直线与圆的位置关系（第一课时） 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

数学必修第一册舒城一中高二（7）*2.5.1直线与圆的位置关系2024/10/26第二章直线和圆的方程（第1课时）引言

前面我们学习了直线的方程、圆的方程，用直线的方程研究了两条直线的位置关系，本节课我们类比用直线的方程研究两直线位置关系的方法，运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系.新课引入问题1直线与圆有哪些位置关系？新知探究直线和圆有两个公共点直线和圆有一个公共点直线和圆没有公共点,直线与圆的位置关系直线与圆公共点的个数相交2相切1相离0问题2如何判断直线与圆的位置关系？

几何法新知探究追问：还有其他判断直线与圆的位置关系的方法吗？rddrdr直线与圆的位置关系圆心到直线距离与半径比较相交d<r相切d=r相离d>r

几何法问题3类比直线与直线的位置关系代数方法，如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？新知探究利用坐标系，把点用有序数对表示，线用二元一次方程表示，圆对应一个二元二次方程.研究方法是把几何问题转化为代数问题，运用代数方法研究几何图形的性质。

研究直线与圆的位置关系问题，也不例外，我们用直线、圆的方程研究它们的位置关系。在解析几何中，我们用方程研究几何图形。联立直线方程直线与圆的位置关系联立直线与圆的方程方程组解的情况方程组解的情况两直线的位置关系追问：类比两直线的位置关系的研究方法，如何通过代数方法，研究直线与圆的位置关系？新知探究

（1）判断直线

l与圆C的位置关系；典例解析（2）如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.分析：几何—代数联立、解方程组代数—几何位置关系公共点个数②

①解法1（代数法）

（1）判断直线

l与圆C的位置关系；典例解析所以直线l与圆C相交，有两个公共点

典例解析

解法1

解法2（几何法）

（1）判断直线

l与圆C的位置关系；典例解析所以直线

l与圆C相交，有两个公共点位置关系d与r的比较

典例解析

xOy621BAC•如图，由垂径定理，得：例题小结判断直线与圆位置关系的方法(1)代数法：

在平面直角坐标系中,要判断直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系,可以联立它们的方程,通过判断方程组消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程.利用一元二次方程的判别式△的值来确定解的情况,从而判断直线与圆位置关系：①△＞0②△＝0③△＜0方程有两不等实根方程有两个相等实根方程无实数根直线l与圆C相交直线l与圆C相切直线l与圆C相离判断直线与圆位置关系的方法(1)几何法：

根据圆的方程求得圆心坐标与半径r,从而求得圆心到直线的距离d,通过比较d与r的大小,判断直线与圆的位置关系.若相交,则可利用勾股定理求得弦长.已知直线l:Ax+By+C=0,圆C:(x－a)2+(y－b)2=r2.设圆心C到直线l的距离为d，则有③d＞r①d＜r直线l与圆C相交，有两个公共点；②d＝r直线l与圆C相切，只有一个公共点；直线l与圆C相离，没有公共点.xyOABdC若直线l与圆C相交,则弦长公式为r例题小结

(1)几何法：用弦心距d，半径r及半弦构成直角三角形的三边.xyOABdr(3)代数法（弦长公式法）：不算出两交点，设而不求(2)代数法：计算出两交点直线与圆相交时弦长的求法例题小结位置关系相交相切相离公共点个数

个

个

个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝__________________________代数法：由

消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ_______________210d<rd＝rd>rΔ>0Δ＝0Δ<0直线与圆的位置关系的判断归纳总结巩固练习课本P931.判断下列各组直线l与圆C的位置关系,如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长.解:(1)3.判断直线2x－y＋2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长.巩固练习课本P93新知探究问题3

过圆上一点的圆的切线有几条？过圆外一点的圆的切线有几条？

下面我们来研究直线与圆相切的情况.PP追问：我们该如何去求过一点与圆相切的直线方程？

点+斜率

代数法1几何法2点斜式d=r斜率是否存在？典例解析

分析：P(2,1)典例解析例2

过点P(2,1)作圆O:x2＋y2＝1的切线l,求切线l的方程.分析：容易知道，点P(2,1)位于圆O:x2＋y2＝1外，过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方程为y-1=k(x-2)，k为斜率，由直线与圆相切可求出k的方程.•-1xOy112•P(2,1)r解1:(几何法)解2:(代数法)典例解析例2

过点P(2,1)作圆O:x2＋y2＝1的切线l,求切线l的方程.•-1xOy112•P(2,1)

变式1

过点P(1,2)作圆O:

x2+y2=1的切线l,求此切线l的方程.OPyx•解：由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得设切线l的方程为y-2=k(x-1),①当切线l的斜率存在时,此时，切线l的方程为3x-4y+5=0.②当切线l的斜率不存在时,解得此时直线x=1也符合题意.典例解析典例解析

解：xOy

过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2例题小结求过一点P的圆的切线方程的方法先判断点P与圆的位置关系若点P在圆上，切线有一条

若点P在圆外，切线有两条1.点P(x0,y0)在圆上时:

①先求切点与圆心连线的斜率k，

②再由垂直关系得切线的斜率为

，

③由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程

y=y0或

x=x0.(1)经过圆

上一点

的切线方程为

(2)经过圆

上一点

的切线方程为

(3)经过圆

上一点

的切线方程为切线方程设法：例题小结例题小结求过一点P的圆的切线方程的方法2.点P(x0,y0)在圆外时:(1)几何法:

设切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径，即d=r，可求得k，可得切线方程.(2)代数法:

设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由△=0求出k，可得切线方程.

若通过上述方法只求出一个斜率k,则说明另一条切线的斜率不存在,此时另一条切线方程为x=x0.做这种题要分类讨论：(答题模板)①当切线斜率不存在时，切线方程为x=x0;②当切线斜率存在时，设切线方程为y-y0=k(x-x0).巩固练习课本P932.已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切,求圆C的方程.3.过点P(3,－1)与圆C:(x－4)2+(y－2)2=1相切的切线方程为_________________.x=3或4x-3y-15=04.过点P(1,3)与圆C:(x－4)2＋(y－2)2＝10相切的切线方程为____________.3x－y＝0•xOy•P(3,-1)C(4,2)•xOyC(4,2)•P(1,3)巩固练习探究新知如图，在圆C：(x－a)2+(y－b)2=r2外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，切点分别为A，B，则切线长公式圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0

典例解析解：因为切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得。

课堂小结本节课你学会了哪些主要内容？判断直线与圆的位置关系代数法：①△＞0②