江西省景德镇市一中2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

2023~2024年景德镇一中高二年级第二学期期中数学试题卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.等差数列中，，则的值为（）A.5 B.10 C.14 D.35【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求解.【详解】解：，解得，故选：B2.记事件A为“抛一枚硬币正面向上”，事件B为“掷一颗骰子点数为6”，则条件概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率公式求，再利用条件概率公式求.【详解】因事件A为“抛一枚硬币正面向上”，事件B为“掷一颗骰子点数为6”，所以，，因为事件独立，所以，所以，故选：B.3.随机变量X服从正态分布，若，则为（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的性质求的概率，再求可得结论.【详解】因为随机变量X服从正态分布，又，所以，故所以，故选：D.4.已知等比数列的前n项和为，若，则公比q为（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】先将表达为等比数列的片段和的形式，求公比即可.【详解】.故选：A.5.数列的前n项和为，，则的值为（）A.20 B.25 C.30 D.35【答案】C【解析】【分析】分别将代入公式，解得，进而得出的表达式，求出即可.【详解】分别将代入，得：，，即，，两式相减得：，解得：，故，故选：C.6.先后投掷两个完全相同的骰子，已知两个骰子的点数之和为10，则第一个骰子掷出的点数为5的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用列举法，分别求和，结合条件概率运算求解.【详解】记“两个骰子的点数之和为10”为事件A，“第一个骰子掷出的点数为5”为事件B，事件A包含，共有个基本事件，即，事件包含，共有1个基本事件，即，所以所求概率为.故选：C.7.给定两个随机变量和的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则表中值为（）

123452478A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】求变量平均值，结合回归方程的性质可得.【详解】由已知，，因为点在回归直线上，所以，所以，故选：B.8.记集合中元素的个数为，数列的前n项和为，则为（）A.15 B.20 C.47 D.52【答案】D【解析】【分析】根据给定信息求出数列的通项公式，再利用分组求和法求出即可得解.【详解】依题意，，因此，所以.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.随机变量X和Y的相关系数为r，则下列说法正确的是（）A.当时，X和Y具有正线性相关性 B.随着r值减小，X和Y相关性也减小C.当时，X和Y不具有相关性 D.当时，X和Y具有较强的线性相关性【答案】AD【解析】【分析】根据相关系数的定义及性质逐项判断即可.【详解】根据相关系数的含义，可得当时，X和Y具有正线性相关性；当时，成对样本数据间没有线性相关关系；故选项A正确，C错误；当时，随着r值减小，越接近1，X和Y的线性相关程度越强，故B错误；当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强知，当时，X和Y具有较强的线性相关性，故D正确.故选：AD10.已知某曲线方程为，其中a，，a与b可以相等，则下列说法正确的是（）A.该曲线为圆的概率为 B.该曲线为椭圆的概率为C.该曲线为双曲线的概率为 D.该曲线为抛物线的概率为【答案】BC【解析】【分析】列表确定所有可能曲线的形状，结合古典概型概率公式判断各选项.【详解】所有可能得曲线方程对应的曲线形状列表如下：ba－112－1双曲线双曲线1双曲线圆椭圆2双曲线椭圆圆所以该曲线为圆的概率为，A错误，该曲线为椭圆的概率为，B正确，该曲线为双曲线的概率为，C正确，该曲线为抛物线的概率为，D错误，故选：BC.11.袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球，现从袋中每次抽取一个球，抽后不放回、直到取出所有的白球，则下列说法正确的是（）A.抽取次数为两次的概率为 B.抽取次数为三次的概率为C.抽取次数为四次的概率为 D.抽取次数为五次的概率为【答案】ACD【解析】【分析】根据独立事件的概率求解方法可得答案.【详解】抽取次数为两次说明前两次都是抽取的白球，概率为；抽取次数为三次说明前两次中抽取了一个白球，第三次抽取了一个白球，概率为；抽取次数为四次说明前三次中抽取了一个白球，第四次抽取了一个白球，概率为；抽取次数为五次说明前四次中抽取了一个白球，第五次抽取了一个白球，概率为；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若数列的前n项和，则数列的通项公式为______．【答案】【解析】【分析】由条件取，可求，结合关系，求，由此可得结论.【详解】当时，,又，所以；当时，，因为，也满足关系，所以.故答案为：.13.若随机变量，则其方差______．【答案】##【解析】【分析】根据二项分布列的方差公式计算即可.【详解】因为，所以.故答案为：14.数列满足，，则数列的前项和为______．【答案】【解析】【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果.【详解】由；当时，；显然，对于时也成立；所以，；又，故.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.新高考“”模式最大的特点就是取消了文理分科，除语文、数学、外语3门必考科目外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目，为了了解学生对全文（政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，某学校从高一年级的学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全文的男生有10人，在随机抽取的50人中选择全文的比不选全文的多10人．（1）请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关；选择全文不选择全文总计男生女生总计（2）将样本的频率视作概率，估计在高一年级全体女生中随机抽取两人，恰好一人选择全文的概率．附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参公式：，其中【答案】（1）表格见解析，有关（2）.【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，求，并与临界值对比分析；（2）由题意可知：选择全文的概率为，利用独立重复性概率问题分析求解.【小问1详解】据题意可知

选择全文不选择全文总计男生101525女生20525总计302050则因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关.【小问2详解】用样本的频率视作概率，则高一年级女生选择全文的概率为，抽到两人中恰好一人选择全文的概率为.16.已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足，，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由等差数列、等比数列通项公式基本量的计算求得公比、公差即可得解；（2）由错位相减法以及等比数列求和公式即可得解.【小问1详解】设数列的公差为，数列的公比为，则，由①式平方除②式得：，得（舍）或，所以通项公式分别为.【小问2详解】记数列的前n项和为，则，，两式相减可得，故：.17.某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：原始分97959190898785848483赋分99979595949291909090现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：（2）假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值．附，若，则，．【答案】（1）分布列见解析，；（2）或16【解析】【分析】（1）X服从超几何分布，由超几何分布的概率公式即可求得分布列以及数学期望；（2）由正态分布性质得，再由二项分布结合已知列出不等式组即可得解.【小问1详解】据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布，因此，则，，，，所以X的分布列为X0123PX的数学期望为.【小问2详解】据题意可知，那么有，要使取最大值，只需，得：且，故：当或16时，取得最大值.18.近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单车的A县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x（单位；千辆）与年使用人次y（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示．x1234567y516283864108196拟用模型①或模型②对两个变量关系进行拟合，令，可得，，，，，变量y与t的标准差分别为，．（1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；（结果保留小数点后两位）（2）计算并比较两种模型的相关系数r（结果保留小数点后三位），求哪种模型预测值精度更高、更可靠；（3）已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元，按用户每使用一次，收费1元计算，若投入8000辆单车，利用（2）中更可靠的模型，预测几年后开始实现盈利．（结果保留整数）附，样本点的线性回归方程最小二乘估计公式为，，相关系数参考数据：．【答案】（1）（2）0.910；0.972；模型②预测值精度更高、更可靠；（3）6年.【解析】【分析】（1）由，利用给定的数据，利用最小二乘法求解；（2）由分别求得模型①和模型②的相关系数比较求解；（3）易得时，，再由n年后的利润为求解.【小问1详解】据题意可知，，，，，故：模型②中y关于x的回归方程为；【小问2详解】因为且，所以模型①的相关系数，模型②的相关系数，因此，模型②预测值精度更高、更可靠；【小问3详解】设预计n年后开始盈利，将代入中，得，n年后的利润为，要使，只需，且故：预测6年后开始实现盈利.19.已知数列满足，，且，（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）已知对于恒成立．求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析