必修二课后作业章末检测（一）

章末检测(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.下列几何体是旋转体的是________.(填序号)①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.答案①④2.一个球的大圆面积为9π，则该球的体积为__________.答案36π解析由题意可知该球的半径r＝3，故V＝eq\f(4,3)πr3＝36π.3.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是________.答案0解析①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.图1图24.已知用斜二测画法画出的正方形的直观图的面积为18eq\r(2)，那么原正方形的面积为________.答案72解析正方形的直观图是平行四边形，设正方形的边长为a，则eq\f(a,2)×eq\f(\r(2),2)×a＝18eq\r(2)，所以a2＝4×18＝72，故S正方形＝a2＝72.5.如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为________.答案5π解析由题意知，形成的几何体是组合体：上面是半球、下面是圆柱，∵正方形ABCD的边长为1，∠CDE＝90°，∴球的半径是1，圆柱的底面半径是1，母线长是1，∴形成的几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×1＋eq\f(1,2)×4π×12＝5π，故答案为5π.6.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是________.答案3解析显然OM∥PD，又PD⊂平面PCD，PD⊂平面PDA，∴OM∥平面PCD，OM∥平面PDA，∴①②③正确.7.若一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比是________.答案3∶2∶1解析设球的半径为R，圆柱、圆锥的底面半径为r，高为h，则r＝R，h＝2R，V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，V圆锥＝eq\f(1,3)πR2×2R＝eq\f(2,3)πR3，所以V圆柱∶V球∶V圆锥＝2πR3∶eq\f(4,3)πR3∶eq\f(2,3)πR3＝3∶2∶1.8.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有以下四个说法：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的是________.(填序号)答案①③解析若α∥β，l⊥α，则l⊥β.又m⊂β，所以l⊥m，所以①正确；若α⊥β，l⊥α，m⊂β，则l与m可能异面，所以②不正确；若l∥m，l⊥α，则m⊥α，又m⊂β，则α⊥β，所以③正确；若l⊥α，l⊥m，m⊂β，则α与β可能相交，所以④不正确.9.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是__________.答案垂直解析∵PA＝PB＝PC，∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上.又外心在BC上，设为O，则PO⊥平面ABC.又PO⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC.10.在圆锥VO中，O为底面圆的圆心，A，B为底面圆上两点，且OA⊥OB，OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________.答案eq\f(\r(3),3)解析由题意，可得三棱锥V—AOB的体积为VV—AOB＝eq\f(1,3)S△AOB·VO＝eq\f(1,6).△VAB是边长为eq\r(2)的等边三角形，其面积为eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝eq\f(\r(3),2).设点O到平面VAB的距离为h，则VO—VAB＝eq\f(1,3)S△VABh＝eq\f(\r(3),6)h＝VV—AOB＝eq\f(1,6)，解得h＝eq\f(\r(3),3)，即点O到平面VAB的距离为eq\f(\r(3),3).11.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①直线D1C∥平面A1ABB1；②直线A1D1与平面BCD1相交；③直线AD⊥平面D1DB；④平面BCD1⊥平面A1ABB1.其中正确结论的序号为________.答案①④解析因为平面A1ABB1∥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，所以D1C∥平面A1ABB1，①正确；直线A1D1在平面BCD1内，②不正确；显然AD不垂直于BD，所以AD不垂直于平面D1DB，③不正确；因为BC⊥平面A1ABB1，BC⊂平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，④正确.12.若正方体外接球的表面积是eq\f(32,3)π，则正方体的棱长为________.答案eq\f(4\r(2),3)解析设正方体的棱长为a，外接球的直径为正方体的体对角线l，所以πl2＝eq\f(32,3)π，即l2＝eq\f(32,3).又l2＝a2＋a2＋a2，所以eq\f(32,3)＝3a2，即a2＝eq\f(32,9)，所以a＝eq\f(4\r(2),3).13.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.答案eq\r(7)解析设新的底面半径为r，由题意得eq\f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).14.如图所示，在正四棱锥S—ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的________.答案①解析如图所示，连结BD与AC相交于点O，连结SO，取SC的中点F，取CD的中点G，连结EF，EG，FG.因为E，F分别是BC，SC的中点，所以EF∥SB，又EF⊄平面SBD，SB⊂平面SBD，所以EF∥平面SBD，同理可证EG∥平面SBD，又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面SBD，由题意得SO⊥平面ABCD，AC⊥SO，因为AC⊥BD，又SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥平面EFG，所以AC⊥GF，所以点P在直线GF上.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(14分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，并证明.解直线MN∥平面A1BC1.证明如下：∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.∴MN⊄平面A1BC1.如图，取A1C1的中点O1，连结NO1、BO1.∵NO1綊eq\f(1,2)D1C1，MB綊eq\f(1,2)D1C1，∴NO1綊MB，∴四边形NO1BM为平行四边形，∴MN∥BO1.又∵BO1⊂平面A1BC1，MN⊄平面A1BC1，∴MN∥平面A1BC1.16.(14分)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.求证：(1)BC∥平面PDA；(2)BC⊥PD.证明(1)∵在长方形ABCD中，BC∥AD，BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，∴BC∥平面PDA.(2)取CD的中点H，连结PH.∵PD＝PC，∴PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH⊂平面PDC，∴PH⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PH⊥BC.∵在长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，∴BC⊥平面PDC.又PD⊂平面PDC，∴BC⊥PD.17.(14分)如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点.现将△ABC沿CD折叠，使平面ADC⊥平面BDC，如图2所示.(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求四面体A—DBC的外接球体积与四棱锥D—ABFE的体积之比.解(1)AB∥平面DEF，理由如下：∵E，F分别为AC，BC的中点，∴AB∥EF，∵AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体A—DBC的外接球即为长方体的外接球.设球的半径为R，则a2＋a2＋3a2＝(2R)2，∴R2＝eq\f(5,4)a2，于是球的体积V1＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(5\r(5),6)πa3.又VA—BDC＝eq\f(1,3)S△BDC·AD＝eq\f(\r(3),6)a3，VE—DFC＝eq\f(1,3)S△DFC·eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),24)a3，∴eq\f(V1,VD—ABFE)＝eq\f(V1,VA—BDC－VE—CDF)＝eq\f(20\r(15)π,9).18.(16分)如图所示，在三角形ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点.(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求该五面体的体积.(1)证明连结AE.∵四边形ADEB为正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，∴GF∥AC.又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)证明∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面EBC.(3)解取AB的中点N，连结CN.∵AC＝BC，∴CN⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED.∵△ABC是等腰直角三角形，∴CN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2).∵五面体C－ABED是四棱锥，∴V四棱锥C－ABED＝eq\f(1,3)S四边形ABED·CN＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).19.(16分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.20.(16分)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.(1)求证：AD′⊥BE；(2)求四棱锥D′－ABCE的体积；(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.(1)证明根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D′AE，∵AD′⊂平面D′AE，∴AD′⊥BE.(2)解取AE的中点F，连结D′F，则D′F⊥AE.∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，∴D′F⊥平面ABCE，∴VD′－ABCE＝eq\f(1,3)S四边形ABCE·D′F＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×eq\f(\r(2)