1x≥a在1≤x则a≤x2+1xmax,由于x2+1x=x+1x,而x+1x在1≤x≤2上单调递增,故当x=2时,x+答案:-∞,8.(5分)(2024·济南模拟)已知命题“p:∃x∈R,ax2ax≥1”,若¬p是真命题,则实数a的取值范围是__________.

【解题指南】根据存在量词命题的否定为全称量词命题,结合二次函数的恒成立问题求解即可.【解析】命题“¬p:∀x∈R,ax2ax<1”为真命题,则ax2ax1<0恒成立.当a=0时,1<0恒成立,a<0Δ=a2+4综上4<a≤0.答案:-9.(10分)(2024·北京模拟)求关于x的不等式的解集.(1)3-(2)x2a+1ax+1≥0(【解析】(1)由3-2xx+2>2所以-4x-1x解得2<x<14故不等式的解集为-2(2)原不等式等价于x-当0<a<1时,a<1a,不等式的解集为-∞,a∪当a=1时,不等式即为x-12≥0,当a>1时,a>1a,不等式的解集为(∞,1a]【能力提升练】10.(5分)(2024·南京模拟)当a>0,b>0时,不等式b<1x<a的解是 (A.{x|x<1b或x>1B.{x|1a<x<1C.{x|x<1a或x>1D.{x|1b<x<0或0<x<1【解析】选A.由1x<aa>0⇒ax-1x>0⇒xax-1>0由b<1xb>0⇒xbx+1>0⇒x>0或x<1b,所以不等式b{xx<-1b或x11.(5分)(2024·天津模拟)已知函数f(x)=x|x|,则不等式f(1m)<f(m21)的解集为()A.-B.0C.-D.-∞,-2∪【解题指南】将f(x)化为分段函数,判断其单调性,再利用单调性将不等式f(1m)<f(m21)化为一元二次不等式求解即可.【解析】选A.因为f(x)=x|x|=-x2,x≥0所以f(1m)<f(m21)⇔1m>m21⇔m2+m2<0⇔2<m<1,所以不等式f(1m)<f(m21)的解集为-212.(5分)(2024·北京模拟)“m<1”是“x2mx+1>0在x∈1,+∞上恒成立”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x2mx+1>0在x∈1,+∞上恒成立,得m<x+1x在x令f(x)=x+1x,由对勾函数的性质可知f(x)在x∈1,所以f(x)>f(1)=2,所以m≤2,所以“x2mx+1>0在x∈1,+∞上恒成立”所以“m<1”是“x2mx+1>0在x∈1,+∞上恒成立【加练备选】

(2024·深圳模拟)对任意的实数m∈0,2,不等式x-2x-3+m>0恒成立,则x的取值范围是 ()

A.{x|x<1或x>3} B.{x|x<1或x>2}

C.{x|x<2或x【解析】选A.依题意,对任意的实数m∈0,2,不等式x-2x-3+m>0恒成立,

整理得x-2m+x-2x-3>0,令hm=x-13.(5分)关于x的不等式x24x+4a≥a2在1,6内有解,则a的取值范围为【解析】因为x24x+4a≥a2在1,6内有解,所以a24a≤x2-4x设y=x24x1≤x≤6,则当x=6时,ymax所以a24a≤12,解得2≤a≤6,所以a的取值范围为-2答案:-14.(10分)(2024·成都模拟)已知____________.

①x+1x-1(x>1)②不等式(1a)x24x+6>0的解集是{x|3<x<1}.从上述条件①、条件②中任选一个,补充在上面的横线上作为已知,并作答:(1)解不等式2x2+(2a)xa>0;(2)若ax2+bx+3≥0的解集为R,求实数b的取值范围.【解析】(1)选①,因为x>1,则x1>0,所以x+1x-1=x1+1当且仅当x1=1x-1,即x=2时,等号成立,即选②,由题意知:3和1是方程(1a)x24x+6=0的两个根,1a<0,所以-2=41-a不等式2x2+(2a)xa>0,即2x2x3>0,解得x<1或x>32故不等式的解集为(∞,1)∪(32,+∞)(2)由(1)知,a=3,不等式ax2+bx+3≥0,即3x2+bx+3≥0,不等式的解集为R,所以b24×3×3≤0,解得6≤b≤6,故实数b的取值范围为[6,6].15.(10分)(2024·遂宁模拟)设y=ax2+(1a)x+a2.(1)若不等式y≥2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式ax2+(1a)x1<0a∈【解析】(1)不等式y≥2⇔ax2+(1a)x+a≥0.当a=0时,ax2+(1a)x+a≥0⇔x≥0,即不等式y≥2仅对x≥0成立,不满足题意.当a≠0时,要使ax2+(1a)x+a≥0对一切实数x恒成立.则a>0Δ=(1-a)2-4a2≤0⇔a>0((2)当a=0时,ax2+(1a)x1<0⇔x1<0解得x<1.当a≠0时,ax2+(1a)x1<0⇔ax+1x①若a>0,ax+1x-1<0的解为②若a<0,当1a=1即a=1时,ax+1x-1<0⇔x当a<1时,1a<1,ax+1x-1<0的解为x<当1<a<0时,1a>1,ax+1x-1<0的解为x<1综上,当a>0时,不等式的解集为x-当a=0时,不等式的解集为x|当1<a<0时,不等式的解集为{xx<1当a=1时,不等式的解集为x|当a<1时,不等式的解集为xx【素养