数学课后导练：分类加法计数原理和分步乘法计数原理一

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。如果x，y∈N＊,且1≤x≤3,x+y＜7,则满足条件的不同的有序正整数对(x,y）的个数是（）A.15B。12C.5解析：由x的取值可分三类:x=1时,y有1,2，3,4,5五个可取的数;x=2时,y有1，2，3，4四个可取的数；x=3时,y有1，2，3三个可取的数.由分类计数原理可知共有N=5+4+3=12（个）答案：B2。三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为（)A.25B。26C.36解析：另两边边长由x、y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形,必须x+y≥12.当y取值11时，x=1，2，3，…,11,可有11个三角形。当y取值10时，x=2，3,…,10,可有9个三角形.……当y取值6时,x也只能取6,只有一个三角形.∴所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36。答案：C3.有不同颜色的上衣5件，裤子3条，从中选一样送给某人，共有___________种不同的选法。解析:从5件上衣，3条裤子中任选一种，共有5+3=8种不同的选法。4。大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1，2，3,4，5,6抛掷这两个玩具，则向上的面标着的两个数字之积不小于20，不同的积共有___________种。解析：第1个正方体向上的面标有的数字必大于等于4.如果是3，则3与第二个正方体面上标有数字。最大者6的积3×6=18＜20,4×5×6×以上积的结果共有20，24，25，30，36五种。5。如右图所示为一电路图，从A到B共有_______________条不同的线路可通电。解析：∵按上、中、下三条线路可分为三类：从上线路中有3种；中线路中有一种；下线路中有2×2=4种。根据分类计数原理,共有3+1+4=8（种）.答案：86。设某市拟成立一个由6名大学生组成的社会调查小组,并准备将这6个名额分配给本市的3所大学，要求每所大学都有学生参加,则不同的名额分配方法共有_______________种（用数字作答）。解析:名额分配有3类：1,1，4；1，2，3；2，2,2.然后具体到学校，得3+6+1=10。答案:10综合运用7.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联,连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分别沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(）A。26B。24C。20解析:要完成的这件事是“从A向B传递信息”，完成这件事有4种办法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6.因此，可按这四种办法把传递信息量这件事分成四类,用分类计数原理可解，答案为D。答案：D8。某仪表显示屏上有四个可显示数字的小窗。每个小窗可显示数字“0"或“1”.(1）这个显示屏共能显示出几种由四个数字组成的信号。(2）将题目中的“四”改为“n”，其结论又如何。分析：由于“四"数字比较小，可采用枚举法,一一写出来.显示信号是0，0，0,0;0,0,0,1；0,0，1，0；0,0，1,1;0,1,0，0;0,1，0，1；0,1，1,0；0,1,1,1;1，0，0，0;1，0，0，1;1，0，1，0;1，0,1，1；1,1,0,0;1，1,0,1;1,1,1,0；1,1，1,1;共计16种。如果从“第一个数显示”,“第二个数显示"，“第三个数显示",“第四个数显示"的阶段来看，则可用乘法计数.容易看出:每阶段显出数字的方法数都是2。因此共有24=16种信号,按这种考虑，不难看出：把“四”换成“n”后,共能显示出2n种信号.9.从0到99这100个数中，数字6出现多少次？解析：按照数字6出现的次数可分两类:出现两次,只有66；出现一次.出现一次的情况按6出现的位置又分为两类：第一类出现在个位上，共有9个，即6,16,…，56,76，86,96；第二类是6出现在十位上，共有9个,即60,61,62，…,65，67，68，69.由分类加法计数原理，数字6出现的次数是N=1+(9+9）=19（次）。拓展探究10。在任意两个正整数m、n间定义某种运算（用表示运算符号）。当m、n都为正偶数或都为正奇数时，mn=m+n，如46=4+6=10;37=3+7=10。当m、n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，mn=mn,如34=3×4=12；43=4×3=12，则上述定义下，集合M={（a,b）｜ab=36,a、b∈N*｝中元素的个数为_____________.解析：可分三类：第一类：a，b全为正偶数，则（a,b）可以是（34，2），(32，4），（30，6），…，（2，34)，共计17个；第二类：a，b全为正奇数，则(a，b)可以是（35,1），（33，3）,…，（1，35）共计18个；第三类:a，b中一个正奇数,一个正偶数，则（a，b）可以是（4，9），（9,4)，（12，3），(3，12），（36，1),(1，36)共计6个；由加法原理可知集合中共有元素：N=17+18+6=41（个）。备选习题11.从1，2，3,4四个数中任意取数（不重复取)作和，则取出这些数的不同的和共有(）A.8个B.9个C。10个D.5个提示:按加数的个数分类，除去和相同的结果即可。答案：A12.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个，至多5个,则不同的分法共有()A。4种B。5种C.6种D。7种解析：设这三堆苹果个数分别为x个，y个，z个则于是分法有：x=1,y=4,z=5x=2,y=4，z=4x=3,y=3，z=4x=3,y=5,z=2（这里x=3,y=5,z=2和x=3,y=2,z=5视为相同的分法，其他同此）∴共有4种分法，选A.13.从1，2，3，…，100这100个自然数中,每次取出两个不同的数相乘，积是5的倍数的取法种数为____________。解析：从1到100的整数中，共有5的倍数20个.取两数积为5的倍数的取法有两类，第一类为两个数都是从这20个数中选取,有380种；另外一类为从这20个数中取一个，再从另外80个数中取一个相乘得到，共有80×20=1600种取法,所以共有1600+380=1980种不同的方法.14。欲将一张10元人民币换成零钱，现有足够多的1元、2元、5元的人民币,问共有多少种不同的换法？解析：换法数就是x+2y+5z=10（x,y,z∈N)的解的组数，对z进行分类即可，答案是10种.15.用2005，2006，2007，2008四个数，可以构造出多少个各项均不相同且项数是4的数列?解析：依据数列的定义,按一定顺序排列的一列数叫数列，故2005，2006,2007，2008与2006，2005，2007，2008是两个不同的数列，所以四个数2005，2006,2007,2008的顺序不同时，表示的便是符合条件的不同数列.按照数列的首项的值分别不同可分四类，构成的数列依次表示为：首项为2006,2007,2008时，同理可