高考数学（北师大版文）练习第四章　三角函数解三角形第7讲　解三角形应用举例

第7讲解三角形应用举例一、选择题1．在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为()A.eq\r(6)kmB.eq\r(2)kmC.eq\r(3)kmD．2km解析如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(2,sin45°)，∴AC＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6)(km)．答案A2．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．答案A3．(2017·合肥调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为()A．akm B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm解析由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2·a·a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，解得AB＝eq\r(3)a(km)．答案B4．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/h解析设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，从而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).选B.答案B5．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5eq\r(6)B．15eq\r(3)C．5eq\r(2)D．15eq\r(6)解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).答案D二、填空题6．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．解析由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以AC＝eq\f(AB·sinB,sin∠ACB)＝eq\f(20×sin60°,sin45°)＝10eq\r(6)，所以海轮航行的速度为eq\f(10\r(6),30)＝eq\f(\r(6),3)(海里/分)．答案eq\f(\r(6),3)7．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．答案10eq\r(3)8．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.解析如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200m，∴AC＝eq\f(400,3)eq\r(3)(m)．在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos120°＝3CD2，∴CD＝eq\f(1,\r(3))AC＝eq\f(400,3)(m)．答案eq\f(400,3)三、解答题9．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为eq\f(BC,2)＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°)，即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).10．(2015·安徽卷)在△ABC中，A＝eq\f(3π,4)，AB＝6，AC＝3eq\r(2)，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．解设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3eq\r(2))2＋62－2×3eq\r(2)×6×coseq\f(3π,4)＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝3eq\r(10).又由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsin∠BAC,a)＝eq\f(3,3\r(10))＝eq\f(\r(10),10)，由题设知0<B<eq\f(π,4)，所以cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\r(1－\f(1,10))＝eq\f(3\r(10),10).在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B.由正弦定理，得AD＝eq\f(AB·sinB,sinπ－2B)＝eq\f(6sinB,2sinBcosB)＝eq\f(3,cosB)＝eq\r(10).11．如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(α＜β)，则点A离地面的高AB等于()A.eq\f(asinα·sinβ,sinβ－α) B.eq\f(asinα·sinβ,cosβ－α)C.eq\f(acosα·cosβ,sinβ－α) D.eq\f(acosα·cosβ,cosβ－α)解析结合题图示可知，∠DAC＝β－α.在△ACD中，由正弦定理得：eq\f(DC,sin∠DAC)＝eq\f(AC,sinα)，∴AC＝eq\f(asinα,sin∠DAC)＝eq\f(asinα,sinβ－α).在Rt△ABC中，AB＝ACsinβ＝eq\f(asinαsinβ,sinβ－α).答案A12．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(eq\r(3)＋1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，在Rt△ACD中，CD＝eq\f(AD,tan∠ACD)＝eq\f(60,tan30°)＝60eq\r(3)(m)，在Rt△ABD中，BD＝eq\f(AD,tan∠ABD)＝eq\f(60,tan75°)＝eq\f(60,2＋\r(3))＝60(2－eq\r(3))(m)，∴BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m)．答案C13．(2017·西安调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km2.解析如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cosB)＝eq\r(3)，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(AD,sin∠DCA)，即AD＝eq\f(ACsin∠DCA,sin∠ADC)＝eq\f(\r(3)·\f(\r(6)－\r(2),4),\f(1,2))＝eq\f(3\r(2)－\r(6),2)，故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2)－\r(6),2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(6－\r(3),4)(km2)．答案eq\f(6－\r(3),4)14．如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(eq\r(3)－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：eq\r(6)≈2.449)．解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10eq\r(3)t(海里)，BD＝10t(海里)．在△ABC中，∵AB＝(eq\r(3)－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝eq\r(\r(3)－12＋22－2×2×\r(3)－1cos120°)＝eq\r(6)(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝eq\f(ACsin120°,BC)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(6))＝eq\f