与圆有关的最值问题+同步练习 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课时精练29与圆有关的最值问题一、基础巩固选择题每小题5分，共25分1.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()6 43 22.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为()－9，1 －10，1－9，2 －10，23.(多选)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，则()|PQ|的最小值为1|PQ|的最小值为2两个圆的圆心所在的直线斜率为eq\f(3,4)两个圆的圆心所在的直线斜率为eq\f(4,3)4.直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为()1 eq\f(1,2) eq\f(\r(2),4) eq\f(\r(3),4)5.动圆C经过点F(1，0)，并且与直线x＝－1相切，若动圆C与直线y＝x＋2eq\r(2)＋1总有公共点，则圆C的面积()有最大值8π 有最小值2π有最小值3π 有最小值4π6.过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为________.7.已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最大值为________.8.已知圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，点B的坐标为(0，2)，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，则|PB|＋|PQ|的最小值为________.9.(15分)已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3).(1)若P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值.10.(15分)已知实数x和y满足(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)，试求下列各式的最值：(1)eq\f(y,x)；(2)x2＋y2；(3)x＋y.二、综合运用选择题每小题5分，共10分11.已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为eq\r(3)时，r的值为()2 eq\r(3) eq\r(2) 112.设点P是函数y＝－eq\r(－x2＋2x＋3)图象上任意一点，点Q的坐标为(2a，a－3)(a∈R)，当|PQ|取得最小值时圆C：(x＋a)2＋(y－2)2＝r2(r>0)上恰有2个点到直线4x－3y－10＝0的距离为1，则实数r的取值范围为()eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(22,5)，\f(32,5))) eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(22,5)，6))(3，5) (4，6)13.(15分)已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(6,5))).(1)求圆C的标准方程；(2)已知N(2，1)，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2).①求证：eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)为定值；②求|PN|2＋|QN|2的最大值.三、创新拓展14.已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为________.参考答案1.B[如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]2.A[y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时eq\f(|2×2＋b|,\r(1＋22))＝eq\r(5)，解得b＝－9或b＝1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9.]3.BC[圆C1：x2＋y2＝1的圆心(0，0)，半径1；圆C2：(x－4)2＋(y－3)2＝4，圆心(4，3)，半径2.当C1，P，Q和C2按顺序四点共线时，|PQ|取得最小值，为|C1C2|－2－1＝5－3＝2，故B正确；两个圆的圆心所在直线斜率为eq\f(3－0,4－0)＝eq\f(3,4)，故C正确.]4.B[设圆心到直线的距离为d(0<d<1)，则所截得的弦长l＝2eq\r(1－d2)，所以S△ABO＝eq\f(1,2)·2eq\r(1－d2)·d＝eq\r(（1－d2）·d2)，由基本不等式，可得S△ABO＝eq\r(（1－d2）·d2)≤eq\f(1－d2＋d2,2)＝eq\f(1,2)，当且仅当d＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立.]5.D[设圆心为(a，b)，半径为r，r＝|CF|＝|a＋1|，即(a－1)2＋b2＝(a＋1)2，即a＝eq\f(1,4)b2，∴圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)b2，b))，r＝eq\f(1,4)b2＋1，圆心到直线y＝x＋2eq\r(2)＋1的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b2,4)－b＋2\r(2)＋1)),\r(2))≤eq\f(b2,4)＋1，∴b≤－2(2eq\r(2)＋3)(舍去)或b≥2，当b＝2时，rmin＝eq\f(1,4)×4＋1＝2，∴Smin＝πr2＝4π.]6.2eq\r(2)[设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|＝eq\r(（2－3）2＋（2－1）2)＝eq\r(2).∴半弦长＝eq\r(r2－|CA|2)＝eq\r(4－2)＝eq\r(2).∴最短弦长为2eq\r(2).]7.7＋4eq\r(3)[由题可知圆心(2，0)到原点的距离为2，半径r＝eq\r(3)，x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，故(2－eq\r(3))2≤x2＋y2≤(2＋eq\r(3))2，即7－4eq\r(3)≤x2＋y2≤7＋4eq\r(3).故x2＋y2的最大值为7＋4eq\r(3).]8.2eq\r(5)[由于点B(0，2)关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆C上点Q的最短距离为|B′C|－r＝3eq\r(5)－eq\r(5)＝2eq\r(5)，所以|PB|＋|PQ|的最小值为2eq\r(5).]9.解(1)因为点P(a，a＋1)在圆上，所以a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，所以a＝4，P(4，5)，∴|PQ|＝eq\r(（4＋2）2＋（5－3）2)＝2eq\r(10)，直线PQ的斜率kPQ＝eq\f(3－5,－2－4)＝eq\f(1,3).(2)因为圆心C的坐标为(2，7)，半径为2eq\r(2)，所以|CQ|＝4eq\r(2)>2eq\r(2).∴Q在圆外，所以|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).10.解(1)设k＝eq\f(y,x)，变形为k＝eq\f(y－0,x－0)，此式表示圆(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)上一点(x，y)与点(0，0)连线的斜率，由k＝eq\f(y,x)，可得y＝kx(x≠0)，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即eq\f(|－k|,\r(k2＋1))≤eq\f(1,2)，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，故eq\f(y,x)的最大值是eq\f(\r(3),3)，最小值为－eq\f(\r(3),3).(2)由题意知x2＋y2表示圆(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.原点(0，0)到圆心(－1，0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，最小距离为1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).因此x2＋y2的最大值和最小值分别为eq\f(9,4)和eq\f(1,4).(3)令x＋y＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题可转化为斜率为－1的直线在经过圆(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)上的点时在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有eq\f(|－1－b|,\r(2))＝eq\f(1,2)，解得b＝±eq\f(\r(2),2)－1，即最大值为eq\f(\r(2),2)－1，最小值为－eq\f(\r(2),2)－1.11.D[如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，当PC⊥l时，|PC|最小时，|PM|最小.由题意得|PC|min＝d＝eq\f(|3×（－1）＋4×0－7|,\r(32＋42))＝2，所以(eq\r(3))2＝22－r2，所以r＝1.]12.C[由题得如图所示.点Q的坐标为(2a，a－3)·(a∈R)，可得点Q在直线l：x－2y－6＝0上.由y＝－eq\r(－x2＋2x＋3)，两边平方可得：(x－1)2＋y2＝4(y≤0)，可得轨迹为半圆，且圆心M(1，0)，经过圆心M与直线l垂直的直线MQ的方程为2x＋y－2＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2＝0，,x－2y－6＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))∴当|PQ|取得最小值时，Q点的坐标为(2，－2)，∴2a＝2，解得a＝1.∴圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，圆心C(－1，2)到直线4x－3y－10＝0的距离d＝eq\f(|－4－3×2－10|,\r(42＋（－3）2))＝4，又圆上恰有2个点到直线4x－3y－10＝0的距离为1，则实数r的取值范围为(4－1，4＋1)，即(3，5).]13.(1)解由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(6,5)))，设C(a，0)，又直线l：4x＋3y－6＝0的斜率为－eq\f(4,3)，则kCM＝eq\f(\f(6,5),\f(3,5)－a)＝eq\f(3,4)，所以a＝－1，所以C(－1，0)，|CM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(3,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)))\s\up12(2))＝2，即r＝2，所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)①证明设直线l1：y＝kx(k>0)，与圆联立方程组可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，Δ＝4＋12(1＋k2)>0，x1＋x2＝－eq\f(2,1＋k2)，x1x2＝－eq\f(3,1＋k2)，∴eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(－\f(2,1＋k2),－\f(3,1＋k2))＝eq\f(2,3)(为定值).②解|PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2＝(1＋k2)(x1＋x2)2－2(1＋k2)x1x2－(4＋2k)(x1＋x2)＋10＝eq\f(4（3＋k）,1＋k2)＋16，令t＝3＋k(t>3)，则k＝t－3，所以eq\f(12＋4k,1＋k2)＋16＝eq\f(4t,1＋（t－3）2)＋16＝eq\f(4,t＋\f(10,t)－6)＋16≤eq\f(4,2\r(10)－6)＋16＝2eq\r(10)＋22，当且仅当t＝eq\f(10,t)，即t＝eq\r(10)时取等号，此时k＝eq\r(10)－3，所以|PN|2＋|QN|2的最大值为2eq\r(10)＋22.14.eq\r(30)[把圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圆心M(1，－1)，半径r＝eq\r(3).直线l与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距d＝eq\f(|1－（－1）－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(\r(2),2)，由勾股定理得半弦长＝eq\r(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))