函数的极值课件 高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

复习引入1.函数单调性与导数的关系在某个区间(a,b)内，f'(x)>0→f(x)

在(a,b)内单调递增f'(x)<0→f(x)

在(a,b)内单调递减f(x)

在(a,b)内单调递增

→f'(x)≥0f(x)在(a,b)内单调递减

→f'(x)≤0探究(图一)

(图二)一般地，设函数y=fx)在x₀及其附近有定义，如果fx₀)的值比

x₀附近其他点的函数值都大，我们说Ax₀)是函数y=fx)的一个极大

值；并把x₀

称为函数fx)的一个极大值点.问题(1)函数)=H)在点ac的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系?(3)在点a,c附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律?对于可导函数fx),若x₀满足f'(x₀)=0,

在

x₀附近的左侧f'(x)

>0

,

右

侧

f(x)<0,那么x₀是函数fx)

的一个极大值点，fx₀)

是函数fx)

的一个极大值；问题：(2)函数y=fx)

在点a,c的导数值是多少?↑yf(x,)=0f(x)0

f'(x)<0a

Xo

b(图三)0(图一)x问题：

(图一)(

4

)

函

数y=fx)

在点b,d的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系?(

5

)

函

数y=f(x)

在点b,d的导数值是多少?(

6

)

在

点b,c

附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律?函数的极值：概念生成一般地，设函数y=fx)

在x₀及其附近有定义，如果fx₀)

的值比x₀附近其他点的函数值都小，

我们说x₀是函数fx)

的一个极小值点，fx₀)是函数y=fx)的一个极小值.对于可导函数y=f(x),

若

x₀

满足f'(x₀)=0,

在

x₀附近的左侧f(x)<0,

右

侧f'(x)>0,

那

么x₀

是函数fx)

的极小值点，fx₀

)是函数fx)

的极极《值值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值

.在定义中，极值点是自变量的值，极值指的是对应的函数值。(1

)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；(2)

一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个；(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系；(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；(5)单调函数一定没有极值.2.对极值概念的再理解3.y=f

(x)的极值点x。与f(x₀)=0

的关系一般来说，

“f'(x₀)=0”是“函数y=f(x)在点x=x₀处取得极值”的必要不充分条件

.若可导函数y=f(x)

在点x=x₀处可导，且在点x=x₀处取得极值，则f(x₀)=0;反

之，若f'(x₀)=0,

则x₀

不一定是函数y=f(x)的极值点.可导函数f(x)的极值点x₀

一定是导函数f(x)的变号零点.概念辨析

《判断(正确的打“

√

”,错误的打“×”).(1)极大值就是函数的最大值；(×)(2)函数的极大值比极小值大；(×)(

3)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个；(√)(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；(

)(5)若函数Ax)在(a,b)

内有极值，则Ax)在(a,b)

内一定不单调

.

((

6)导数值为0的点一定是函数的极值点

·

×)提示：不一定，如f(x)=x³,f'(0)=0,但f'(x)=3x²≥0,因此0不是f(x)=x³

的极值点

.

典型例题一、函数图像与极值的关系例

1(

1

)(多选)如图是函数y=f(x)的图象，则

(BC)A.

在x=—2时，函数y=f(x)取得极值B.

在

x=1

时，函数y=f(x)取得极值C.y=f(x)的图象在

x=0

处切线的斜率小于零

D,函

数

y=f(x)在区间(一2,2)上单调递增例

1.

(2)(多选)如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象，则A.

在x=-2

时，函数

y=f(x)取得极值B.

在x=1

时，函数

y=f(x)取得极值C.y=f(x)

的图象在x=0

处切线的斜率小于零D.函数y=f(x)在区间(一2,2)上单调递增1.函数y

=f(x)的导函数y=f(x)

的图象如图所示，则下列判断正确的是(

)

CA.在(-2,1)上f(x)是增函数B.在(1,3)上f(x)是减函数C.当x=2

时

，f(x)取得极大值D.当x=4

时

，f(x)取得极大值2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a,b)

上的极大值点的

个数为(B).A.1

B.2

C.3

D.4[解析]由导函数的图象可知，f'(x)在(a,b)上

与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零，故0不是

函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.、

不含参数的函数求极值例2

.求函数

4x+4

的极值.X(-0,-2)-2(-2,2)2(2,+十00十极大极小值二、不含参数的函数求极值例2.求函数

的极值.解：函数的定义域为R,f'(x)=x²-4=(x+2)(x-2)令f'(x)=0,

解得：x₁=-2,x₂=2当x变化时，f'(x),f(x),的变化情况如下表所以，当x=-2

时有极大值总结：求可导函数fx)的极值的步骤如下：(1).求函数定义域，导数f'(x);(2).求方程f'(x)=

0的根；(3).讨论f'(x)在这些根左右的符号，常常列三行多列的表格进行说明；X(-0,-3)-3(-3,3)1-

3(3,+00)十00十119-9新知运用例

1求函数y=3x³-x+1

的极值.[解析]y

=9x²-1,

令

y'=0,

解得当x变化时，y

'和y的变化情况如表所示：1心时

，y

有极大值，极大值为时y有极小值，极小值为二、不含参数的函数求极值因此当7●

f●四

、不含参数的函数求极值变式训练求下列函数的极值：(1)f(x)=x²e-×;[解析](1)函数f(X)

的定义域为R,f(x)=2xe-×+x²·e-×.(-x)'=2xe-×-x²e-×=x(2-x)e-×

.

令f'(x)=0,得x(2-x)e-×=0,解得x=0或x=2.当x变化时，f'(x),f(x)

的变化情况如表所示：X(-o,0)0(0,2)2(2,+0)f'(x)一0十0f(x)0入4e-2因时

，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)=0;当x=2时，f(x)

取得极大值，且极大值为

心X(0,e)e(e,+0)f'(x)十0f(x)1e(

的定义域为(0,+00),且令f'(x)=0,解得x=e.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表所示：故当-

时，函数(x)取得极大值，且极大值为●①当a

≤0时，f(x)>0,函数f(x)为(0,+0)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0

时，令f'(x)=0,解得x=a,

又当x∈(0,a)

时

，f'(x)<0,当x∈(a,+0)时，f'(x)>0,所以函数f(x)在x=a

处取得极小值，且极小值为f(a)=a-aln

a,无极大值综上所述，当a≤0

时，函数f(x)无极值；当a>0

时，函数f(x)在x=a

处取得极

小值a-alna,

无极大值.《3求含参函数的极值例2

已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)

,求函数f(x)的极值.方法总结求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对f'(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论

二

是看f(

x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.已知函数f(x)=Inx-ax+a.(

1

)

若a=1,求函数f(x)的极值；(2)求函数f(x)的极值.[解析](1

)当a=1

时，f(x)=Inx-x+1(x>0),则令f(x)>0,

解得0<x<1;令f'(x)<0,

解得x>1.所以f(x)

在(0,1)上单调递增，在(1,+0)上单调递减，故f(x)

在x=1处取得极大值，极大值为f(1)=0,无极小值.《3求含参函数的极值变式训练●处取(2)因为(X)=1n6-ax+a(x>0),所当a≤0时，f(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+00)上单调递增，无极值.当a>0时，令f(x)>0,解得

;令f'(x)<0,

解得因此，f(x)

在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在

得极大值，极大值为,无极小值.综上，当a≤0时

，f(x)无极值；当a>0

时

，f(x)有极大值，极大值为a-Ina-1,无极小值.事探究4函数极值的综合应用例

3(20

23·云南昆明五华区质检)已知曲线x=0

处切线的斜率为-2.(1

)

求a的值及f(x)的极小值；(2)讨论方程f(x)=m(m∈R)的实数解的个数.[解析](1)f(x)=x²+x-a,

因为在x=0处切线的斜率为-2

,所以f(0

)=-a

=-2,

解得a=2,所以f'(x)=x²+x-2=(x+2)(x-1).

令f'(x)=0,解得x=-2或x=1.当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如表所示.X(一0,-2)-2(-2,1)1(1,+0)f'(x)十00十f(x)入16故f(×的极小值为●综上所述

时，方程f(x)=m

有1个实数解；当时，方程f(x)=m

有2个实数解；当时，方程f(x)有3个实数解.(2)由(1)知，f(x)在(-00,-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，在(1,+00)上

单调递增，且当(x→+0)时，(f(x)→+0);当(x→-)

时

，(f(x)→-)方法总结(

1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就

是函数f(x)与

g(x)的图象的交点的横坐标.(

2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.变式训练已知函数f(x)=x³+ax²+bx+a²,

当

a=0,b=-3时，讨论方程f(x)=m

的根的个数[解析]因

为f(x)=x³+ax²+bx+a²,

所以f'(x)=3x²+2ax+b,

当a=0,b=-3

时，f'(x)=3x²-3,f(x)=x³-3x.

令f'(x)=0,

解得x=-1

或x=1,所以当x

∈(-00,-1)U(1,+0)时

，f(x)>0,f(x)在(-00,-1),(1,+0)上单调递

增；当

x∈(-1,1)时，f(x)<0,f(x)在(-1,1)上单调递减.故f(x)的极大值为f(一1)=-1+3=2

,f(x)的极小值为f(1)=1-3=-2.故当m=-2或m=2时

，f(x)=m有两个根；当m>2

或m<-2时，f(x)=m有一个根；当m∈(-2,2)时，f(x)=m有三个根1.函数的极值点、极值；

2.如何利用导数求极值；(1)求函数定义域，导数f'(x);(2)求方程f'(x)=0的根；(3)列表讨论f'(x)在这些根左右的符号；(4)写结论

.

3.已知函数的极值，求参数的值或范围.yf'(x₀)=0f'(x)>0课堂小结yf'(x

<0f'(x,)=0

f(x)

>0a

Xo

ba

Xof'(x)<0b

xxX(-0,-2)-2(-2,1)1(1,2)2(2,+0)0十不确定十0极小值不取极值极大值变式T设函数f(x)在R

上可导，其导函数为f(x),且函数

y

=(

x-1f(x)的图象如