第九章　第六节　第2课时　直线和双曲线

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第2课时直线和双曲线【核心考点·分类突破】考点一直线与双曲线的位置关系[例1](1)(一题多法)直线3x-4y=0与双曲线y29-x2A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选A.方法一:联立直线3x-4y=0与双曲线y29-x216=1的方程,y29方法二:由y29-x216=0,得3x±4y=0,所以双曲线的渐近线方程为3因为直线3x-4y=0是双曲线y29-x(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与【解析】C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),所以C的渐近线方程为y=±bax,结合渐近线的特点,只需0<ba≤2,即b2a2≤4,可满足条件“直线y=2x与C无公共点”,所以e=ca=答案:2(答案不唯一,满足1<e≤5皆可)解题技法直线与双曲线位置关系的判断方法(1)联立方程,消元化为关于x(或y)的一元方程;(2)讨论最高次数项系数是否为零求解;(3)依据方程解的个数,判断交点的个数.设直线l:y=kx+m,双曲线x2a2-y2b联立解得:(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.①m=0时,-ba<k<bk≥ba,k≤-ba,或②m≠0时,若b2-a2k2=0,k=±ba若b2-a2k2≠0,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)·(-a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2),Δ>0,m2+b2-a2k2>0,直线与双曲线相交于2点;Δ=0,m2+b2-a2k2=0,直线与双曲线相切于1点;Δ<0,m2+b2-a2k2<0,直线与双曲线相离.对点训练1.(2024·哈尔滨模拟)双曲线x29-y24=1与直线y=-23x+m(mA.0 B.1 C.0或1 D.0或1或2【解析】选C.因为双曲线x29-y24=1的渐近线方程为y=±23x,所以,当m=0时,直线l:y=-23当m≠0时,直线l与双曲线的一条渐近线平行,此时直线l与双曲线有一个交点.2.(2024·南通模拟)已知双曲线x2-y2a2=1,若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线,则该双曲线离心率e【解析】过(2,2)能作两条切线说明该点在双曲线外部,故4-4a2<1,故a2<所以e2=1+a2<73,所以e<213,又点不在该双曲线渐近线上,故a≠1,即e≠综上,e∈(1,2)∪(2,213)答案:(1,2)∪(2,213【加练备选】(2024·吉林模拟)已知直线L:y=12x+m与曲线C:y=12|4-A.(-2,2) B.(-2,2)C.(1,2) D.(1,3)【解析】选C.由题意得曲线C:y=12|4-x2|,即2y=|4-当4-x2≥0时得到4y2=4-x2即x24+y2=1(y≥0);当4-x2<0时得到x24-y由以上可得曲线C的图象如图所示,易知直线L:y=12x+m与双曲线x24-y2=1的一条渐近线y=把直线y=12x即y=12x+1与曲线C有两个交点,此时m继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点.当直线与椭圆的上半部分相切时,联立直线与椭圆的方程y=12x+mx24+y2=1代入整理得2x2+4mx+4m2-4=0,Δ=16m2-8(4综上可知1<m<2.考点二直线与双曲线相交的有关问题考情提示直线与双曲线相交问题是近几年高考命题的热点,它常与函数、方程、不等式相结合考查弦长、中点弦等内容.角度1弦长问题[例2](1)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x+2)2+y2=4所截得的弦长为2A.3 B.233 C.2 D【解析】选B.由题意,双曲线C的一条渐近线方程为bx-ay=0,又由圆(x+2)2+y2=4的圆心为(-2,0),半径为r=2,因为一条渐近线被圆(x+2)2+y2=4所截得的弦长为23,可得(|-2b|a2+b2)2+(3)2=4,所以a2=3b2,即a所以e=ca=2(2)(2024·宝鸡模拟)设动点P(x,y)与点F(10,0)之间的距离和点P到直线l:x=102的距离的比值为2,记点P的轨迹为曲线①求曲线C的方程;【解析】①由动点P(x,y)与点F(10,0)之间的距离和点P到直线l:x=102的距离的比值为2可得(x-10)2+y即曲线C的方程为x25-y②若O为坐标原点,直线y=12x+1交曲线C于A,B两点,求△OAB的面积【解析】②联立方程组y=12x+1x设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=43,x1x2所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+14×又由点O到直线y=12x+1的距离d=11+14=25=12|AB|·d=12×2953×角度2中点弦问题[例3]已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为()A.4x-3y+1=0 B.2x-y-1=0C.3x-4y+6=0 D.x-y+1=0【解析】选A.设以点A(2,3)为中点的双曲线的弦的端点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),可得2x12-y12=2,2x22-y22=2,相减可得2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),且x1+x则弦所在直线的斜率k=y1-y2x1-x2=2(x1+x2)解题技法1.解决直线与双曲线相交有关问题的解题策略(1)解决弦长问题,可联立直线与双曲线方程,消元转化为关于x(或y)的一元方程,利用弦长公式即可求解;(2)解决中点弦问题,常常采用点差法求解,但一定要注意直线是否与双曲线相交的判断.2.相交弦AB的弦长公式AB=1+k2x或AB=1+1k2对点训练1.(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(x1+x可得kAB=y1-y2x1-因为A,B在双曲线上,则x1两式相减得(x12-x22)-y12-y2对于选项A:可得k=1,kAB=9,则AB:y=9x-8,联立方程y=9消去y得72x2-2×72x+73=0,此时Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<0,所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误;对于选项B:可得k=-2,kAB=-92则AB:y=-92x-52,联立得方程组消去y得45x2+2×45x+61=0,此时Δ=(2×45)2-4×45×61=-2880<0,所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误;对于选项C:可得k=3,kAB=3,则AB:y=3x,由双曲线方程可得a=1,b=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线,所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误;对于选项D:k=4,kAB=94,则AB:y=94x-联立得方程组y=94x-74x2-y29=1,消去2.已知焦点在x轴上的双曲线Γ经过点M(6,2),N(-23,-6).(1)求双曲线Γ的离心率e;【解析】(1)设双曲线Γ的方程为x2a2-y2b2=1(解得b2=2a2=3,所以c2=a2+b2=5,e(2)若直线l:y=33x-1与双曲线Γ交于A,B两点,求弦长|AB|【解析】(2)由(1)得双曲线Γ的方程为x23-设A(x1,y1),B(x2,y2),由x23-y22=1y=33x-1,得x2+23x-9=0,|AB|=(1+k2故弦长|AB|为8.考点三双曲线的综合问题[例4](多选题)(2024·南昌模拟)已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,4为半径的圆与C的一条渐近线切于点P,过F1的直线l与C交于A,B两个不同的点,若C的离心率A.|PF1|=213B.|AB|的最小值为32C.若|AF2|=7,则|AF1|=13D.若A,B同在C的左支上,则直线l的斜率k∈(-∞,-43)∪(4【解析】选ACD.对于A选项,设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=bax,即bx-ay=0,则F2(c,0)到直线bx因为以F2为圆心的圆与l相切于点P,所以|PF2|=b=4,因为e=53,即ca=53,则c=53a,又a2+b2=c2,即a2+16=259a2,所以在Rt△PF2O中,cos∠PF2F1=bc=4在△PF2F1中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4,|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2-2|所以|PF1|=213,故A正确;对于B选项,当直线l的斜率为0时,A,B两点分别为双曲线的顶点,则|AB|=2a=6,又因为6<323,即|AB|的最小值不可能为32对于C选项,因为|AF2|=7,又a+c=8,且|AF2|<a+c,所以A在C的右支上,所以|AF1|-|AF2|=2a=6,所以|AF1|=|AF2|+6=7+6=13,故C正确;对于D选项,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+5),设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=k(x+5)x29-y216=1,可得(16-9k2)所以16-解得k<-43或k>43解题技法双曲线的综合问题(1)当与圆、椭圆有关时,常常结合圆、椭圆的方程或性质,构造函数解决问题;(2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解.(3)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解.对点训练(多选题)(2024·玉溪模拟)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x29+y25=1的焦点相同,双曲线E的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于P,Q两点,PF1与y轴相交于点A,△PAF2A.双曲线E的离心率为2B.双曲线E的方程为x2-y2C.若PF1⊥PF2,则△PAF2的内切圆面积为3πD.过点(1,1)与双曲线E有且仅有一个交点的直线有3条【解析】选ACD.如图,设PF1,PF2与△PAF2的内切圆分别相切于M,N两点,所以|PM|=|PN|,|AM|=|AB|=1,|F2N|=|F2B|,且|AF1|=|AF2|,因为2a=|PF1|-|PF2|=|PM|+|AM|+|AB|+|F2B|-|PN|-|F2N|=2,可得a=1,双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x29+y25=1的焦点相同,所以c2=b2+所以双曲线E的方程为x2-y2对于C,若PF1⊥PF2,设|PF2|=m,则|PF1|=m+2,|F1F2|=4,由|PF1|2+|PF2|2=|F1可得|PA|=|PM|+1,|AF2|=1+|F2B|=1+|F2N|=1+7-1-|PN|=7-|PN|,由|PA|2+|PF2|2=|AF2|2得(|解得|PM|=4-73,即内切圆的半径为r则△PAF2的内切圆面积为4-对于D,当过点(1,1)的直线与x轴垂