专题282锐角三角函数（全章分层练习）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题28.2锐角三角函数（全章分层练习）（基础练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2018·天津和平·统考一模）的值是（

）A． B． C． D．2．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知AC=3，CD=2，则cosA的值为（

）A． B． C． D．3．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）在中，，则的面积为（

）．A． B． C．或 D．或4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在等腰中，点D在边延长线上，若，求（

）A． B．7 C． D．5．（2022上·山东潍坊·九年级校考阶段练习）如图，△ABC的顶点都是正方形网格的格点，则sin∠ABC等于（

）A． B． C． D．6．（2016·湖北荆州·中考真题）如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为（）A．3 B．4 C．6 D．87．（2023·河北唐山·统考模拟预测）如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为35°，若拉线的长度是米，则电线杆的长可表示为（）A．米B．米 C．米 D．米8．（2020上·吉林长春·九年级统考期末）在中，分别为所对的边则下列等式中不正确的是（

）A． B． C． D．9．（2018上·吉林长春·九年级阶段练习）如图已知斜坡AB长米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE．若修建的斜坡BE的坡度为，休闲平台DE的长是（）米A．20 B．15 C． D．10．（2022上·福建泉州·九年级泉州五中校考期中）一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）之间的关系为s＝8t＋2t2，若滑到坡底的时间为5s，则此人下降的高度为（

）A．90m B．45m C．45m D．90m填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2019下·重庆·八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）计算：.12．（2020·四川自贡·校考一模）在中，，则的形状是．13．（2020上·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，在平行四边形中，，垂足为E，如果，，，那么．

14．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则．

15．（2022·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考一模）如图，在斜坡AB上有一棵树BD，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上C点处测得树顶部D的仰角为60°，测得坡角∠BAE=30°，AB=6米，AC=4米．则树高BD=．16．（2020·广东深圳·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=．17．（2023上·上海闵行·九年级校联考期中）如图，在中，，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连结，那么的值是．18．（2019下·九年级单元测试）如图，某商场停车场门口的柱子上方挂着一块收费标准牌，收费标准牌的一侧用绳子和牵引着两排小彩旗，经过测量得到如下数据：米，米，，，则的长度为米．（结果保留根号）

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023上·山东泰安·九年级统考期中）计算．（1）； （2）．20．（8分）（2023上·上海闵行·九年级校联考期中）已知：如图，在中，，，，是边上的中线．（1）求的面积；（2）求的余切值．21．（10分）（2023上·河北秦皇岛·九年级统考期中）北海合浦文昌塔始建于明朝万历四十年（公元1613），距今已有三百多年历史，是取南方丁火文明之义．文昌塔现为广西南部宝塔之冠，这对研究古代文化艺术及建筑力学都有较大的价值．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量文昌塔的高度，他们先在A处测得文昌塔顶端点D的仰角为，再沿着的方向后退至C处，测得文昌塔顶端点D的仰角为．求该文昌塔的高度.（，结果保留一位小数）22．（10分）（2021·山东泰安·统考中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．（1）求m的值；（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．23．（10分）（2022·浙江·九年级专题练习）把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'．（1）求∠B'EE'的度数；（2）求∠DAC的正切值．24．（12分）（2022·山东济宁·统考中考真题）阅读理解：如图1在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径为r，作直径BD，连接DC，则∠A＝∠D．∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴在Rt△BCD中，，∴，．解决问题：如图2，在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，BC=2．（1）求△ABC外接圆的半径r；（2）求sinC的值．参考答案：1．D【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．解：，故选：D．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2．A【分析】利用直角三角形的斜边中线与斜边的关系，先求出AB，再利用直角三角形的边角关系计算cosA．解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2CD=4,∴cosA==.故选A.【点拨】本题考查了直角三角形斜边的中线与斜边的关系、锐角三角函数．掌握直角三角形斜边的中线与斜边的关系是解决本题的关键．在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．3．B【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理解三角形确定高，即可得出面积．解：如图，过点作于点，∵，∴，∴，设，则,∴,在中，，∴解得：（负值舍去）∴，此时重合，如图，∴的面积为,故选：B．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，掌握勾股定理是解题的关键．4．A【分析】过C点作于E点，根据，，设，，即：，根据是等腰直角三角形，可得，即有，再根据，可得，，可得，问题得解．解：过C点作于E点，如图，∵，∴是直角三角形，∵，，∴设，，即：，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴、是直角三角形，∵，∴，，∵，∴，∴在中，，故选：A．【点拨】本题主要考查了解直角三角形的知识，掌握正切函数、正弦函数的基本性质是解答本题的关键．5．A【分析】如图，过点A作AD⊥BC于D，解直角三角形即可解决问题．解：如下图，过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，，，故选：A．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意直角．6．C解：设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D，∵tan∠BAO=2，∴，∵S△ABO=•AO•BO=4，∴AO=2，BO=4，∵△ABO≌△A'O'B，∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，∴CD=A′O′=1，BD=BO′=2，∴x=BO－CD=4－1=3，y=BD=2，∴k=x•y=3×2=6．故选C．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点C的坐标，然后根据点C的横纵坐标之积等于k值求解即可．7．C【分析】先根据锐角三角函数的定义求出的长，然后根据中点的定义可得出结论．解：∵，∴，∵点C是的中点，∴．故选：C．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答此题的关键是熟记锐角三角函数的定义．8．B【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可．解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则sin，即，故A正确，不符合题意；，即，故B不正确，符合题意；，即，故C正确，不符合题意；，即，故D正确，不符合题意；故选：B．【点拨】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦；锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦；锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．9．A解：试题解析：作DP⊥AC，垂足为点P，延长DE交BC于点F，∵FD∥CA，∴∠BDF=∠BAC=45°，∵斜坡AB长60米，D是AB的中点，∴BD=30米，∴DF=BD•cos∠BDF=30×=30（米），BF=DF=30米，∵斜坡BE的坡比为3：1，∴，解得：EF=10（米），∴DE=DFEF=3010=20（米）．故选A.10．B【分析】根据题意求出滑下的距离s，根据坡度的概念求出坡角，根据直角三角形的性质解答即可．解：设斜坡的坡角为α，当t=5时，，∵斜坡的坡比1：，∴tanα=，∴α=30°，∴此人下降的高度=×90=45（m），故选：B．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．11．【分析】先化简二次根式，计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算加减可得．解：＝，故答案为：．【点拨】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则等知识点．12．等边三角形【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答．解：∵，∴，，即，，∴，，∴，则一定是等边三角形，故答案为:等边三角形．【点拨】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．13．/【分析】先解直角三角形求得、，再利用平行四边形的性质证得，然后利用等角对等边证得，在中求解即可求解．解：∵在中，，，∴，则，∵四边形是平行四边形，，∴，，，，∴，，∴，在中，，∴，故答案为：．【点拨】本题考查平行四边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明是解答的关键．14．//【分析】过A作轴于M，、则

，先根据矩形性质求得，，再根据余弦定义得到，证明求得，利用求解k值即可．解：过A作轴于M，、则

，

∵四边形是矩形，面积是6，∴，，∵，∴，∵轴，∴，又，∴，∴，∴，又，∴，故答案为：．【点拨】本题考查矩形的性质、反比例函数系数k的几何意义、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义，利用相似三角形的性质求得的面积是解答的关键．15．（2+4）米/（4+）米【分析】过A作AM⊥AB交CD于M，再过M作MN⊥BD于N，可得△MCA是等边三角形；再由ABNM是矩形求得BN和MN的长；然后解Rt△DMN求得DN的长即可解答.解：如图，过A作AM⊥AB交CD于M，再过M作MN⊥BD于N，∵∠CAM=180°∠MAB∠BAE=60°，∠C=60°，∴△MCA是等边三角形，∴AM=AC=4米，∠AMC=60°，∵∠ABN=∠MAB=∠MNB=90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN=AB=6米，BN=AM=4米，∠AMN=90°，Rt△DMN中，∠DMN=180°∠AMN∠AMC=30°，∴DN=MN•tan∠DMN==米，∴BD=BN+ND=（+4）米，故答案为：（+4）米.【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形；正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．16．【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明，得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案．解：过B点作BE//AD交AC于点E，BE⊥AD，，∴∴由，∴设则故答案为：17．/【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，设，由线段垂直平分线的性质推出，由勾股定理得到，求出，因此，根据即可求出．解：设，则，垂直平分，∴，，，∴，∴，∴，∴．故答案为：．18．【分析】直接根据题意得出DM的长，再求出BM，根据正切函求得CM的长，进而得出答案．解：在Rt△AMD中，∠MAD=45°，∴DM=AM=4（m），在Rt△BMC中，∠MBC=30°，∴CM=BM⋅tan30°，∵BM=AM+AB=4+8=12（m），∴CM=12，∴CD=CMDM=（米），答：警示牌的高CD为（）米．故答案为：．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用特殊角的三角函数解答．19．（1）；（2）【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算；（1）先计算零次幂、二次根式和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减；（2）先计算绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减；解：（1）；（2）．20．（1）42；（2）【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的定义，三角形中位线定理．（1）作，垂足为点H．先由，可设，那么，根据勾股定理得出，在直角中，由，得出，再根据，列出关于x的方程，解方程求出，得到，然后根据的面积即可求解；（2）作，垂足为点M．先由，得到，由D为中点，得出M为的中点，由三角形中位线定理得出，则，然后在直角中根据余切函数的定义即可求出的余切值．（1）解：过点C作，点H为垂足，在中，，是等腰直角三角形，，在中，，，，设，则，，，，解得，，；（2）解：过点D作，点M为垂足，，，，D为中点，，由（1）知：，，，在中，，．21．该文昌塔的高度约为．【分析】先根据题意得出：∠BAD、∠BCD的度数及AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB=BD，利用锐角三角函数的定义可得出BD的长．解：根据题意可知：，在中，由，得，在中，由，得．又，，．答：该文昌塔的高度约为．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，涉及到等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．22．（1）24；（2）M点的坐标为【分析】（1）根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.解：（1）∵点P纵坐标为4，∴，解得，∴，∴．（2）∵，∴，设，则，当M点在P点右侧，∴M点的坐标为，∴（6+2t）（4t）=24，解得：，（舍去），当时，，∴M点的坐标为，当M点在P点的左侧，∴M点的坐标为，∴（62t）（4+t）=24，解得：，，均舍去．综上，M点的坐标为．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．23．（1）22.5°；（2）tan∠DAC＝【分析】（1）由折叠的性质可证明四边形ABEB'为正方形．△AEE'为等腰三角形．故AE＝AE'，由∠B'AE＝∠AEB'＝45°，可推出∠AEE'＝∠A