湖南省怀化市高三上学期期末教育质量监测数学（文）试题

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2017年下期期考高三文科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B.2.复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】∵∴复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于第三象限故选C.3.下列说法正确的是（）A.若向量，则存在唯一的实数，使得.B.命题“若，则”的否命题是“若，则”.C.命题“，使得”的否定是“，均有”.D.且是的充要条件.【答案】C【解析】对于，当，时，不存在实数，使，故错误；对于，命题的否命题是将命题中的条件与结论同否定，故错误；对于，命题“，使得”的否定是“，均有”，故正确；对于，当时，，故充分性成立；当时，可以等等，故必要性不成立，故错误.故选C.4.若变量满足约束条件，那么的最小值是（）A.2B.3C.1D.4【答案】B【解析】实数满足的线性区域如图所示：可化为，由图可知当直线经过点时，截距取最小值，即.故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.已知的图像如图所示，则的图像可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由导函数图像可知，当时，函数单调递减，故排除，；由在上单调递减，在单调递增，因此当时，函数由极小值，故排除.故选D.6.在中，若满足，则的形状为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D或，或，为等腰或直角三角形，故选C.7.总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从第1行的第5列和第6列数字开始由左往右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A.01B.02C.14D.19【答案】A【解析】从随机数表第一行的第五列和第六列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于的和编号依次为，，，，，，其中第三个和第五个都是，重复。可知对应的数值为，，，，，则第五个个体的编号为.故选A.8.在数列中，已知，，则的值为（）A.2018B.C.D.5【答案】D【解析】∵，∴，，∴数列的取值具备周期性，周期数为∴故选D.9.某三棱锥的三视图如图所示，其中三个三角形都是直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知得到几何体为三棱锥，如图所示：三棱锥的对应几何体为长方体，长为2，宽为1，高为1，其体对角线.∴外接球表面积为故选C.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.10.在数列中，，又，则数列的前项和为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵∴∴故选A.11.已知，且.若恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】<8则12.设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设函数.∵∴在上恒成立∴的单调递减区间为∵是定义在上的奇函数∴∵∴为偶函数∴的单调递增区间为∵∴，∴当时，，当时，，当时，，当时，.∵不等式的解集等价于∴解集为故选D...................二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.在区间上随机取一个实数，则使函数无零点的概率为__________．【答案】【解析】∵函数无零点∴，即∵在区间上随机取一个实数，且区间的长度为∴概率为故答案为.14.已知椭圆的离心率为，则实数__________．【答案】2或8【解析】①若焦点在轴上，则，即，∴∴，即.②若焦点在轴上，则，即，∴∴得到，即.故答案为或.15.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果__________．【答案】9【解析】模拟程序的运行，可得，，第一次执行循环，，，不满足，则返回继续循环；，，不满足，则返回继续循环；，，不满足，则返回继续循环；当时，，则，，最小值为，此时.故答案为.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；(3)按照题目的要求完成解答并验证．16.设是任意正整数，定义.对于任意的正整数，设，，则__________．【答案】15【解析】∵，∴∵∴故答案为15.点睛：本题主要考查了数列的应用，考查等差数列的求和和问题，解题的关键是理解新定义，正确求得，并能准确利用题目中的定义合理地转化为数列的求和，此类题型需谨慎解答.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，记.（1）若，求的值；（2）在中，角对边分别为，且满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用向量的数量积公式，化简函数，结合，利用二倍角公式求的值；（2）由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，求得角，即可求出角的范围，从而求出的取值范围.试题解析：（1）∵，，记∴∵∴∴（2）∴，即∵∴又∵∴∴∵∴∴∴18.11月11日有2000名网购者在某购物网站进行网购消费（金额不超过1000元），其中女性1100名，男性900名.该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析，如表.（消费金额单位：元）（1）计算的值，在抽出的200名且消费金额在的网购者中随机抽出2名发放网购红包，求选出的2人均为女性的概率；（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上数据列列联表，并回答能否有的把握认为“是否为网购达人与性别有关？”附：，【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）依题意计算女性、男性应抽取的人数，求出的值，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；（2）列出列联表，计算观测值，对照临界值，得出结论.试题解析：（1）依题意，女性抽取110人，男性90人，故，；消费金额在共7人，女性5名，分别设为,,,,.男性2名，分别设为,.从中选出2人，基本事件包括，，，，,,,,,,,,,,,,,,,,共21种情况，其中2人均为女性的有10种情况，概率为（2）由题意可知：2×2列联表为女性男性合计网购达人402060非网购达人7070140合计11090200则∴有以上的把握认为“是否为网购达人与性别有关19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，分别为线段的中点.（1）求证：面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：(1)欲证平面，只要证、即可，由等边三角形性及菱形的性质可证、；(2)利用等体积转换的方法求解，即，求出三角形的面积及到平面的距离即可求体积．试题解析：（1）∵为的中点，∴，……（2分）∵底面为菱形，，∴，……（4分）∵，∴平面．……（6分）（2）∵，∴，……（7分）∵平面平面，平面平面，，∴平面，……（8分）∴，∴．……（9分）∵平面，∴平面．（10分）∵，∴．（12分）【考点】1．线面垂直的判定与性质；2．面面垂直的判定与性质；3．多面体的体积．【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质、多面体的体积，属中档题；证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法．20.已知为抛物线的焦点，点为其上一点，与关于轴对称，直线与抛物线交于异于的两点，，.（1）求抛物线的标准方程和点的坐标；（2）判断是否存在这样的直线，使得的面积最小.若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）最小值，此时直线的方程为【解析】试题分析：（1）由题意知，得出抛物线的方程，由，得出，，根据，得，由此能求出点坐标；（2）由题意知直线的斜率不为，设直线的方程为，联立方程组，设两个交点，由得，由此能求出当时有最小值，此时直线方程为.试题解析：（1）由题意知，故抛物线方程为∵∴∴（2）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为联立方程组设两个交点，由，整理得，此时，恒成立.故直线的方程可设为从而直线过定点.又∵∴的面积∴当时有最小值，此时直线的方程为.点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数.（1）当，时，求函数在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（2）在（1）的条件下，证明：（其中为自然对数的底数）【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）对函数，求导，根据，，即可求出与，从而可求出函数在处的切线方程；（2）当时，根据函数的导数，再通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；（3）在（1）的条件下，问题可转化为证明，设，问题可转化为，恒成立，根据函数的单调性证明即可.试题解析：（1）∵∴∴当∴当，令，令∴单调增区间为，单调减区间为同理，当时，单调增区间为，无减区间，当时,单调增区间为，单调减区间为.⑶当，时，要证，只需证.，则，∴在上单调递增又∵∴存在唯一当实数使得∴∴∴不等式得证点睛：导数问题经常会遇见恒成立或者有解求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.22.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为，（为参数），直线和圆交于两点，是圆上异于的任意一点.（1）求圆的参数方程.（2）求面积的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）由题意可得圆的直角坐标方程，然后即可得圆的参数方程；（2）根据题意求得直线的方程，即可得圆心到直线的距离，然后求得的值，再根据数形结合可得到直线的最大距离，即可求出面积的最大值.试题解析：.∴圆的参数方程⑵易知直线为，圆心到直线的距离∴∵由几何图形可知到直线的最大距离为∴面积的最大值为23.已知函数，（1）解不等式；（2）若，，使，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等