2025届山东省临沂市重点中学数学高二上期末预测试题含解析

2025届山东省临沂市重点中学数学高二上期末预测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（）A.24 B.22C.20 D.162．如果双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的标准方程是（）A. B.C. D.3．已知抛物线，过抛物线的焦点作轴的垂线，与抛物线交于、两点，点的坐标为，且为直角三角形，则以直线为准线的抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.4．已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A.4 B.C. D.95．已知抛物线的焦点为F，过点F作倾斜角为的直线l与抛物线交于两点，则POQ(O为坐标原点)的面积S等于（）A. B.C. D.6．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是A.B.C.D.7．已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C， D.，8．椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（）A.3 B.4C.6 D.89．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm10．在等比数列中，若是函数的极值点，则的值是（）A. B.C. D.11．过双曲线Ω：(a＞0，b＞0)右焦点F作x轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M，且直线AM的斜率大于2，其中A为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为()A.(1,3) B.(3，＋∞)C.(1,) D.(，＋∞)12．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数在R上连续且可导，为偶函数且，其导函数满足，则不等式的解集为___.14．有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.15．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________.16．双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是等差数列，（1）求的通项公式；（2）求的最大项18．（12分）已知函数在区间上有最大值和最小值（1）求实数、的值；（2）设，若不等式，在上恒成立，求实数的取值范围19．（12分）如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角线，将△沿着对角线BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一点M，且平面ABCD，（1）求证：平面平面ABD；（2）求点M到平面ABE的距离；（3）求二面角的正弦值20．（12分）根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在点O（0，0），半径r＝3（2）圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4）21．（12分）已知椭圆，点在上，，且（1）求出直线所过定点的坐标；（不需要证明）（2）过A点作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22．（10分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，点在椭圆上，过的直线交椭圆于、两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得.【详解】设直线，的斜率分别为，由抛物线的性质可得，，所以，又因为，所以，所以，故选：A.2、D【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点代入，进而求得答案.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为，将代入得：，即双曲线方程为.故选：D.3、B【解析】设点位于第一象限，求得直线的方程，可得出点的坐标，由抛物线的对称性可得出，进而可得出直线的斜率为，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直线为准线的抛物线的标准方程.【详解】设点位于第一象限，直线的方程为，联立，可得，所以，点.为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出，则直线的斜率为，即，解得.因此，以直线为准线的抛物线的标准方程为.故选：B.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，考查计算能力，属于中等题.4、C【解析】由求得，代入求得，利用基本不等式求出它的最小值【详解】因为各项均为正数的等比数列满足，可得，即解得或（舍去）∵，，∴=当且仅当，即m=2,n=4时，等号成立故的最小值等于.故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，解题的关键是常量代换的技巧，所谓常量代换，就是把一个常数用代数式来代替，如，再把常数6代换成已知中的m+n,即.常量代换是基本不等式里常用的一个技巧，可以优化解题，提高解题效率.5、A【解析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意设直线的方程，与抛物线的方程，联立求出两根之和及两根之积，进而求出，的纵坐标之差的绝对值，代入三角形的面积公式求出面积【详解】抛物线的焦点为，，由题意可得直线的方程为，设，，，，联立，整理可得：，则，，所以，所以，故选：A6、C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n，则最后一项为3n-2右边均为2n-1的平方故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）7、A【解析】根据特称命题的否定是全称命题，结合已知条件，即可求得结果.【详解】因为命题p：，，故命题p的否定为：，.故选：A.8、D【解析】令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，于是得四边形为平行四边形，因此，而椭圆：的长半轴长，所以.故选：D9、A【解析】根据圆锥和球的体积公式以及半球的体积等于圆锥的体积，即可列式解出【详解】由题意可得，，解得．故选：A10、B【解析】根据导数的性质求出函数的极值点，再根据等比数列的性质进行求解即可.【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是函数的极值点，因为，且所以，故选：B11、B【解析】求点A和M的坐标，进而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，从而可解得离心率的范围.【详解】F(c,0)，设M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.答案：B【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12、C【解析】利用函数的奇偶性求出，求出函数的导数，根据导数的几何意义，利用点斜式即可求出结果【详解】函数的定义域为，若为奇函数，则则，即，所以，所以函数，可得；所以曲线在点处的切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知条件可得图象关于对称，在上递增，在上递减，然后分四种情况讨论求解即可【详解】因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以的图象关于对称，因为，所以当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，由，得，或，或，或，解得，或，或，或，综上，，所以等式的解集为故答案为：14、【解析】由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，①步：即步两阶，有种；②步：即步两阶与步一阶，有种；③步：即步两阶与步一阶，有种；④步：即步两阶与步一阶，有种；⑤步：即步两阶与步一阶，有种；⑥步：即步一阶，有种；综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种；故7步登完楼梯的概率为故答案为：15、.【解析】设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，求得,结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回，设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，则，，所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为:.故答案为：.16、【解析】首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17.考点：双曲线的定义.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的通项公式进行求解即可；（2）运用二次函数的性质进行求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，所以有，所以；【小问2详解】由（1）可知：，当时，有最大项，最大项为：.18、（1），；（2）.【解析】（1）分析函数在区间上的单调性，结合已知条件可得出关于实数、的方程组，即可解得实数、的值；（2）由（1）可得，利用参变量分离法可得出，利用单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：的对称轴是，又，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取最小值，当时，取最大值，即，解得.【小问2详解】解：由（1）知：，所以，，又，，令，则在上是增函数．所以，，要使在上恒成立，只需，因此，实数的取值范围为19、（1）证明见解析；（2）1；（3）.【解析】（1）过E作EO垂直于BD于O，连接AO，由勾股定义易得，由菱形的性质有，再根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论.（2）构建空间直角坐标系，确定相关点的坐标，进而求的坐标及面ABE的法向量，应用空间向量的坐标运算求点面距.（3）由（2）求得面MBA的法向量，结合（2）中面ABE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值，进而求其正弦值.【小问1详解】过E作EO垂直于BD于O，连接AO，因为，，故，同理，又，所以，即因为ABCD为菱形，所以，又，所以面ABD，又面EBD，所以面面ABD【小问2详解】以O为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，面ABE的法向量为，所以，令，则又，则点M到面ABE的距离为【小问3详解】由（2）得：面ABE的一个法向量为，且，若面MBA的法向量为，则，令，则所以，故二面角正弦值为20、（1）x2+y2＝9（2）x2+y2＝25【解析】（1）直接根据圆心坐标和半径，即可得到答案；（2）利用两点间的距离公式，求出圆的半径，即可得到答案；【小问1详解】根据题意，圆心在点O（0，0），半径r＝3，则要求圆的方程为x2+y2＝9；【小问2详解】圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4），要求圆的半径r＝＝5，则要求圆的方程为x2+y2＝25；21、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理列出方程，求出定点坐标，当斜率不存在时，设出点的坐标进行求解；（2）结合第一问的定点坐标，结合直角三角形斜边中线得到存在点，使得为定值，求出结果.【小问1详解】设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，因为，所以，即，根据，代入整理可得：，所以，整理化简得:，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：，解得：或（舍）.此时直线过点【小问2详解】由（1）可知因为，取中点，则此时，【点睛】直线过定点问题，一般处理思路是分斜率存在和斜率不存在两种情况，特别是斜率存在时，设出直