吉林省长春市第十一高中2025届数学高一上期末学业质量监测试题含解析

吉林省长春市第十一高中2025届数学高一上期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数fxA.2π B.-πC.π D.π2．古希腊数学家阿基米德最为满意的一个数学发现是“圆柱容球”，即在球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的.已知体积为的圆柱的轴截面为正方形.则该圆柱内切球的表面积为（）A B.C. D.3．已知函数，，其中，若，，使得成立，则（）A. B.C. D.4．，，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．已知关于的方程的两个实数根分别是、，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8π B.16πC. D.7．设集合，则是A. B.C. D.有限集8．函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.9．函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）A. B.C. D.10．计算（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设，则a，b，c的大小关系为_________.12．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，___________.13．设某几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________14．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动.习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流.早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的高潮叫潮，发生在晚上的高潮叫汐，这是潮汐名称的由来.下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）.时刻（t）024681012水深（y）单位：米5.04.84.74.64.44.34.2时刻（t）141618202224水深（y）单位：米4.34.44.64.74.85.0用函数模型来近似地描述这些数据，则________.15．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则______16．已知是半径为，圆角为扇形,是扇形弧上的动点，是扇形的接矩形，则的最大值为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．化简求值：（1）已知，求的值；（2）18．已知，，且若，求的值；与能否平行，请说明理由19．已知函数为R上的奇函数，其中a为常数，e是自然对数的底数.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最小值，并求取最小值时x的值.20．已知函数(R).（1）当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值;（2）若为锐角，且，求的值.21．已知函数f（x）=（1）若f（2）=a，求a的值；（2）当a=2时，若对任意互不相等实数x1，x2∈（m，m+4），都有＞0成立，求实数m的取值范围；（3）判断函数g（x）=f（x）-x-2a（＜a＜0）在R上的零点的个数，并说明理由

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】由题意得ω=2，再代入三角函数的周期公式T=【详解】根据三角函数的周期公式T=2π函数fx=cos故选：C2、A【解析】由题目给出的条件可知，圆柱内切球的表面积圆柱表面积的，通过圆柱的体积求出圆柱底面圆半径和高，进而得出表面积，再计算内切球的表面积.【详解】设圆柱底面圆半径为，则圆柱高为，圆柱体积，解得，又圆柱内切球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，所以内切球的表面积是圆柱表面积的，圆柱表面积为，所以内切球的表面积为.故选：A.3、B【解析】首先已知等式变形为，构造两个函数，，问题可转化为这两个函数的值域之间的包含关系【详解】∵，，∴，又，∴，∴由得，，设，，则，，，∴的值域是值域的子集∵，时，，显然，（否则0属于的值域，但）∴，∴(*)由上讨论知同号，时，(*)式可化为，∴，，当时，(*)式可化为，∴，无解综上：故选：B【点睛】本题考查函数恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先是分离两个变量，然后构造新函数，问题转化为两个函数值域之间的包含关系．其次通过已知关系确定函数值域的形式（或者参数的一个范围），在这个范围解不等式才能非常简单地求解4、B【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为，，所以由不能推出，由能推出，故是的必要不充分条件故选：B5、D【解析】利用韦达定理结合对数的运算性质可求得的值，再由可求得实数的取值范围.【详解】由题意，知，因为，所以.又有两个实根、，所以，解得.故选：D.6、A【解析】由三视图还原直观图得到几何体为高为4，底面半径为2圆柱体的一半，即可求出体积.【详解】由三视图知：几何体直观图为下图圆柱体：高为h=4，底面半径r=2圆柱体的一半，∴，故选：A7、C【解析】根据二次函数和指数函数的图象和性质，分别求出两集合中函数的值域，求出两集合的交集即可【详解】由集合S中的函数y＝3x＞0，得到集合S＝{y|y＞0}；由集合T中的函数y＝x2﹣1≥﹣1，得到集合T＝{y|y≥﹣1}，则S∩T＝S故选C【点睛】本题属于求函数值域，考查了交集的求法，属于基础题8、D【解析】解不等式，即可得出函数的单调递减区间.【详解】解不等式，得，因此，函数的单调递减区间为.故选：D.【点睛】本题考查余弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题.9、B【解析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间【详解】解：函数在其定义域上单调递增，（2），（1），（2）（1）根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，故选【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题10、A【解析】利用正切的诱导公式即可求解.【详解】，故选：A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据指数函数和对数函数的单调性可得到，，，从而可比较a，b，c的大小关系.【详解】因为，，，所以.故答案为：.12、【解析】设，则，求出的表达式，再由即可求解.【详解】设，则，所以，因为是定义在上的偶函数，所以，所以当时，故答案为：.13、4【解析】根据三视图确定该几何体为三棱锥，由题中数据，以及棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】由三视图可得：该几何体为三棱锥，由题中数据可得：该三棱锥的底面是以为底边长，以为高的三角形，三棱锥的高为，因此该三棱锥的体积为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求体积的问题，熟记棱锥的结构特征，以及棱锥的体积公式即可，属于基础题型.14、##【解析】根据题意条件，结合表内给的数据，通过一天内水深的最大值和最小值，即可列出关于、之间的关系，通过解方程解出、，即可求解出答案.【详解】由表中某市码头某一天水深与时间的关系近似为函数，从表中数据可知，函数的最大值为5.0，最小值为4.2，所以,解得，，故.故答案为：或写成.15、##0.75【解析】根据条件求出，，再代入即可求解.【详解】因为的图象过原点，所以，即．又因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，所以，，所以，所以故答案为：16、【解析】设,用表示出的长度,进而用三角函数表示出,结合辅助角公式即可求得最大值.【详解】设扇形的半径为,是扇形的接矩形则,所以则所以因为,所以所以当时,取得最大值故答案为:【点睛】本题考查了三角函数的应用,将边长转化为三角函数式,结合辅助角公式求得最值是常用方法,属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）先用诱导公式化简，再用同角三角函数的平方关系求解；（2）先用诱导公式化简，再代入特殊三角函数值计算即可.【小问1详解】；【小问2详解】18、（1）；（2）不能平行.【解析】推导出，从而，，进而，由此能求出假设与平行，则推导出，，由，得，不能成立，从而假设不成立，故与不能平行【详解】，，且．，，，，，．假设与平行，则，则，，，，不能成立，故假设不成立，故与不能平行【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量能否平行的判断，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19、（1）（2）在上的最小值是-4，取最小值时x的值为.【解析】（1）根据函数为R上的奇函数，由求解；（2）由（1）得到，令，转化为二次函数求解.【小问1详解】解：因为函数为R上的奇函数，所以，解得，所以，经检验满足题意；【小问2详解】由（1）知：，，另，因为t在上递增，则，函数转化为，当时，取得最小值-4，此时，即，解得，则，所以在上的最小值是-4，取最小值时x的值为.20、(1)Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为．(2).【解析】（1）由倍角公式，辅助角公式，化简f（x），利用三角函数的图像和性质即可得解.（2）把代入f（x）的解析式得f（）的解析式，可求得，进而求得.【详解】（1）f（x）＝2sinxcosx+cos2x＝sin2x+cos2x，，∴当，即Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为（2）∵，∴∴∵θ为锐角，∴.∴【点睛】本题主要考查三角函数性质，同角三角函数的基本关系等知识，考查运算求解能力，属于中档题21、（1）；（2）；（3）个零点，理由见解析.【解析】（1）分类讨论求出f（2），代入f（2）＝a，解方程可得；（2）a＝2时，求出分段函数的增区间；“对任意互不相等的实数x1，x2∈（m，m+4），都有0成立”⇔f（x）在（m，m+4）上是增函数，根据子集关系列式可得m的范围；（3）按照x≥a和x＜a这2种情况分别讨论零点个数【详解】解：（1）因为f（2）=a，当a≤2时，4-2（a+1）+a=a，解得a=1符合；当a＜2时，-4+2（a+1）-a=a，此式无解；综上可得：a=1（2）当a=2时，f（x）=，∴f（x）的单调增区间为（-∞，）和（2，+∞），又由已知可得f（x）在（m，m+4）上单调递增，所以m+4≤，或m≥2，解得m≤-或m≥2，∴实数m的取值范围是（-∞，-]∪[2，+∞）；（3）由题意得g（x）=