数学课后导练：分类加法计数原理和分步乘法计数原理（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。某公共汽车上有10名乘客,沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有()A。510种B。105种C。50种D.以上都不对解析：要完成这件事可分10步，即10名乘客分别选一个车站下车，由于每个乘客都有5个车站进行选择，由分步计数原理知,乘客下车的可能方式有N=答案：A2。有4封不同的信投入3个不同的邮筒，可有___________种不同的投入方法。解析：由分步计数原理，共有N=3×3×3×3=34=81种方法.3.(a1+a2+…+an）·（b1+b2+…+bm)·（c1+c2+…+ck）展开后共有_____________项.解析：要得到展开式的一项需分三步，即分别从每个括号里拿出一个加数，然后相乘即可.由分步计数原理,共有n×m×k=nmk项。4.已知a∈｛-1，2,3}，b∈｛0,3，4,5｝,r∈｛1，2｝，则（x—a)2+(y—b）2=r2所表示的不同的圆共有_____________个.解析：要得到一个圆，需分三步，即分别取得a，b,r三个待定系数的值，由分步计数原理可得不同圆的个数N=3×4×2=24（个）5。若x,y∈z,且｜x|＜4,|y｜＜5，则以(x，y）为坐标的不同的点共有_____________个。解析:分两步:先确定x，有±3，±2，±1，0这七个可能的值；再确定y，有±4,±3，±2,±1，0这九个可能的值。从而以(x，y)为坐标的不同的点共有63个。综合运用6。某种彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11到20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花(）A。3360元B。6720元C.4320元D.8640元解析：这种特殊要求的号共有：8×9×10×6=4320(注)。因此至少需花钱4320×2=8640(元)，∴选D.答案:D7。要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班，有多少种不同的选法？解析:从3名工人中选1名上白班和1名上晚班,可以分成先选1名上白班，再选1名上晚班这两个步骤完成。先选1名上白班，共有3种选法；上白班的人选定后，上晚班的工人有2种选法。根据分步计数原理，所求的不同的选法数是3×2=6（种)。8。设集合M=｛k｜｜k｜＜3且k∈Z｝,P（x,y）是坐标平面上的点，且x，y∈M,则P可表示平面上的点多少个？解析：M=｛—2,—1,0,1,2}，分两步：第一步确定横坐标有5种，第二步确定纵坐标有5种,根据乘法原理,P可表示平面上的点5×5=25个。9。有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数?解析：易知，在90000个五位数中共有30000个可被3整除.下面求其中不含数字6的有多少个：在最高位，不能为0和6,有8种可能，在千、百、十位上，不能为6各有9种可能，在个位上，不仅不能为6，还应使整个五位数能被3整除，因此所出现的数应与前四位数字之和被3除的余数有关。当该余数为2时，个位上可为1，4，7中的一个；当该余数为1时，个位上可为2,5，8中的一个；当该余数为0时,个位上可为0,3,9.总之，不论前四位数如何，个位数字都有3种可能情况。所以这类五位数的个数为8×9×9×9×3=17496.故不含数字6而又可被3整除的五位数共有30000-17496=12504（个).拓展探究10。如图,将四棱锥S—ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色.如果只有5种不同的颜色可供选择,那么不同的染色方法共有多少种？解析：将四棱锥S—ABCD沿侧棱剪开展在同一平面上(如图)，由题设知,点S,A，B所染色互不相同,它们共有5×4×3=60种不同的染色方法.为叙述方便，把5种不同的颜色分别记为1,2，3，4，5。当S,A，B染好色后，不妨设它们分别染色为1，2，3.若C染色2,则D可染3，4，5中的任一种色,有3种染法；若C染色4,则D可染3或5，有2种染法；若C染色5,则D可染3或4，也有2种染法.根据分步原理，总的染色方法有N=60×(3+2+2)=420（种）.备选习题11.若x∈{1，2，3}，y∈｛5,7，9},则x·y的不同值有（）A.2个B。6个C。9个D.3个解析：共有3×3=9个不同值，故选C.12。某班有3名学生准备参加校运会的100米，200米、跳高、跳远四项比赛,如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有（)A.24种B.48种C。64种D。81种解析：由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步计数原理,共有4×3×2=24种。答案：A13.今有壹角币1张，贰角币1张，伍角币1张，壹圆币5张,伍圆币2张，则可以付出不同数目的款额（不包括不付款的情况）的种数是____________.解析：用壹角币可搭配成0角，1角，2种不同的金额,即(1+1)种;用贰角币可搭配成0角，2角，即（1+1）种；用伍角币可搭配成0角，5角,即（1+1）种；用壹圆币可搭配成0元,1元，2元，3元,4元，5元，即(5+1）种;用伍圆币可搭配成0元,5元，10元，即(2+1)种.注意到付出款数为5，5。1，5.2，5.3,5.5，5.6,5。7,5。8元，10,10.1，10。2，10.3，10.5，10.6，10。7，10。8元各有2种方法，所以不同付款的种数为(1+1）（1+1)（1+1）(5+1)(2+1)-16—1=127（种).14.已知y=f（x）是定义域为A={x|1≤x≤7，x∈N}，值域为B=｛0，1｝的函数。试问：这样的函数f(x)共有多少个。解析：首先应明确：函数是从定义域到值域上的一种映射，且值域中的每一个元素在定义域中都有原象（即函数是一种满射).我们先求从定义域A=｛1,2,…,7｝到值域B=｛0，1｝可以建立多少个不同的映射.根据映射的定义，只要给集合A中的7个元素在集合B中都找到象即可.显然需分七步:1）1的象可以是0或1，有2种情形;2)2的象也可以是0或1,有2种情形；…；7)7的象也可以是0或1，有2种情形.根据分步原理，从A到B的映射共有2×2×…×2=27=128（个)。为了保证集合B中的每一个元素在A中都有原象，可考虑用排除法：0或1没有原象（意味着集合A中的7个元素都对应着集合B中的一个元素1或0）的映射各有1个.综上所述，这样的函数f（x)共有N=128-2=126（个)。15.已知A∪B∪C=｛1,2,3,4,5｝，A∩B∩C=｛1，2｝，则A、B、C共有多少种组合形式。解析：A、B、C三个集合我们可以用图来表示,此题可转化为集合｛3，4,5｝到集合{Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，