2023年上海市新高二年级上册数学同步讲练(暑假预习)第11章 简单几何体全章复习与测试含详解

第11章简单几何体全章复习与测试

【知识梳理】

一.棱柱的结构特征

1.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成

的多面体叫做棱柱.棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD-A'B'CD'）.

2.认识棱柱

底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面.

侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面.

侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.

顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点.

高：棱中两个底面之间的距离.

3.棱柱的结构特征

1两个底面互相平行

棱柱2.侧面都是四边形

3.侧棱互相平行

根据楂柱的结构特征，可知楂柱有以下性质：

（1）侧面都是平行四边形

（2）两底面是全等多边形

（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形

（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.

4.棱柱的分类

（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱….

（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱

柱.

直棱柱正桂柱

5.棱柱的体积公式

设棱柱的底面积为S,高为儿

二.棱锥的结构特征

1.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥.用顶点和底

面各顶点的字母表示，例：S-ABCD.

2.认识棱锥

棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面.

棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.

棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.

棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高.

棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面.

3.楂锥的结构特征

捺傕底面是多边形

彼里N.侧面是三角形

根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：

平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比.

4.棱锥的分类

棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…

正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.正棱锥的各个侧面都是

全等的等邃三角形.

5.棱锥的体积公式

设棱锥的底面积为S,高为h,

v极傕

0

三、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线

叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.

1.圆柱

①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆

圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱0。'.

②认识圆柱

轴：旋转轴叫做圆柱的轴

高：轴上的边（或它的长度）叫做圆柱的高

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面

侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线

③圆柱的特征及性质

巴林有两个底面互相平行，且形状、大小一样的危

（2.侧面为曲面，展开为矩形

圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形.

④圆柱的体积和表面积公式

设圆柱底面的半径为，，高为小

V圆柱=兀小

S|D柱=2X冗r。？兀rh=2兀r（r+h）

2.圆锥

①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.

网椎

圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥so.

②认识圆锥

轴：旋转轴叫做圆锥的轴

高：轴上的边(或它的长度)叫做圆锥的高

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面

侧面：三角形的斜边绕轴旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面

母线：无论旋转到什么位置，斜边所在的边都叫做圆锥的母线

③圆锥的特征及性质

1.只有一个顶点，只有一个底面为18

圆锥

2.侧面为曲面，展开为扇形

与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线.

母线长/与底面半径「和高人的关系：/2=/?2+?

④圆锥的体积和表面积公式

设圆锥的底面半径为「，高为九母线长为/：

12

「圆锥二了几「h

2

S图锥表面积:冗r+Krl=nr(r+1)

3.圆台

①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆

台.

圆台

圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台。。'.

②认识圆台

轴：旋转轴叫做圆台的轴

高：轴上的边(或它的长度)叫做圆台的高

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面

圆台有两个底面，分别是上底面和下底面

侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台的母线

③圆台的特征及性质

1.上下底面平行，为半径不等的医

圆台

2.侧面展开图为一个扇环

平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形.

④圆台的体积和表面积公式

设圆台的上底面半径为「，下底面半径为R,高为儿母线长为/：

V图台=/冗11(12+区2+如)

S国台表面租=K，+九R2+JTrl+KRl=7T(r2+R2+rl+Rl)

四.棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

侧面积和全面积的定义：

(1)侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何

体的侧面积.

(2)全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积.

柱体、锥体、台体的表面积公式(c为底面周长，"为高，h'为斜高，/为母线)

S心柱表=2nr(r+/)»S(r+/)»S圜台表=TC(J+rl+Rl+R2)

五.棱柱、棱锥、棱台的体积

柱体、锥体、台体的体积公式：

V柱=$力，vw=—Sh.

3

六.球的体积和表面积

I.球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球.其中到定点距离等于定长的点的

集合为球面.

2.球体的体积公式

设球体的半径为R,

V球体=4■兀R3

3.球体的表面积公式

设球体的半径为R,

S球体=4TTR2.

【命题方向】

考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试卷难度，根据题目所给条件得

出球体半径是解题关键.

七.多面体和旋转体表面上的最短距离问题

多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：

求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长

度问题，要注意的是，如果不是指定的两点间的某种特殊路径，其表面上两点间的距离应是按各种可能方式展开成

平面图形后各自所得最短距离中的最小者.旋转体侧面上两点间的最短距离，如同多面体一样，将侧面展开，转化

为*展开面内两点连线的最短长度问题来解决.

【考点剖析J

一.棱柱的结构特征（共6小题）

1.（2022秋•徐汇区校级期中）将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（）

A.正三棱柱B.正四棱锥C.正四棱柱D.正六棱锥

2.（2022秋•徐汇区校级期末）正方体ABCD-AIBICIQI的棱长为4,E,尸分别为8C、CCi的中点，则平面4EF

截正方体所得的截面面积为.

3.（2022秋•黄浦区校级期末）如图，在三棱柱ABC--4向Ci中，乙4c4=90°,N4CCi=60°,N8CC1=45°,

侧棱CO的长为1,则该三棱柱的高等于.

4.（2022秋•徐汇区校级期末）正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分.

5.（2022秋•长宁区月考）在棱长为2的正方体ABCO-AiBCiQi中，E为棱8C的中点，〃是侧面B1BCC1内的动

点，若4尸〃平面4GE,则点F轨迹的长度为（）

A.返B.V2C.D.2/2

22

6.（2022秋•徐汇区校级期末）在棱长为1的正方体ABCD-AiBCiOi中，F,P分别为线段A。和平面AiBCiDi

上的动点，点G为线段8C的中点，则4PG尸周长的最小值为.

二,棱锥的结构特征（共7小题）

7.（2023春•虹口区期末）如图，在三棱锥P-A8C中，以_L平面ABC,ACLBC,则以此三棱锥的棱为边所构成

的三角形中，直角三角形的个数有个.

8.（2023春•虹口区期末）棱长都是3的三棱锥的高等于.

9.（2021秋•杨浦区校级期中）正棱锥的高为2,侧棱与底面所成角为45°,则该正棱锥的侧棱长

为.

10.（2022秋•嘉定区校级期中）已知正三棱性底面边长为3,高为工，则斜高为_______.

2

11.（2022秋•浦东新区校级期中）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）

A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥

12.（2022秋•嘉定区校级期中）下列说法中正确的是（）

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

D.若球O的半径为2,球心到平面a的距离为1,则球O被平面a截得的截面面积为3n

13.（2022秋•普陀区校级月考）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为。的直铁条，使这六根铁条端点处相

连能够焊接成一个四面体的铁框架，则a的取值范围为.

三.旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共10小题）

14.（2022秋•徐汇区校级期末）已知一个圆柱和一个圆锥同底等高，且圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧

面积与圆锥的侧面积之比为.

15.（2022秋•浦东新区校级期中）（2015新课标全国/理科）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书

中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：”在屋内墙角处堆放

米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米

各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）

A.14MB.22斛C.36斛D.66斛

16.（2022秋•宝山区校级期末）若一个圆锥的母线与底面所成的角为?，体积为64m则此圆锥的高为______

6

17.（2022秋•上海期末）已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥的侧面积为.

18.（2022秋•浦东新区校级月考）若圆锥的侧面积为2n，母线长为2,则此圆锥的体积为

19.（2022秋•浦东新区校级期末）已知某圆锥体的底面半径/*=2,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为

”的扇形，则该圆锥体的表面积是________

3

20.（2022秋•普陀区校级期中）边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G

的最短距离是.

21.（2021秋•徐汇区校级期中）一矩形的一边在4轴上，另两个顶点在函数y一^（乂＞0）的图象上，则此矩

l+2x?

形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积的最大值为.

22.（2022秋•浦东新区校级月考）已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120°,且面积为3n的扇形，则该圆锥

的体积等于.

23.（2021秋•奉贤区校级月考）如图，边长为4的正方形为圆柱的轴截面，。是圆柱底面圆周上一点.

（1）求证：ACJL平面BBC

（2）求圆柱的表面积和体积.

四.棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共8小题）

24.（2022秋•浦东新区校级期中）一个正四面体的棱长为1,则它的表面积是.

25.（2022秋•宝山区校级期中）若圆锥高为3,且母线与底面所成角为arccos^，则该圆锥的侧面积为.

26.（2022秋•金山区校级期末）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记

三种盖法是屋顶面积分别为尸屋尸2、尸3,若屋顶倾斜面与水平面所成的角都是&则（）

①②③

A.P3=P2=P1B.P3>P2>P1C.P3>P2=P\D.P3=P2>Pl

27.（2022秋•浦东新区校级月考）正四棱柱的底面积为4,高为3,则它的侧面积为.

28.（2022秋•奉贤区校级期中）正三棱台A5C-AEC上底面边长2,下底面边长为4,高为3,则该正三棱台的斜

29.（2022秋•浦东新区校级月考）三棱柱的各条棱长均为2,/4AB=N4iAC=NBAC=60°,则

该三棱柱的侧面积为.

30.（2022秋•徐汇区校级期中）己知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2,下

底面的半径为1,则该圆台的侧面积为.

31.（2022秋•浦东新区校级期中）如图，在底面半径为1,高为g的圆锥中，。是底面圆心，P为圆锥顶点，A,

8是底面圆周上的两点，/ADR=2：,C为母线P3的中点.

（1）求该圆锥的表面积；

（2）求在该圆锥的侧面上，从4到C的最短路径的长.

五.棱柱、棱锥、棱台的体积（共19小题）

32.（2022秋•徐汇区校级期中）如图，已知该几何体由底面半径均为3的圆柱和圆锥粘合而成，它们的母线长均为

5,求该几何体的体积.

33.（2022秋•浦东新区校级期末）已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18,圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体

积为（）

A.431V2nB.216V2nC.144&irD.

34.（2023春•虹口区期末）已知矩形ABC。的边长AB=1,AD=3,若以直线4）为旋转轴，将此矩形旋转一周,

则所得到的旋转体的表面积等于.

35.（2021秋•静安区校级期末）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm,

圆柱筒长2cm.

（1）这种“浮球”的体积是多少cm??（结果精确到J］）

（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层狡质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）

36.（2022秋•宝山区校级期末）已知正方体A8CD-481C1O1的棱长为2,E、尸是线段BIOI上的动点且Er=2,

则三棱锥A-BEF的体积为（）

A.2^2B.生反C.汉2D.无法确定

33

37.（2022秋•杨浦区校级期末）用一根长为54的铁丝围成正三角形框架，其顶点为4、B、C,将半径为6的球放

置在这个框架上（如图），若M是球上任意一点，则四面体M48C体积的最大值是.

38.（2022秋•杨浦区校级期末）如图，某种水箱用的“浮球”，足由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为

8c7〃，圆柱筒高为3cm.

（1）求这种“浮球”的体积；

（2）要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？

39.（2022秋•虬口区校级期中）如图，已知一个圆锥的底面半径为2,高为2,且在这个圆锥中有一个高为x的圆

柱.

（1）当X一生时，求圆柱的体积；

X3

（2）当x为何值时，此圆柱的侧面积最大，并求出此最大值.

40.（2023春♦杨浦区校级月考）设ABC是等边三角形，。为边4C的中点，PO_平面ABC,PA=AC=2.

（1）求三棱锥P-ABC的体积；

（2）若M为的中点，求PM与平面用C所成角的大小.

P

41.（2023•麒麟区校级模拟）已知在四棱锥P—ABCD中，A8=4,BC=3,A£>=5,ZDAB=ZABC=ZCBP=90°,

R\±CD,E为CD中点、.

（1）立面尸CD与平面附七能垂直吗？请说明理由.

（2）若直线P8与平面R1E所成的角和PB与平面A8CO所成的角相等，求四棱锥P-A8C。的体积.

42.（2022秋•长宁区月考）如图，已知三棱柱ABC的高为2,底面A8C是边长为2的正三角形.

（1）求四棱锥A\-B\BCC\的体积;

（2）若48=4C,求证：侧面BBC。为矩形.

小Bi

43.(2021秋•上海期末)在直三棱柱48C-41B1C1中，ACYBC,AC=BC=CC\=2.

(1)求四棱锥A-BCC\B\的体积V；

(2)求直线ABi与平面ACCiAi所成角的大小；

(3)求异面直线ABi与4cl所成角的大小.

44.(2022秋•普陀区校级期中)如图，在正四棱锥尸中，48=2,侧面与底面ABCO的夹角为？二

3

(1)求正四棱锥P-ABCD的体积;

(2)若点M是正四棱锥P-ABC。内任意一点，点M到平面ABC。，平面MB,平面尸HC,平面PCQ,平面

尸D4的距离分别为di,d2,曲，山，d5,证明：2Ji+d2+d3+d4+d5=2V3;

(3)若球。是正四棱锥P-48co的内切球，点。是正方形A8CQ内一动点，且OQ=OP,当点。沿着它所在

的轨迹运动一周时，求线段OQ所形成的曲面与底面48。所围成的几何体的表面积.

AB

45.(2022秋•徐汇区校级期中)设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1-熹(/

2兀

01P04-ZQ2PQ3++ZQk-\PQk+ZQkPQ\),其中Q(i=l,2,…，k,223)为多面体M的所有与点P相邻的

顶点，且平面Q1PO2,平面0P03,…，平面QhiPQa和平面。尸。1为多面体M的所有以尸为公共点的面.已

知在直四棱柱4BCO-A56OI中，底面A8CD为菱形，且A4i=4B=l.

(1)求直四棱柱ABCD-AB\C\D\在各个顶点的离散曲率之和；

(2)若直四棱柱ABCO-ABICIDI在点4处的离散曲率为乂直四棱柱48cz)-ABICIDI体积为了(公，求函数

y=/G)的解析式及单调区间.

图1图2图3

(1)求此四棱锥的外接球的体积；

(2)M为PC上一点，求M4+MB的最小值；

(3)将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥(含底面)，并保持正四棱锥的表面与正方形

的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四楂锥的体积.

47.（2022秋•普陀区校级期中）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A\B\C\D\,

下部分的形状是正四棱柱ABCD-A\B\C\D\（如图所示），并要求正四棱柱的高OO\是正四棱锥的高PO\的4

倍.

（1）若POi=2m,则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6〃?，则当POi为多少时，仓库的容积最大？

48.（2021秋•徐汇区校级期末）已知四棱锥尸-ABC。的底面是菱形，对角线AC、BD交于点O,。尸=OA=4,OB

=3,OP_L底面A8CZ）,设点M满足而“黄（°〈入＜1）.

（1）若人」，求三棱锥P-MBO的体积；

4

（2）直线布与平面”8。所成角的正弦值是返，求人的值.

49.（2022秋•徐汇区校级期中）在四面体ABCZ）中，H、G分别是4。、CO的中点，E、尸分别是AB、8c边上的

点'且普卷8°）.

（1）求证：E、尸、G、”四点共面;

（2）若平面EFG”截四面体A8CD所得的五面体AC-EFG”的体积占四面体ABC。的且，求攵的值.

50.（2022秋•浦东新区校级月考）如图，在四棱锥尸・A8CD中，底面A8CD是菱形，附_1_平面ABC。，AB=\,

PA*AC=i,N43c=e,ew（°，—]•

2

（1）若e/■，求二面角A-PC-B的大小；

2

（2）试求四棱锥尸-ABC。的体积V的取值范围.

六.球的体积和表面积（共6小题）

51.（2022秋•徐汇区校级期中）己知球的表面积为12m则它的体积为.

52.（2022秋•普陀区校级期中）表面积为36K的球的体积为.

53.（2021秋•青浦区校级期末）若用与球心的距离为止的平面截球体所得的圆面半径为1,则球的表面积

为.

54.（2021秋•黄浦区校级期中）如图，几何体。为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合,

圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为。、02,且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与

底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为0.

（1）若圆柱的底面圆半径为近，求几何体Q的体积；

2

（2）若POi：013=1：3,求几何体C的表面积.

55.（2021秋•徐汇区校级期中）早在公元5世纪，我国数学家祖瞄在求球体积时.就创造性地提出了一个原理“帚

势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等，在推导

半径为R的球的体积公式时，可以先构造如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R,其底面和半球体的

底面同在平面a内，然后挖去一个圆锥后运用祖唯原理来推导，请你把右图补充完整并写出球的体积公式的证

明.

56.（2021秋•松江区校级期中）如图所示，已知圆柱。1。2的轴截面ABCO是边长为2近的正方形，球O在圆柱

OiQ内，且与圆柱O1Q的上、下底面均相切.

（1）求球O的表面积；

（2）若P为圆柱下底面圆弧而的中点，求平面%8截球O所得截面的周长.

【过关检测】

一、填空题

1.若正四棱柱的底面的面积为4cm2,其对角线和底面成45。角，则此正四棱柱的全面积是cmJ.

2.已知圆锥的底面半径为正，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为.

3.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的倍.

4."棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“棱柱是直棱柱"的条件（填“充分不必要必要不充分”、“充

要”、"不充分不必要”）

5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一：它的形状可视为一个正四棱锥.现己知该四棱锥的高与斜高的比值为

4

p则该四楼锥的底面面积与侧面面积的比值是.

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于

7.若圆锥的表面积为27/r,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的直径为

8.给出下列四个命题：

①棱柱的侧面都是平行四边形；

②底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体：

③直棱柱的侧面是矩形：

④正棱柱的侧面是全等的矩形.

其中真命题的序号是（填所有真命题的序号）.

9.正四面体4-BCO中，可，也分别是它的高与斜高，则4：%=.

10.图中的多面体的底面是边长为。的正方形，上面的棱平行于底面，其长为2a,其余的棱长都是已知

a=6夜，则这个多面体的体积是.

2a

11.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好

淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_cm.

12.己知圆柱的体积是倔，点。是下底面中心，底面半径为1,点A是圆柱上底面圆周上的一点，则直线Q4与

圆柱底面所成角的大小为。

二、单选题

13.图（1）是一个正三棱柱容器，高为2a,内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面如图（2）所示，此

时水面恰好为中截面，则图（1）所示容器中水面的高度是（）

（1）（2）

313

A.-aB.aC.-aD.-a

224

14.《九章算术》卷五描述：“今有刍技，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高丈.”意思为：”今有底面为矩形

的屋脊状的儿何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈.”若该刍矍的三视图如图所示，其中网格纸上每

个小正方形边长均为1丈，则该刍技的体积（单位：立方丈）为（）

5

A.-B.5C.10D.20

2

15.过半径为4的球。表面上一点M作球。的截面，若。必与该截面所成的角是30。，则O到该截面的距离是

()

A.4B.2GC.2D.1

16.用与球心距离为1的平面去截面面积为工，则球的体积为

3248乃8五兀

A.-B.—C.gD.莫井

三、解答题

17.在正三棱柱ABC-ABG中，如图所示，AA=48=a,G、E,尸分别是棱AG、AB.BC的中点.

(1)求证：直线痔1直线GB；

⑵求G8与平面A8C所成的角的大小以及三棱锥片-8石尸的体积.

18.如图，三棱锥P-A8c中，PA_L底面48C,M是8c的中点，若底面48c是边长为2的正三角形，且P8与

(1)三棱锥P-ABC的体积;

(2)异面直线PM与AC所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

19.如图，正方体A88—A4GA中，尸是AA的中点.

(1)求证：4。，平面8。1。；

(2)已知该正方体的棱长为2,求三棱锥的体积.

20.用2乃平方米的材料制成•个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底

面半径长为x,圆锥母线的长为y.

(1)建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

⑵圆锥的母线与底面所成的角大小为?，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米(精确到O.Oln?).

21.如图，用一平面去截球。，所得截面面积为16江，球心。到截面的距离为3cm，为截面小圆圆心，A8为截

面小圆的直径，

⑴计算球。的表面积；

⑵若C是截面小圆上一点，NA8C=30°,M、N分别是线段4a和。。的中点，求异面直线AC与MN所成的

角.

第11章简单几何体全章复习与测试

【知识梳理】

一.棱柱的结构特征

1.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成

的多面体叫做棱柱.棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD-A'B'CD'）.

2.认识棱柱

底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面.

侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面.

侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.

顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点.

高：棱中两个底面之间的距离.

3.棱柱的结构特征

1两个底面互相平行

棱柱2.侧面都是四边形

3.侧棱互相平行

根据楂柱的结构特征，可知楂柱有以下性质：

（1）侧面都是平行四边形

（2）两底面是全等多边形

（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形

（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.

4.棱柱的分类

（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱….

（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱

柱.

直棱柱正桂柱

5.棱柱的体积公式

设棱柱的底面积为S,高为儿

二.棱锥的结构特征

1.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥.用顶点和底

面各顶点的字母表示，例：S-ABCD.

2.认识棱锥

棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面.

棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.

棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.

棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高.

棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面.

3.楂锥的结构特征

捺傕底面是多边形

彼里N.侧面是三角形

根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：

平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比.

4.棱锥的分类

棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…

正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.正棱锥的各个侧面都是

全等的等邃三角形.

5.棱锥的体积公式

设棱锥的底面积为S,高为h,

v极傕

0

三、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线

叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.

1.圆柱

①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆

圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱0。'.

②认识圆柱

轴：旋转轴叫做圆柱的轴

高：轴上的边（或它的长度）叫做圆柱的高

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面

侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线

③圆柱的特征及性质

fl.有两个底面互相平行，且形状、大小一样的危

2.侧面为曲面，展开为矩形

圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形.

④圆柱的体积和表面积公式

设圆柱底面的半径为，，高为小

V圆柱=兀小

S|D柱=2X冗r。？兀rh=2兀r（r+h）

2.圆锥

①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.

圆锥

圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥so.

②认识圆锥

轴：旋转轴叫做圆锥的轴

高：轴上的边(或它的长度)叫做圆锥的高

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面

侧面：三角形的斜边绕轴旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面

母线：无论旋转到什么位置，斜边所在的边都叫做圆锥的母线

③圆锥的特征及性质

1.只有一个顶点，只有一个底面为18

圆锥

2.侧面为曲面，展开为扇形

与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线.

母线长/与底面半径「和高人的关系：/2=/?2+?

④圆锥的体积和表面积公式

设圆锥的底面半径为「，高为九母线长为/：

12

「圆锥二了几「h

2

S图锥表面积:冗r+Krl=nr(r+1)

3.圆台

①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆

台.

圆台

圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台。。'.

②认识圆台

轴：旋转轴叫做圆台的轴

乃仁高：轴上的边(或它的长度)叫做圆台的高

侧面母线底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面

，‘,可・・卜\‘圆台有两个底面，分别是上底面和下底面

乍透侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面

底广'5母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台的母线

③圆台的特征及性质

”(1.上下底面平行，为半径不等的医

风口(2.侧面展开图为一个扇环

平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形.

④圆台的体积和表面积公式

设圆台的上底面半径为「，下底面半径为R,高为儿母线长为/：

V图台=/冗11(12+区2+如)

S国台表面租=K，+九R2+JTrl+KRl=7T(r2+R2+rl+Rl)

四.棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

侧面积和全面积的定义：

(1)侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何

体的侧面积.

(2)全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积.

柱体、锥体、台体的表面积公式(c为底面周长，"为高，h'为斜高，/为母线)

S心柱表=2nr(r+/)»S(r+/)»S圜台表=TC(J+rl+Rl+R2)

五.棱柱、棱锥、棱台的体积

柱体、锥体、台体的体积公式：

V柱=$力，v«=—S/i.

3

六.球的体积和表面积

I.球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球.其中到定点距离等于定长的点的

集合为球面.

2.球体的体积公式

设球体的半径为R,

V球体=4■兀R3

3.球体的表面积公式

设球体的半径为R,

S球体=4TTR2.

【命题方向】

考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试卷难度，根据题目所给条件得

出球体半径是解题关键.

七.多面体和旋转体表面上的最短距离问题

多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：

求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长

度问题，要注意的是，如果不是指定的两点间的某种特殊路径，其表面上两点间的距离应是按各种可能方式展开成

平面图形后各自所得最短距离中的最小者.旋转体侧面上两点间的最短距离，如同多面体一样，将侧面展开，转化

为展开面内两点连线的最短长度问题来解决.

3【考点剖析】

一.棱柱的结构特征（共6小题）

1.（2022秋•徐汇区校级期中）将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（）

A.正三棱柱B,正四棱锥C.正四棱柱D.正六棱锥

【分析】根据几何体的结构特征逐一判断即可.

【解答】解：对于A,正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，故A成立；

对于"正四棱锥中5条棱长度可以完全相同，故5成立；

对于C,正四三棱柱中12条棱长度可以完全相同，故C成立；

对于D,因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故。不成立；

故选：D.

【点评】本题主要考查了正三棱柱、正四棱锥、正四三棱柱及正六棱锥的结构特征，属于基础题.

2.（2022秋•徐汇区校级期末）正方体AIBICIOI的棱长为4,E,F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF

截正方体所得的截面面积为18.

【分析】把截面AE补形为四边形4E/7）］,由等腰梯形计算其面积即可.

【解答】解：如图，把截面AE尸补形为四边形AEFD1,

连接ADi,由正方体可得E尸〃A。，可得等腰梯形4EFA为平面人石尸械正方体所得的截面图形，

由正方体4BCO-461C1O1的棱长为4,得4。|=4&,EF=2近,

D产^="+22=2脏，则E到的距离即等腰梯形AEFDi的高为J⑵而）？-（生丝？巨）

・•・所求截面的面积为S=2（2V2+4V2）X372=18.

2

故答案为：18.

【点评】本题主要考查了正方体的截面面积，考查了正方体的结构特征，属于基础题.

3.（2022秋•黄浦区校级期末）如图，在三棱柱48C--中，N4C8=90°,NACCi=60°,=45°,

侧棱CCi的长为1,则该三棱柱的高等于二

【分析】过0作平面AC8、直线8C、AC的垂线，交点分别为O,D,E,可得四边形OECO为矩形，结合条

件可得源，OD"，进而即得.

22

【解答】解：过。作平面ACB、直线BC、AC的垂线，交点分别为O,D,E,连接O。、OC、OE,则。。即

为三棱柱的高，

由CiO_L平面AC8,ACu平面AC5,可得CiO_LAC,

又4C_CiE,CiOnCiE=Ci,CiOu平面C]OE,CiEu平面OOE,

所以AC_L平面CTOE,又OEu平面OOE,

所以AC_LO£,同理可得0D_L8C,又NAC8=90°,

所以四边形OECO为矩形，

在直角三角形EC。和OCCi中，/ACCi=60°,NBCCi=45°,侧棱ca的长为I,

则CEACCI]，CD=C\D=将,

所以OD二CE二技，

所以Xi=JDC[2_°D2制，

即三棱柱的高等于

2

故答案为：1.

2

【点评】本题主要考查了三棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，属于中档题.

4.（2022秋•徐汇区校级期末）正方体的6个面无限延展后把空间分成27个部分.

【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分为3个层，每层有9部分，由此能求出结果.

【解答】解：正方体的6个面无限延展后把空间分为3个层，每层有9部分，

・••正方体的6个面无限延展后把空间分成3X9=27个部分.

故答案为：27.

【点评】本题考查正方体的结构特征等基础知识，考查空间想象能力，是中档题.

5.（2022秋•长宁区月考）在棱长为2的正方体ABCD-AiBCQ中，E为棱的中点，尸是侧面BiBCCi内的动

点，若4尸〃平面APE,则点尸轨迹的长度为（）

A.返B.V2C.D.242

22

【分析】取4助中点M,BiCi中点N,连接则易证平面4MN〃平面AOE,进而得当产的轨迹为线段MN

时，则有4F〃平面ADiE,再根据勾股定理及三角形的中位线计算即可.

【解答】解：如图所示：

取881中点M,81。中点M连接MN,

因为BCiZ/AD],

所以MN〃AOi,MNU平面ADiE,AOiu平面ADiE,

所以MN〃平面ADE,

同理可证明4N〃平面AD\E,

又因为MNRAiN=N,MN,4Nu平面4MM

所以平面4MN〃平面AD\E,

当尸的轨迹为线段MN时，此时AiFu平面41MM则有41尸〃平面ADiE,

此时MN】BC1-yX272=72.

故选:B.

【点评】本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，属中档题.

6.（2022秋•徐汇区校级期末）在棱长为1的正方体中，F,P分别为线段4。和平面

上的动点，点G为线段81c的中点，则4PG尸周长的最小值为名.

一3一

【分析】若I尸内取得最小值，则P在线段AICI上，将平面AAiC\绕AC\旋转到与ABC\共面的情况，可知过G

作GFlAiCi于点尸，结合三角形三边关系可知|PF1+|FG|的最小值为|PG|,可知所求三角形周长最小值为2|PG|；

利用二倍角公式可求得s