新人教版九年级数学下册-第27章-相似-课件

新人教版九年级数学下册第二十七章

相似27.1图形的相似27.2.1相似三角形的判定27.2.2相似三角形的性质27.2.3相似三角形应用27.3位似27.1图形的相似教学目标

感知相似图形在现实中的应用。认识形状相同的图形。了解相似图形的基本内涵。知识与能力教学重难点

认识形状相同的图形。对相似图形概念的理解。抓住形状相同的图形的特征，认识其内涵。CAB全等图形

形状、大小完全相同的图形是全等图形。回顾旧知A'C'B'

多啦A梦的2寸照片和4寸照片，他的形状改变了吗？大小呢？新课导入

符合国家标准的两面共青团团旗的形状相同吗？大小呢？四阶魔方和三阶魔方形状相同吗？大小呢？EBDCADCEBABDCAABCDABCBCA你从上述几组图片发现了什么？它们的大小不一定相等，形状相同.

两个图形的形状________，但图形的大小位置__________，这样的图形叫做相似图形。完全相同不一定相同知识要点图形的放大图形的放大图形的缩小两个图形相似相似图形的关系两个图形相似，其中一个图形可以看做是由另一个图形_________或_________得到的，实际的建筑物和它的模型是___________的，用复印机把一个图形放大或缩小后所得的图形，也是与原来的图_________的.相似相似放大缩小练一练1、如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？答：相似下图是人们从平面镜及哈哈镜里看懂的不同镜像，它们相似吗？总结：第一个图的两个图形______,第二个图与第三个图的镜子中的图像已变形，所以_________.相似不相似练一练在下列图形中，找出相似图形。小练习

你认为下列属性选项中哪个才是相似图形的本质属性？

A、大小不同

B、大小相同

C、形状相同

D、形状不同答案：（C）？小练习1、下列说法正确的是（）A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.D小练习相似的图形具有传递性；图形A图形B图形C如果图形Ａ与图形Ｂ相似，图形Ｂ与图形Ｃ相似，那么图形Ａ与图形Ｃ相似。多边形

由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形叫做多边形。相似多边形这两个图案中，有没有相似的图形？

这个零件中，有没有相似的图形？

根据相似多边形的特征，给相似多边形下定义。ABCA1B1C1正三角形缩小对应角有什么关系？对应边有什么关系？∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1AB=BC=AC，A1B1=B1C1=A1C160°60°

对应角相等

对应边成比例正六边形放大对应角有什么关系？150°150°∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1

对应角相等ABCA1B1C1FEDF1E1D1∠D=∠D1，∠E=∠E1，∠F=∠F1正六边形放大对应边有什么关系？ABCA1B1C1FEDF1E1D1AB=BC=CD=DE=EF=FA，A1B1=B1C1=C1D1=D1E1=E1F1=F1A1

对应边成比例A1B1ABB1C1BC=C1D1CDD1E1DE=E1F1EFF1A1FA===ABCDA1B1C1D1

请分别量出这两个不规则四边形各内角的度数，求出对应边的长度。对应角有什么关系？对应边有什么关系？不规则四边形缩小

相似多边形知识要点（对应边的比相等）相似比相似多边形对应边的比。（k>0）

若相似比k=1，相似图形有什么关系？对应角相等，对应边成比例。全等是一种特殊的相似。当相似比k=1时，

相似图形即是全等图形。ABCFEDA1B1C1F1E1D1

六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比为k1=2:1，对应边AB：A1B1=2:1。A1B1C1F1E1D1ABCFED

六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比为k2=1:2，对应边AB：A1B1=1:2。相似比与叙述的顺序有关。相似多边形

各对应角相等、各对应边成比例的多边形叫做相似多边形.ABCDEFA1B1C1D1E1F1

对应角相等。对应边成比例。两个多边形相似的条件相似六边形相似多边形的对应高相似多边形的对应角平分线相似多边形的对应中线相似多边形的对应对角线ABCA1B1C1相似多边形的对应三角形相似多边形的性质

相似多边形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相似比。相似多边形对应对角线的比等于相似比。相似多边形对应三角形相似，且相似比等于相似多边形的相似比。相似多边形面积的比等于相似比的平方。相似多边形对应三角形面积的比等于相似多边形的相似比的平方。题型1判断两个多边形是否相似3正方形344菱形解:∵正方形，菱形的四条边都相等.∴它们的对应边成比例，k=3:4.∵正方形的四个内角均为直角，而菱形的内角有钝角有锐角.∴它们的对应角不相等.∴这一组图形不相似.例题3正方形368长方形解：∵正方形和矩形的四个内角都是直角.∴它们的对应角相等.∵对应边3:6≠3:8.∴它们的对应边不成比例.∴这一组图形不相似.例题ABCDEFGH解:∵矩形的每个内角都等于90o.∴∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°∴它们的对应角相等.∵EH:AD=300:(300+2×7.5)=20/21.EF:AB=150:(150+2×7.5)=10/11.∴EH:AD≠EF:AB.∴它们的对应边不成比例.∴矩形ABCD和矩形EFGH不相似.

一块长3m，宽1.5m的矩形黑板，镶其外围的木质边宽7.5cm。边框内外边缘所组成的矩形相似吗?为什么?例题题型2求相似多边形的对应角或对应边

五边形ABCDE相似于五边形FGHIJ，且AB=2cm，CD=3cm，DE=2.2cm，GH=6cm，HI=5cm，FJ=4cm，∠A=120°，∠H=90°

求：（1）相似比等于多少?

（2）FG，IJ，BC，AE，∠F，∠CABCDEFGHIJ5例题解:（1）相似比=CD:HI=3:5

（2）∵五边形ABCDE相似于五边形FGHIJ∴∠F=∠A=120o,∠C=∠H=90o,∴AB:FG=BC:GH=CD:HI=DE:IJ=EA:JF

即2:FG=BC:6=3/5=2.2:IJ=AE:4

解得FG=10/3cm,BC=18/5cm,IJ=11/3cm,AE=12/5cmABCDEFGHIJ232.2654120°你能找出其中的相似多边形吗？相似正五边形相似正六边形相似正八边形相似正十二边形下列图形中是____与_____相似的.(1)(2)(3)(4)选一选(1)(4)解:

①相似

②不相似

③不相似

④相似

⑤不相似

⑥不相似

请把下列各组图形是否相似的结论写在下面的括号里．

试一试课堂小结1.相似图形：形状相同的图形。2.相似多边形：对应角相等，对应边成比例。相似多边形对应边的比。3.相似比：随堂练习1.判断：（1）任意两个矩形都是相似图形（）（2）任意两个圆形是相似图形（）（3）对应角相等的两个四边形是相似多边形（）（4）两个正五边形是相似多边形（） （5）两个全等三角形是相似多边形（）（6）两菱形是相似多边形（）（7）两个相似多边形，对应边成比例（）√√√×√××2.五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，它们的相似比为1:3，（1）若∠D＝135°，则∠D′=______。（2）若A′B′=15cm，则AB=______。135°53.一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为______。18AB:A'B'=1:3---->AB:15=1:33AB=15---->AB=52:6=1:36:x=1:3x=184.如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？GFEH1.51ADCB32解；矩形ABCD相似于矩形EFGH因为它们的对应角相等，对应边成比例。相似比为:5、下列说法中，错误的是（）（A）两个全等三角形一定是相似形（B）两个等腰三角形一定相似（C）两个等边三角形一定相似（D）两个等腰直角三角形一定相似B6、下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥顶角是100°的两个等腰三角形．其中一定是相似图形的是________（填序号）．

②,⑤,⑥①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；②相似，两个圆的形状相同；③不相似，因为没有指明边的情况，虽然其四个角均相等，不符合相似的条件；④不相似，，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；⑤相似，因为两正五边形有相等的角或成比例的边⑥相似，因为可以得到相等的角或成比例的边；7、在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离是7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？解：设福州与上海之间的的实际距离是Xcm，依题意得：答：福州与上海之间的的实际距离是60千米8、AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？解：依题意可知，2500m=250000cm

故这张平面地图的比例尺是答：这张平面地图的比例尺是.27.2.1相似三角形的判定教学目标

理解相似三角形的判定方法．知识与能力

以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法．过程与方法

培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值．

情感态度与价值观教学重难点

会应用相似三角形的判定方法。怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似。抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点。新课导入ABCA1B1C1∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，AB:A1B1=BC:B1C1=CA:C1A1=k当时，则△ABC与△A1B1C1相似，记作△ABC∽△A1B1C1。

要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。注意相似三角形

对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。ABCEDF相似的表示方法符号：∽读作：相似于

相似比AB:A1B1=BC:B1C1=CA:C1A1=k时，ABCA1B1C1则△ABC与△A1B1C1的相似比为k

.或△A1B1C1与△ABC的相似比为.这两个风筝图形相似，观察并思考：BAA1B1C1大胆猜想，那么，若已知AB∥A1B1，能否得出△ABC1∽△A1B1C1AB∥A1B1

除了根据相似三角形的定义来判断是否相似，还有其它的方法吗？

已知：DE//BC，且D是边AB的中点，DE交AC于E.

猜想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。ABCDE相似。12三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比。∴四边形DBFE是平行四边形∴DE=BF,DB=EF∴△ADE∽△ABCABCDEF过E作EF//AB交BC于F又∵DE//BC又∵AD=DB∴AD=EF∵∠A=∠3，∠2=∠C∴△ADE≌△EFC∴DE=FC=BF，∴∴∴△ADE与△ABC的对应边成比例23AE=EC注：写相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。证明:

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。知识要点平行于三角形一边的定理ABCDE即：在△ABC中，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABCA型你还能画出其他图形吗？延伸X型（8字型）

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。DEACB即：如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC你能证明吗？∠EAD=∠CAB∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACBEF//DBED//BCFBDE为平行四边形ED=FBAECBDF作EF//DB交CB延长线于F△ADE∽△ABC对于上图的情形，同样可以证明△ADE∽△ABC，这是判定两个三角形相似的定理，即是预备定理。

平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。推论ABCDE即：在△ABC中，如果DE∥BC，那么（上比全，全比上）（上比下，下比上）（下比全，全比下）反过来是否也成立呢？CBADE已知:如图△ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且求证：DE//BCE

证明:

作DE//BC,交AC于E∴AE=AE

因此E与点E

重合即DE

与DE重合,所以DE//BC采用了“同一法”的间接证明引理

如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为真，这种解题方法叫做同一法

用同一法解题一般有三个步骤①先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；②根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；

③从而说明已知图形符合结论．ABCDE相似具有传递性△ADE∽△ABCMN

如果再作MN∥DE，共有多少对相似三角形？△AMN∽△ADE△AMN∽△ABC共有三对相似三角形。定义判定方法全等三角形相似三角形回顾并思考三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似角边角ASA角角边AAS边边边SSS边角边SAS斜边与直角边HL

判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？边边边SSS已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC求证：有效利用判定定理一去求证。探究1

证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E根据前面的定理可得.A1B1C1ABCDE∴又A1B1C1ABCDE∴∴∴（SSS）∵∴

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理之一△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么A1B1C1ABC

三边对应成比例，两三角形相似。边边边SSS√A

B

C

CBA例1：已知:如图,在△ABC和△A

B

C

中求证:△ABC∽△A’B’C’证明:

在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A

B,过点D作DE//BC,交AC于点E.DE△ADE∽△ABC∵AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△ABC∽△A

B

C

例2：如图,已知D、E、F分别是△ABC三边BC、CA、AB的中点.求证：△DEF∽△ABCFDEBAC证明:∵线段EF、FD、DE都是△ABC的中位线∴△DEF∽△ABC求证：∠BAD=∠CAE。ADCEB∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC即∠BAD=∠CAE小练习已知：解：∵边角边SAS探究2已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC求证：∠B=∠B1.你能证明吗？如图,在△ABC和△A/B/C/中,求证:△ABC∽△A/B/C/A/B/C/ABC证明:在线段A/B/(或它的延长线)上截取A/D=AB,过点D作DE//B/C/,交A/C/于点E,DE则△A/DE∽△A/B/C/∵∵∠A=∠A/,∴△A/DE≌△ABC∴△ABC∽△A/B/C/,∠A=∠A/,

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理之二两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。边角边SAS√A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果∠B=∠B1.那么例题讲解例1.根据下列条件,判断△ABC和△A/B/C/是否相似,并说明理由:∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,∠A/=120°,A/B/=3cm,A/C/=6cm,例2.如图在△ABC中，D在AC上，已知AD=2cm，AB=4cm，AC=8cm，求证：△ABD∽△ACB.

ABDC∠A=∠A'=120相似证明：∵AD=2cm,AB=4cm,AC=8cm∴AD:AB=2:4=1:2AB:AC=4:8=1:2∴AD:AB=AB:AC∵AD:AB=AB:AC,∠A=∠A∴△ABD∽△ACB1、如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．能力提升2、已知：如图，E为△ABC中线AD上的一点，且求证：△ADC∽△CDE．能力提升

大家一起画一个三角形，三个角分别为60°、45°、75°，大家画出的三角形相似吗?通过测量对应边的长度进行比较。探究3即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______。相似一定需要三个角吗？角边角ASA角角边AAS角角AAA1B1C1ABC已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：∠A=∠A1，∠B=∠B1.你能证明吗？分析:要证两个三角形相似，目前只有四个途径。一是三角形相似的定义；二是“平行”定理；三是“三边”定理；四是“两边夹角”定理。ABCA/

C/

B/

已知：在△ABC和△A/B/C/

中,求证:ΔABC∽△A/B/C/

（把小的三角形移动到大的三角形上）。怎样实现移动呢?为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。ABCA/

C/

B/

判定方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。DE

∵∠A=∠A/∴ΔADE≌ΔA/B/C/（SAS）∴∠ADE=∠B/，又∵∠B/=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC。∴ΔA/B/C/∽ΔABC求证：△ABC∽△A/B/C/已知：在△ABC和△A/B/C/,中,若∠A=∠A/，∠B=∠B/，----“两角”定理

如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理之三两角对应相等，两三角形相似。角角AAA1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么√∠A=∠A1，∠B=∠B1.

如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？一角对应相等的两个三角形不一定相似。例1如图,在△ABC,AB=AC,D是AC边上一点,BD=BC.求证:BC2=AC

CD分析:

要证明BC2=AC

CD，即证明，只要证明AC、BC和BC、CD为相似三角形的两组对应边即可。证明:∵△ABC是等腰三角形∴∠A=180-2∠C∵△BCD是等腰三角形∴∠DBC=180-2∠C∴∠DBC=∠A又∵∠C为公共角∴△ABC∽△BDC即BC2=AC

CDBCDA例2、如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD.点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB.

求证:△DBE∽△ABC.BACDE分析:容易得出∠ABC=∠DBE只需要再证明即证只要证明△ABD∽△CBE例题已知：DE∥BC，EF∥AB.求证：△ADE∽△EFC.AEFBCD解:∵DE∥BC，EF∥AB（已知）∴∠ADE＝∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC

（两个角分别对应相等的两个三角形相似）△ACD∽△CBD∽△ABC小练习找出图中所有的相似三角形。“双垂直”三角形BDAC有三对相似三角形：△ACD∽△CBD△CBD∽△ABC△ACD∽△ABC常用的成比例的线段：常用的相等的角：∠A=∠DCB；∠B=∠ACDBDACAC:AB=CD:BCAC:AD=AB:ACBC:BD=AB:BCCD:AD=DB:CD

如图,圆内接△ABC角平分线CD延长后交圆于一点E.分析:要证，应考虑EB、BD和EC、CB所在的三角形相似，即是△EBD∽△ECB练一练DEABC证明：由已知条件，可得∠ACE=∠BCE。∵∠ACE与∠ABE是同弧上的圆周角，∴∠ACE=∠ABE∴∠BCE=∠ABE。又∵∠BED=∠CEB。∴△EBD∽△ECB∴探究4已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：你能证明吗？HLABCA1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.已知：Rt△ABC和Rt△A1B1C1.求证：△ABC∽△A1B1C1.ABCA1B1C1思考：对于两个直角三角形，我们可以利用“HL”判定它们全等.那么,满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?证明:由勾股定理，得∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理之四HLABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么√A1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.例如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点求证：(1)AD

BC=BE

AC

(2)AH

HD=BH

HE分析:(1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC(2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD课堂小结1.相似图形三角形的判定方法：

通过定义平行于三角形一边的直线三边对应成比例两边对应成比例且夹角相等两角对应相等两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）（1）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等边三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。（5）有一个角是100°的两个等腰三角形都相似。（6）有一个角是70°的两个等腰三角形都相似。（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。（8）相似的两个三角形一定大小不等。1.判断下列说法是否正确？并说明理由。√×√×√×√×随堂练习2.AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF50°30°100°30°30°3.下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？ACBA1C1B1DEFABC60°相似相似4.过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？CD

●ＡＢBCADEEBCAD△ADE∽△ABC△AED∽△ABC∠A=∠A∠AED=∠C∠A=∠A∠AED=∠B作DE，使∠AED=∠C作DE，使∠AED=∠B这样的直线有两条：5.已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形。3△EOF∽△CODAB∥EF△AOB∽△FOEAB∥CDEF∥CD△AOB∽△DOC6.如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________。

7.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3cm，A′B′=4cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。

8.若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12cm，那么A′B′C′的最大边长是________。全等4︰324cm9.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，（1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。ABCDEFGHI△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC1:4ADBEC解:（1）∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴∠AED=∠C=400在△ADE中，∠ADE=180°-40°-45°=95°10.已知：DE∥BC，AE=50cm，EC=30cm，

BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°

求：（1）∠AED和∠ADE的大小。（2）求DE的长。（2）∵△ADE∽△ABCADBEC∴27.2.2相似三角形的性质学习目标1、在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比等性质.2、通过实践体会相似三角形的性质，会用性质解决相关的问题.课前复习:1、什么叫相似三角形？什么是它们相似比?三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形,叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.一、温故知新1.相似三角形的判定方法：1.定义（三边对应成比例，三角相等）2.平行3.三边成比例4.两边成比例且夹角相等5.两角分别相等6.斜边和一条直角边成比例

对应角相等，对应边成比例相似三角形还有哪些性质？2.相似三角形的性质：ABCA/B/C/

①相似三角形的对应角__________②相似三角形的对应边__________想一想:

它们还有哪些性质呢?课前复习:2、相似三角形有何特征？成比例相等一个三角形有三种重要线段：

如果两个三角形相似，那么这些对应线段有什么关系呢？情境引入高、中线、角平分线二、学习新知三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？高、角平分线、中线的长度，周长、面积等高角平分线中线思考？ACBA′B′C′（1）∽ACBA′B′C′

（2）D∽ACBA′B′C′（3）∽放大前放大后在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,三角形的边长,周长,面积,角,哪些放大为10倍?引出新知ΔABC与ΔA’B’C’的相似比是多少？ΔABC与ΔA’B’C’的周长比是多少?

面积比是多少？4×4正方形网格如图，ΔABC与ΔA’B’C’有什么关系？为什么？试问：是不是任意相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？

你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？2周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方探究新知√102√21√5√2ABCA’C’B’对应高的比对应中线的比对应角平分线的比周长的比

相似三角形等于相似比.面积的比等于相似比的平方相似三角形的性质相似三角形对应高的比等于相似比一解:∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′=∠B．又∵∠A'D′B'=∠ADB=90°,∴△A′B′D′∽△ABD

(两角对应相等的两个三角形相似).从而(相似三角形的对应边成比例).问题：如图，△A′B′C′∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B′C′上的高AD，A′D′．求证：

☞推导性质证明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,相似三角形对应中线的比等于相似比.(相似三角形对应边成比例).ABCMDEFN又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线.∴△ABM∽△DEN.(两边夹角).且∠B=∠E.

☞推导性质求证：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分别为中线二证明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,∠BAC=∠EDF.又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线.∴∠BAM=1/2∠BAC，∠EDN=1/2∠EDF，∴∠BAM=∠EDN.∴△AMB∽△DNE.(两角对应相等的两个三角形相似).相似三角形对应角平分线的比等于相似比.(相似三角形对应边成比例).ABCMDEFN

☞推导性质求证：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分别角平分线

三相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形性质定理1归纳总结☞相似三角形周长的比等于相似比。已知：求证：∽△△证明：∽△△∵∴∴(相似三角形对应边成比例)(等比性质)ACBB′A′C′

☞推导性质ABCA’B’C’证明2：∵ΔABC∽ΔA/B/C/，相似比为k∴AB=kA/B/，BC=kB/C/，AC=kA/C/（相似三角形的对应边成比例）相似三角形的周长比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方。求证：ABCA′B′C′DD′证明：分别过A、A′，作AD⊥BC于D，∴∵∴∴

☞推导性质已知：∽△△∽△△（）相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形的周长的比等于相似比.相似三角形性质定理2ABCA’B’C’∵ΔABC∽ΔA’B’C,’相似比为k.=k2k，∴ΔABC的周长ΔA’B’C’的周长=sABCsA’B’C’几何表述:归纳总结相似三角形性质定理3面积比等于相似比的平方☞☞

通过前面的思考、探索、推理，我们得到相似三角形有如下性质；

相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。填一填1、相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为________,对应角的角平分线的比为

.2∶

32∶

32、两个相似三角形对应边上的高的比为1∶4

,

则它们周长的比为_______,面积的比为_______.1：41：16填一填3、两个相似三角形面积的比为4：9，则它们周长的比为______,对应高的比为______.2∶

32∶

3填一填4、△ABC∽△A1B1C1，AB=4，BC=5，AC=6，△A1B1C1的最大边长为15，那么它们相似比为______,△A1B1C1的周长是______.2∶

5(4+5+6):x=2:515:x=2:5全等三角形与相似三角形性质比较全等三角形相似三角形类比学习对应边____对应角______对应高______对应中线_____对应角平分线____对应边______对应角_____对应高的比等于__________对应中线的比等_________对应角平分线的比等于___相似比相似比相似比周长_____面积______周长的比等于____________面积的比等于____________相等相等相等相等相等相等相等成比例相等相似比相似比的平方课堂小结：1、如图，在ABCD中，若E是AB的中点，则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为______.(2)若∆AEF的面积为5cm2，则∆CDF的面积为______.BFEDCA1:220cm2随堂练习2、如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，ABCDE已知△ABC的面积为

求四边形BCDE的面积。解：∵，∠A=∠A∴∽△△∴（相似三角形面积的比等于相似比的平方）∴∵∴∴∴(两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似)3、如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，若△ABC的边BC上的高为6，面积为

，求△DEF的边EF上的高和面积．解：在△ABC和△DEF中，∵AB＝2DE，AC＝2DF∴又∠D＝∠A∴△DEF∽△ABC，相似比为∵△ABC的边BC上的高为6，面积为∴△DEF的边EF上的高为

，面积为ABCDEF4、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC所以AEAD=PNBC因此，得x=48（毫米）。答：-------。80–x80=x12027.2.3相似三角形应用举例乐山大佛新课导入世界上最高的树——红杉怎样测量这些非常高大物体的高度？世界上最高的楼——台北101大楼怎样测量这些非常高大物体的高度？世界上最宽的河——亚马孙河怎样测量河宽？ACBDE┐┐怎样测量这些非常高大物体的高度？利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题怎样测量旗杆的高度?抢答ＡＢＯＡ′Ｂ′Ｏ′6m1.2m1.6mＡＢcＡ′Ｂ′c′１、旗杆的高度是线段

；旗杆的高度与它的影长组成什么三角形？（）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？温馨提示：BCRt△ABC6m2、人的高度与它的影长组成什么三角形？（）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？Rt△A′B′

C′3、△ABC与△A′B′

C′

有什么关系?试说明理由.1.2m1.6m

在阳光下，在同一时刻，物体的高度与物体的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的影长就越长

在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例物1高：物2高=影1长：影2长知识要点测高的方法测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。

在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？解:设高楼的高度为x米，则答:楼高36米.例1：例2：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的底部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BOOBA(F)EDDEA(F)BO2m3m201m解：太阳光是平行线，因此∠BAO=∠EDF又∠AOB=∠DFE=90°∴△ABO∽△DEFBOEF=BO==134（m）OAFDOA·EFFD=201×23∴∴

例：如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BOSTPQRba探究：为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,

求河的宽度PQ.

∠P=∠P分析：∵∠PQR=∠PST=90°STPQRba得PQ=90例题求河宽?∴

△PQR∽△PST∴45m60m90m∴知识要点测距的方法测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。

为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝110米，DC＝55米，EC＝52米，求两岸间的大致距离AB．AEDCB跟踪训练例3：已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点C？KⅡ盲区观察者看不到的区域。仰角：视线在水平线以上的夹角。水平线视线视点观察者眼睛的位置。(1)FBCDHGlAK(1)FBCDHGlAⅠKFABCDHGKⅠⅡl(2)分析：假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两颗树的顶端点A、C恰在一条直线上,如果观察者继续前进，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它。E由题意可知，AB⊥L，CD⊥L，∴AB∥CD，△AFH∽△CFK∴FHFK=AHCK即FHFH+5=8-1.612-1.6解得FH=8∴当他与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，就不能看见右边较高的树的顶端点CFABCDHGKⅠⅡl(2)1、如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高

m。

OBDCA┏┛8给我一个支点我可以撬起整个地球!---阿基米德1m16m0.5m？跟踪训练△AOC∽△BODAO:BO=AC:BD1：16=0.5：BDBB’2、(1)小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高．5.40.91由相似三角形性质得:树高

竿高树影长

竿影长=ACA’C’

(2)小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高.2.7m1.2mBACD2.7m1.2mBAC解法一:作CG⊥AB于G，CG=BD=2.7，BG=CD=1.2

答:这棵树的高为4.2米.DG

∵AG:CG=1:0.9

∴AG:2.7=1:0.9

∴AG=3

∴AB=AG+BG=4.22.7m1.2m解法二：如图，过点D作DE∥AC交AB于E点，AE=CD=1.2，BADCE∴BE=3，AB=BE+AE=4.2

答:这棵树高有4.2米.2.7m1.2mBAC解法三:延长AC交BD延长线于G，

CD:DG=1:0.9

∴DG=0.9CD=1.08

BG=BD+DG=3.78

∵AB:BG=1:0.9∴AB:3.78=1:0.9∴AB=4.2

答:这棵树的高为4.2米.DG10mBACD4m30°

(3)小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时，小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面影长为10米，在斜坡上影长为4米，斜坡的倾斜角为30°，请计算这棵树的高．10mBAC解:画CG⊥AB于G点，画CE⊥BD于E，则CE=CD=2，DE=2∴BG=CE=2，

BE=BD+DE=10+2

答:这棵树的高为(7+)米.DG由相似三角形的性质得:

AG:GC=1:2

∴AG=5+

AB=BG+AG=7+4mE30°

(3)小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时，小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面影长为10米，在斜坡上影长为4米，斜坡的倾斜角为30°，请计算这棵树的高．

由相似三角形性质得:树高

竿高树影长

竿影长=(3)小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时，小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面影长为10米，在斜坡上影长为4米，斜坡的倾斜角为30°，请计算这棵树的高．10mBACDG4mE30°

(3)小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时，小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面影长为10米，在斜坡上影长为4米，斜坡的倾斜角为30°，请计算这棵树的高．10mBACD4mEF30°1、随堂练习2、3.为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面

上,测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米

（BB'）,再把竹竿竖立在地面上,测得竹竿的影长（B'C'）为1.8米,求路灯离

地面的高度.4.如图，小华在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部，已知小华的身高是1.60m，两个路灯的高度都是9.6m，求两路灯之间的距离.MN5、如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高度。

DFBCEGA6、7、课堂小结:一、相似三角形的应用主要有如下两个方面

1测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)2测距(不能直接测量的两点间的距离)二、测高的方法

测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决三、测距的方法测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解2.解相似三角形实际问题的一般步骤：（1）审题。（2）构建图形。（3）利用相似解决问题。27.3位似新课导入相似图形这种相似有什么特征？相似图形这种相似有什么特征？照相机把人物的影像缩小到底片上相似图形这种相似有什么特征？在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么关系？2.幻灯机在哪儿呢？3.我们能给这种有特殊位置的相似图形一个名称吗？教学目标

了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质。掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律。知识与能力

经历位似图形性质的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力、以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。过程与方法

利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在此过程中培养学生的数学应用意识，进一步培养学生动手操作的良好习惯。发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。

情感态度与价值观教学重难点

位似图形的有关概念、性质与作图。利用位似将一个图形放大或缩小。直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标的关系。

这样放大或缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图是相似的。这些图形相似吗？观察它们相似的共同点是什么？其中相似图形的共同点是什么？

不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形（homotheticfigures），这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。知识要点位似图形

位似是一种具有位置关系的相似。位似图形是相似图形的特殊情形。位似图形必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。两个位似图形的位似中心只有一个。两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。注意

对应点与位似中心共线。不经过位似中心的对应边平行。位似图形上任意一对应点到位似中心的距离之比等于位似比。位似图形的性质

位似的作用位似可以将一个图形放大或缩小。

请以坐标原点O为位似中心，作□

ABCD的位似图形，并把它的边长放大3倍。小练习

分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O和□

ABCD的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的3倍，就得到所求作图形的各个顶点。1.连结OA，OB，OC，OD.2.分别延长OA，OB，OC，OD至G，C，E，F，使3.依次连结G