4平面平行力系与物系

山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学第三节平面一般力系和平面平行力系四、平面平行力系平面平行力系是平面一般力系的一种特殊情况。它的平衡方程可以从平面一般力系的平衡方程导出。平面平行力系的平衡方程，xyF1FnF2OF3各力与x轴垂直，与y轴平行。∑X=0∑Y=0∑MO(F)=0可求解两个未知量。平面平行力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力的代数和等于零，且各力对任一点的矩的代数和等于零。二力矩式:∑MA(F)=0式中A、B的连线不可与各力平行∑MB(F)=0山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例

2-19平面桁架承受荷载如图示，桁架自重不计。试求A、B支座的反力。解AB2m×4=8m60kN20kN40kN2m×4=8m60kN20kN40kNABFAFB

由于主动力中没有水平分量，所以，固定铰支座也就没有水平分力，桁架受力构成平面平行力系。(1)取平面桁架，画出其受力图。(2)列平衡方程并求解。∑MA(F)=0∑MB(F)=0×8-20×2FB-40×4=0+20×6-

FA

=0-60×6+40×4+60×2×8FA=70kNFB=50kN解得(3)校核。∑Y=50+70-20-40=0说明计算无误。-60山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例

2-20简支梁承受荷载如图示，梁自重不计。试求A、B支座的反力。解(1)取梁AB，画出其受力图。4kN/m12kNmAB2m2mAB4kN/m12kNm固定铰支座没有水平分力。2m2mFAFB(2)列平衡方程并求解。∑MA(F)=0∑MB(F)=0×4-4×2×1FB-12=0-

FA

=0×4-12+4×2×3FA=3kNFB=5kN解得(3)校核。∑Y=3+5=0说明计算无误。-4×2山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例

2-21

图中的塔式起重机，轨道间距AB为4m。机身总重量W=210kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量P=50kN，最大悬臂长为12m；平衡锤重Q，到机身中心线距离为6m。试求：

(1)保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，平衡锤重Q的范围；

(2)如平衡锤重Q=20kN，求满载时轨道A、B处的反力。W2m2m12m6mPQABFAFB解(1)取起重机为研究对象。作用力构成平面平行力系，如图所示。(2)起重机在满载时可能绕B点顺时针翻倒，翻倒瞬间FA=0不致翻倒应满足:∑MB≥0即Q×(6+2)+W×2-

P×(12-2)≥08Q-210×250×10≥Q≥10kN山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学210kN2m2m12m6mPQABFAFB不致翻倒应满足:Q≥10kN(3)起重机在空载时可能绕A点顺时针翻倒，翻倒瞬间FB=0不致翻倒应满足:∑MA≤0即Q×(6-2)-

W×2≤04Q210×2≤Q≤105kN所以，平衡锤重Q的范围应是：10kN

≤

Q≤105kN山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学

(4)

当

Q=20kN且满载时，求轨道A、B处的反力，即成为平面平行力系的平衡问题。210kN2m2m12m6mABFAFB20kN50kN列平衡方程并求解。∑MA(F)=0×4+20×4FB-210×2=0-50×14∑MB(F)=020×8-

FA

=0+210×2-50×10×4解得:FA=20kNFB=260kN(5)校核。∑Y=260+20-20-210=0说明计算无误。-50山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学第四节物体系统的平衡前面我们研究了单个物体的平衡问题，但是在工程实际问题中，往往遇到几个物体通过一定的约束联系在一起的系统，这种系统称为物体系统，简称物系。物体系统的平衡问题，一般都是求解未知量的问题。未知量可能是整个物系受到外部约束的反力——外力，也可能是物系中物体与物体之间连接处相互的作用力——内力。当整个物体系统处于平衡时，物系中的每一个物体也处于平衡。如果系统有n个物体，而每个物体又有3个独立的平衡方程，则整个系统共有3n个独立的平衡方程，可以求解3n个未知量。如果系统中的物体受平面汇交力系或平面平行力系作用，则独立平衡方程的个数将减少，能求未知量的个数也相应减少。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学第四节物体系统的平衡总之，在解决物体系统的平衡问题时，既可选整个系统为研究对象，也可选其中某个物体为研究对象。一般有以下两种思路：(1)先局部，后整体(或另一局部)；(2)先整体，后局部。下面分别举例说明。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例

2-22组合梁承受荷载如图示，梁的自重不计。试求A、D支座的反力。45ºACDB2m2m2m7.07kN4kN/m解(1)先作出梁AC、CD和整体的受力图45ºACB2m2mF’CyFAxFAyMAF’Cx7.07kNCD2m4kN/mFDFCyFCxACDB2m2m2mFAxFAyMA7.07kN4kN/m45ºFD山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学CD2m4kN/mFDFCyFCxACDB2m2m2mFAxFAyMA7.07kN4kN/m45ºFD只能先以梁CD为研究对象，采用“先局部，后整体”思路。(2)先取梁CD，求出FD。(只求出FD即可)∑MC=0FD4×2×1×2=FD

=4kN4kN4kN(3)再取整体，即可全部求出支座A的三个反力。∑X=0∑Y=0∑MA=0FAx-7.07×0.707=0FAy-7.07×0.707-4×2+4=0MA+4×6-7.07×0.707×2-4×2×5=0FAx=5kNFAy=9kNMA=26kN∙m山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学45ºACB2m2mF’CyFAxFAyMAF’Cx7.07kN5kN9kN26kNm(4)校核。可取梁AC，并列出∑MC∑MC=7.07×0.707×2+26-9×4=0说明计算无误。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例

2-23钢筋混凝土三铰刚架承受荷载如图示，自重不计。试求支座A、B及顶铰C处的反力。ABC6m6m4m6m2m8kN/m12kN解(1)先作出梁AC、BC和整体的受力图山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学ABC6m6m4m8kN/m12kNFAxFAyFBxFBy6m2m4m8kN/m12kN6m6mABCCFCyF’CyF’CxFCxFBxFBy6m2mFAxFAy采用“先整体，后局部”的思路。具体计算如下：(2)取整体:∑MA=0FBy×12=8×6×3+12×8FBy=20kN∑MB=0FAy×12=8×6×9+12×4FBy=40kN20kN40kN20kN40kN(3)取左部:∑MC=0FAx×8+8×6×3=40×6FAx=12kN12kN∑X=012-

FCx=0FCx=12kN12kN12kN8kN8kN∑Y=040+

FCy=8×6FCy=8kN(4)取右部:∑MC=020×6=12×2+FBx×8FBx=12kN12kN12kN12kN山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学

通过以上实例的分析，可见物体系统的平衡问题与单个物体基本相同。现将解题要领与注意事项归纳如下：

(1)单个物体直接建立了未知力与已知力间的关系，研究对象别无选择。计算时主要考虑的是如何简化，解决“好解不好解”的问题。而在物体系统的平衡问题中，则应适当选取研究对象，研究对象的未知量数不能超过平衡方程数。计算时主要解决“能解不能解”的问题。

(2)在研究物体系统与单个物体的平衡问题时，都应合理地列出平衡方程，以避免解联立方程。力矩方程的矩心宜选在多个未知力的交点上，投影方程的投影轴宜与多个未知力垂直或平行。

物体系统的平衡问题是静力学理论的综合应用。它是静力学的重点，也是难点。熟练运用平面力系的平衡方程求解单个物体及简单物体系统的平衡问题，也是本章最重要的学习目标。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学4m2m2mAB10kN/m20kNCFBFAMA课堂练习一：∑MC

=0FB

=20×24=10kN

(↑)10FAy

+

10=20+10×4FAy=50kN

(↑)∑FY=0∑MA

=0MA

=120kNm

(

)=20×6+10×4×2-

10×8山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学6m6m6mAB10kN/m30kNCFAyFAxFByFBx1.先取整体

：∑MA

(F)=0FBy

=10×12×6

+30×612=75kN

(↑)∑MB

(F)=0FAy

=10×12×6

-30×612=45kN

(↑)课堂练习二：山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学C756m6