数学课后导练：二维形式的柯西不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1已知a，b，m，n∈R+，且m+n=1，设T=,Q=，则(）A。T>QB。T≥QC。T〈QD。T≤Q解析：T===Q.答案:B2设a,b,c,d,n，m∈R+,且P=，Q=，则P，Q之间的大小关系是…()A。P≥QB.P≤QC。P=QD.P，Q大小关系不确定解析:Q=≥=P.答案：B3a>b〉c，则与的大小关系是()A.>B。≥C。〈D。≤解析：∵a〉b〉c，∴a—b,a-c,b—c>0。由于（)(a—c)=［()2+（)2］[（）2+()2]≥（1+1)2=4,∴(）(a-c)≥4。∴≥。答案：B4用柯西不等式证明（)2≤.证明：∵(12+12）（a2+b2)≥(a+b)2，即2（a2+b2）≥（a+b)2，两边同除以4,即得()2≤.50<x〈1,求证:≥(a+b)2。证明:∵x+（1—x）=1，∴=［x+(1-x)］(）≥（a+b）2。综合应用6已知x，y,a，b为正数，且a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a，b.解析:∵x+y=（x+y）()≥()2=a+b+=18，又a+b=10，因此a=2，b=8或者a=8，b=2.7x，y，a，b∈R+,x2+y2=1，a2+b2=1,求证:｜ax+by|≤1。证明：1=(a2+b2）（x2+y2)≥(ax+by)2,∴|ax+by|≤1.8已知a，b，c，d,x，y均为正数,且x2=a2+b2，y2=c2+d2，求证：xy≥。证明：x2y2=（a2+b2）(c2+d2）≥(ac+bd）2,∴xy≥ac+bd.①又x2y2=（a2+b2)(d2+c2)≥（ad+bc)2，∴xy≥ad+bc.②①×②得x2y2≥(ac+bd）(ad+bc),即xy≥.9设a，b∈R+，且a+b=1,求证：（a+）2+(b+）2≥（用柯西不等式证明).证明：（12+12)[（a+）2+（b+）2］≥［(a+)+(b+)］2=［1+(+）］2=（1+）2≥25(∵ab≤）,∴(a+）2+(b+）2≥.拓展探究10求使直线xcosθ+ysinθ=2和椭圆x2+3y2=6有公共点的θ的取值范围(0≤θ≤π).解析:由柯西不等式22=(xcosθ+ysinθ）2=（x·cosθ+y·sinθ)2≤（x2+3y2)(cos2θ+sin2θ)=6cos2θ+2sin2θ.解得cos2θ≥,即cosθ≥或cosθ≤.因为0≤θ≤π,所以0≤θ≤或≤θ≤π。备选习题11a，b，c∈R+，且acos2θ+bsin2θ<c，求证：cos2θ+sin2θ<.证明:cos2θ+sin2θ=cosθ·cosθ+sinθ·sinθ≤.12已知x,y∈R，且3x2+2y2≤6,求证：｜2x+y｜≤.证明:(2x+y)2=(·x+·y）2≤(+)(3x2+2y2）≤×6=11,∴｜2x+y|≤。13设α∈（0，)，求证：（1+）(1+)≥（1+2n)2.证明：∵α∈（0,）,故sin2nα≠0,cos2nα≠0，sin2α〉0,由柯西不等式(1+）(1+)≥（1+）2=（1+）2≥(1+2n）2。14双曲线9x2-16y2=r2（r〉0)与直线x+y=2有公共点，求r的取值范围。解析：要使直线与曲线有公共点,由柯西不等式x2=(2—y）2=[·r+(-）·4y］2≤(+）(r2+16y2）=（+）·9x2.消去非零x，整理得r2≤.由r〉0,那么0〈r≤。15求经过x2+y2=r2上一点M（x0，y0)的切线方程.解析：由M(x0，y0）在圆上,得x02+y02=r2，由柯西不等式r4=(x2+y2）(x02+y02）≥(x0x+y0y）2。所以x0x+y0y=±r2。因为点M(x0,y0）满足x0x+y0y=r2,所以x0x+y0y=r2为要求的切线方程。16已知a2+b2=2,则asinθ+bcosθ的最大值是（）A.1