六届团支书联席会复习宝典级线代课件佚名

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一、正交向量组

§4.6向量的正交化二、标准正交基三、正交矩阵设Ｖ为欧氏空间，非零向量①若则是正交向量组.②正交向量组必是线性无关向量组.一、正交向量组定义：如果它们两两正交，则称之为正交向量组.注：证：设非零向量两两正交.令则由知故线性无关.④

维欧氏空间中正交向量组所含向量个数③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．例如：中线性无关．但不是正交向量组.1.几何空间中的情况在直角坐标系下是由单位向量构成的正交向量组，即

二、标准正交基是的一组基.设

①从②③得④即在基下，中的与内积有关的度量性质有

简单的表达形式.维欧氏空间中，由个向量构成的正交向量组称为正交基；2.标准正交基的定义由单位向量构成的正交基称为标准正交基.

注：①由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基.②维欧氏空间V中的一组基为标准正交基③维欧氏空间V中的一组基为标准正交基当且仅当其度量矩阵

(1)

④维欧氏空间V中标准正交基的作用:设为V的一组标准正交基，则(i)设由(1)，(ii)(3)这里

(iii)有(2)(定理1)维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证：设欧氏空间Ｖ中的正交向量组，对作数学归纳法．当时,

3.标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程

就是一组正交基了.

1）使假设时结论成立，即此时可找到向量

成为一组正交基.现在来看的情形.所以必有向量不能被线性表出，因为作向量待定．从正交向量组的性质知于是取即为正交向量组．由归纳法假设知，对这个向量构成的正交组可得可扩充得正交基.于是定理得证．（1）正交化，取，求规范正交基的方法-Schmidt正交化（2）单位化，取例1

用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解

先正交化，取施密特正交化过程再单位化，得规范正交向量组如下例2解再把它们单位化，取例3解把基础解系正交化，即合所求．亦即取例4.

把

变成单位正交的向量组.解：令正交化再单位化即为所求．证明定义定理4.正交矩阵与正交变换

为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交．性质

正交变换保持向量的长度不变．证明例５

判别下列矩阵是否为正交阵．定义

若为正交阵，则线性变换

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