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文档简介
一、正交向量组
§4.6向量的正交化二、标准正交基三、正交矩阵设V为欧氏空间,非零向量①若则是正交向量组.②正交向量组必是线性无关向量组.一、正交向量组定义:如果它们两两正交,则称之为正交向量组.注:证:设非零向量两两正交.令则由知故线性无关.④
维欧氏空间中正交向量组所含向量个数③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组.例如:中线性无关.但不是正交向量组.1.几何空间中的情况在直角坐标系下是由单位向量构成的正交向量组,即
二、标准正交基是的一组基.设
①从②③得④即在基下,中的与内积有关的度量性质有
简单的表达形式.维欧氏空间中,由个向量构成的正交向量组称为正交基;2.标准正交基的定义由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注:①由正交基的每个向量单位化,可得到一组标准正交基.②维欧氏空间V中的一组基为标准正交基③维欧氏空间V中的一组基为标准正交基当且仅当其度量矩阵
(1)
④维欧氏空间V中标准正交基的作用:设为V的一组标准正交基,则(i)设由(1),(ii)(3)这里
(iii)有(2)(定理1)维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证:设欧氏空间V中的正交向量组,对作数学归纳法.当时,
3.标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程
就是一组正交基了.
1)使假设时结论成立,即此时可找到向量
成为一组正交基.现在来看的情形.所以必有向量不能被线性表出,因为作向量待定.从正交向量组的性质知于是取即为正交向量组.由归纳法假设知,对这个向量构成的正交组可得可扩充得正交基.于是定理得证.(1)正交化,取,求规范正交基的方法-Schmidt正交化(2)单位化,取例1
用施密特正交化方法,将向量组正交规范化.解
先正交化,取施密特正交化过程再单位化,得规范正交向量组如下例2解再把它们单位化,取例3解把基础解系正交化,即合所求.亦即取例4.
把
变成单位正交的向量组.解:令正交化再单位化即为所求.证明定义定理4.正交矩阵与正交变换
为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交.性质
正交变换保持向量的长度不变.证明例5
判别下列矩阵是否为正交阵.定义
若为正交阵,则线性变换
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