有什么比无穷大更大比无穷小更小

有什么比无穷大更大，比无穷小更小？你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。我们讲无穷大是比任何数都大，那么世界上只有一个无穷大吗？如果有多个，能比较大小吗？类似的，无穷小就是无限接近于零，那么世界上会有不同的无穷小么？如果我们用静态的眼光看待这两个概念，答案都是否定的：无穷大和无穷小都是独一无二的。比如，无穷大再加上1，或者再乘以2，都是无穷大。但是，我们已经知道，它们其实不是具体的数字，而是数列或者函数变化的趋势，是动态的，因为必然有某些数列或者函数会比其他的增加更快，有些则相对慢一点的情况。同样，往无穷小方向变化也是类似。因此，无穷大或者无穷小应该有很多，而且可以通过比较它们之间的变化速率，来比较大小。我们先看两个无穷小的函数，来比比大小：f(x)=x和正弦函数g(x)=sinx。我们知道，当x趋近于零的时候，f（x）和g（x）都趋近于零，那么它们趋近于零的速率相同吗？我们看一眼下表。我曾经试图用图来对比这两个函数变化的趋势，但是由于两条曲线很快合并到一处，看不清楚，因此只能用表来表示。从表中可以看出，x本身和正弦函数趋近于零的速率是惊人地一致。于是，我们可以得到这样一个结论，上述两个函数它们趋近于零的速率是相同的。接下来我们再看另一个趋近于零，速率不同的无穷小。我们对比一下上述的正弦函数g(x)=sin(x)和平方根函数h(x)=√x我们还是用一张表把它们趋近于零的速率描绘一下：你会发现平方根函数h(x)相比正弦函数g(x)趋近于零的速率慢得多。这时候我们其实就比较出两个无穷小谁“更小”了。这里面我对“更小”两个字打了引号，因为我们这里说的比较大小其实不是具体数字大小的比较，而是趋势快慢的对比。当一个无穷小量比另一个以更快的速度趋近于零，我们就说第一个比第二个更小。具体到上面的例子，正弦函数在零附近，相比平方根函数，是更小的无穷小。当然，更准确的说法是，“高阶无穷小”。下面我给出了一些函数，它们在零附近都是无穷小，它们的阶数也越来越高：平方根x本身、正弦函数平方函数x²立方函数x³指数函数的倒数类似的，我们也可以对无穷大比较大小。你可能会问，无穷小是趋近于0，然后谁接近0的速率更快，谁就是更小。那么无穷大应该和谁去比较呢，它只能和另一个无穷大去比？其实如果两个无穷大，一个增加的速率比另一个更大，我们就说前面的相比后面的是高阶的。比如我们看这样一个例子，有两个函数：f(x)=x和平方根函数h(x)=√x当x趋近于无穷大时，它们都是无穷大，但是它们变化的速率不同，我也列举几个数字，放到下面这张表中，给大家一些直观的感受。你会发现，第三行的平方根函数比上面的线性函数x增加的速率要慢很多，越到后来差距越大。当然还有比平方根函数增长更慢的函数，比如第四行的对数函数。至于增长更快的，也有很多，像平方函数就比线性函数更快，当然指数函数要快非常多。我们按照各个函数往无穷大方向增长的速率，从快到慢给出了下面这样一些例子：指数函数10^x幂函数x^N，通常N=2，3，4……自身x平方根√x立方根对数函数lg（x）特别需要指出的是，很多个低阶无穷大，加在一起增长的速率都比不上一个高阶的。比如说10000x和x的平方相比谁大，当x趋向于无穷大时，后者要大得多。当然，x的立方又要比任意有限个x的平方大。当然，遇到一个较真的朋友会说，这些函数最后反正都趋近于无穷大，你比较它们有意义吗？答案是有的，因为无穷大本身的含义就是一种趋势，而不是一个数字。特别是在计算机科学出现之后，它的意义更明显。我们知道，计算机是一个计算速度极快的机器。对于小规模的问题，无论怎么算，也花不了多少时间。如果说它会遇到什么难题，那就是规模很大的问题。因此，计算机算法所关心的事情，是当问题很大时，不同的算法的计算量以什么速度增长。比如，我们把问题的规模想成是N，当N向着无穷大的方向增长时，计算量是高阶的无穷大，还是低阶的。假如算法A的计算量和N成正比，那么当N从10000增加到100万时，计算量也增加100倍；如果算法的计算量和N的平方成正比，事情就麻烦得多了，当N同样从10000增加100倍到100万时，计算量要增加10000倍。类似的，如果算法C的计算量是N的立方，则要增加100万倍。当然遇到极端的情况，计算量是N的指数函数，问题就无法解决了。相反，如果算法D的计算量是N的对数函数，那么太好了，无论N怎么增加，计算量几乎不增加。因此，计算机算法的精髓其实就是在各种无穷大中，找一个小一点的无穷大。一个好的计算机从业者，他在考虑算法时，是在无穷大这一端，考虑计算量增长的趋势，一个平庸的从业者，则是对一个具体的问题，一个固定的N，考虑计算量。前者可以讲是用高等数学武装起头脑，后者对数学的理解还在小学水平。我们上大学的目的首先是通过学习课程换脑筋，然后才是掌握知识点。那么对于无穷小，区别出高阶和低阶有意义吗？有意义，而且意义也很大。我们还是拿计算机算法举例子。很多时候我们要求计算的误差在经过一次次迭代后不断下降，往无穷小的方向走。比如我们控制导弹和火箭飞行的精度，要在微调中向着目标方向靠近。那么通过几次的迭代就趋近于目标方向，还是要经过很多次迭代才达到，这个差异就很大了。假如我们有一种控制的方法，它是按照下面一个序列将误差逐步消除：1，1/2，1/3，1/4，……，1/1000……这个序列最终发展下去是无穷小，但是如果我们想让误差小于1/1000，需要调整1000次。假如我们有办法让误差按照下面的序列消除：1，0.1，0.01，0.001，……那么只需要四次调整，就能做到误差小于1/1000。你可以想象，在高速飞行的火箭中，每一秒，火箭都能飞出去几公里到十几公里，如果需要调整一千次，在调整好之前，火箭早就偏出十万八千里了。因此，在很多计算机算法里，希望以高阶无穷小的速度接近零。无穷大和无穷小不仅能比较，而且也能计算。有些计算结论是一目了然的，比如无穷大和无穷大相加相乘，结果都是无穷大，而无穷小之间做加减乘，结果都是无穷小。这比较好理解。但是，无穷大除以无穷大，无穷小除以无穷小等于多少呢？那就要看分子和分母上的无穷大或者无穷小谁变化快了。比如说，当x趋近于零时，sinx是无穷小，根号x也是无穷小，那么sinx/√x等于几呢？我们前面讲过，前者变化快，以更快的速度趋近于零，后者变化慢，因此相除的结果就是0。如果反过来，根号x在分子的位置，sinx在分母的位置，这个比值就是无穷大。对于无穷大的除法，情况也是类似。此外，如果一个无穷大乘以一个无穷小，结果可以是一个常数，也可以是零，或者无穷大，就看它们谁的阶数更高了。我们在前面讲芝诺悖论时提到，在等比数列中，无穷多个无穷小相加，结果是有限的，就是这个道理，因为不断变小的等比数列，会形成一个高阶无穷小。要点总结：虽然无穷大和无穷小不是具体的数，但它们也能比较大小，比的不是具体的数值，而是变化的趋势。变化趋势快的，叫做高阶，变化趋势慢的，叫做低阶。通过它们的比较，我们把“比大小”这个概念的认知拓展了。这有什么意义呢？我给你打个比方，假如房价每年的增长是以几何级数上升的，当然你的收入增长也是如此，如果时间足够长，它们都往无穷大的方向发展。但是，如果房价每年涨3%，你的收入涨10%，只要你的生命足够长，你早晚买得起房子。如果你的收入增长是每年20%，这就是一个相对高阶的无穷大，你会很快买得起房子。相反，如果你的收入增长不到3%，相比房价的增长，它就是低阶无穷大，你永远买不起房子。无穷大和无穷小不仅可以比较，还可以做加减乘除运算。当然，这种运算和3+5=8这样确定性的运算不同，特别是在做乘除法时。我通常喜欢用“博弈”这个词形容一个无穷大和一个无穷小相乘的情况，因为结果是什么，就看谁的阶高了。这就好比你和你的女朋友，彼此的激情随着苯基乙胺浓度