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文档简介

2025届丽水市重点中学高二数学第一学期期末质量检测试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知椭圆的两个焦点分别为,若椭圆上不存在点,使得是钝角,则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.2.若数列的通项公式为,则该数列的第5项为()A. B.C. D.3.设数列的前项和为,且,则()A. B.C. D.4.设数列、都是等差数列,若,则等于()A. B.C. D.5.在等比数列中,,公比,则()A. B.6C. D.26.已知圆与圆,则两圆的位置关系是()A.外切 B.内切C.相交 D.相离7.记Sn为等差数列{an}的前n项和,给出下列4个条件:①a1=1;②a4=4;③S3=9;④S5=25,若只有一个条件不成立,则该条件为()A.① B.②C.③ D.④8.在中,角所对的边分别为,,,则外接圆的面积是()A. B.C. D.9.在正四面体中,点为所在平面上动点,若与所成角为定值,则动点的轨迹是()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线10.在直三棱柱中,侧面是边长为的正方形,,,且,则异面直线与所成的角为()A. B.C. D.11.已知点是双曲线的左焦点,是双曲线右支上一动点,过点作轴垂线并延长交双曲线左支于点,当点向上移动时,的值()A.增大 B.减小C.不变 D.无法确定12.已知数列的前n项和为,,,则=()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数,则函数在处切线的斜率为_______________.14.已知曲线的焦距是10,曲线上的点到一个焦点的距离是2,则点到另一个焦点的距离为__________.15.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为100,200,150,50件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取___________件16.过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线m,n,直线m与椭圆交于A,B两点,直线n与椭圆交于C,D两点,若.则下列方程①;②;③;④.其中可以作为直线AB的方程的是______(写出所有正确答案的序号)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的离心率为,点在椭圆上,直线与交于,两点(1)求椭圆的方程及焦点坐标;(2)若线段的垂直平分线经过点,求的取值范围18.(12分)如图,在正方体中,为的中点,点在棱上(1)若,证明:与平面不垂直;(2)若平面,求平面与平面的夹角的余弦值19.(12分)已知数列的前n项和,递增等比数列满足,且.(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前n项和为.20.(12分)已知点,(1)若过点P作的切线只有一条,求实数的值及切线方程;(2)过点P作斜率为1的直线l与相交于M,N两点,当面积最大时,求实数的值21.(12分)已知函数,(1)求的单调区间;(2)当时,求证:在上恒成立22.(10分)已知等差数列满足:,,数列的前n项和为(1)求及;(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的前项和

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】点P取端轴的一个端点时,使得∠F1PF2是最大角.已知椭圆上不存在点P,使得∠F1PF2是钝角,可得b≥c,利用离心率计算公式即可得出【详解】∵点P取端轴的一个端点时,使得∠F1PF2是最大角已知椭圆上不存在点P,使得∠F1PF2是钝角,∴b≥c,可得a2﹣c2≥c2,可得:a∴故选C【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,结合转化为的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范围).2、C【解析】直接根据通项公式,求;【详解】,故选:C3、C【解析】利用,把代入中,即可求出答案.【详解】当时,.当时,.故选:C.4、A【解析】设等差数列的公差为,根据数列是等差数列可求得,由此可得出,进而可求得所求代数式的值.【详解】设等差数列的公差为,即,由于数列也为等差数列,则,可得,即,可得,即,解得,所以,数列为常数列,对任意的,,因此,.故选:A.【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列基本量的求解,通过等差数列定义列等式求解公差是解题的关键,另外,在求解有关等差数列基本问题时,可充分利用等差数列的定义以及等差中项法来求解.5、D【解析】利用等比数列的通项公式求解【详解】由等比数列的通项公式得:.故选:D6、A【解析】求得两圆的圆心和半径,再根据圆心距与半径之和半径之差的关系,即可判断位置关系.【详解】对圆,其圆心,半径;对圆,其圆心,半径;又,故两圆外切.故选:A.7、B【解析】根据等差数列通项公式及求和公式的基本量计算,对比即可得出结果.【详解】设等差数列{an}的公差为,,,,即,即.当,时,①③④均成立,②不成立.故选:B8、B【解析】利用余弦定理可得,然后利用正弦定理可得,即求.【详解】因为,所以,由余弦定理得,,所以,设外接圆的半径为,由正统定理得,,所以,所以外接圆的面积是.故选:B.9、B【解析】把条件转化为与圆锥的轴重合,面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹后即可求解.【详解】以平面截圆锥面,平面位置不同,生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令与圆锥的轴线重合,如图所示,则圆锥母线与所成角为定值,所以面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹.根据题意,不可能垂直于平面即轨迹不可能为圆.面不可能与圆锥轴线平行,即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算与平面所成角为,即时,轨迹为抛物线,时,轨迹为椭圆,,所以轨迹为椭圆.故选:B.【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题,考查了转化化归思想,属于难题.10、C【解析】分析得出,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得异面直线与所成的角.【详解】由题意可知,,因为,,则,,因为平面,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则点、、、,,,,因此,异面直线与所成的角为.故选:C.11、C【解析】令双曲线右焦点为,由对称性可知,,结合双曲线的定义即可得出结果.【详解】令双曲线右焦点为,由对称性可知,,则,为常数,故选:C.12、D【解析】利用公式计算得到,得到答案【详解】由已知得,即,而,所以故选:D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】解:因为,所以,所以,所以函数在处切线的斜率为故答案为:14、或10.【解析】对参数a进行讨论,考虑曲线是椭圆和双曲线的情况,进而结合椭圆与双曲线的定义和性质求得答案.【详解】由题意,曲线的半焦距为5,若曲线是焦点在x轴上的椭圆,则a>16,所以,而椭圆上的点到一个焦点距离是2,则点到另一个焦点的距离为;若曲线是焦点在y轴上的椭圆,则0<a<16,所以,舍去;若曲线是双曲线,则a<0,容易判断双曲线的焦点在y轴,所以,不妨设点P在双曲线的上半支,上下焦点分别为,因为实半轴长为4,容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2,不合题意,所以点P到上焦点的距离为2,则它到下焦点的距离.故答案为:或10.15、【解析】根据分层抽样的方法,即可求解.【详解】由题意,甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为100,200,150,50件,用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取个数为件.故答案为:.16、①②【解析】①②结合椭圆方程得到与椭圆参数的关系,即可判断;③④联立直线与椭圆方程,利用弦长公式求,即可判断.【详解】由题设,且右焦点为,①时直线,故,则符合题设;②时,同①知:符合题设;③时直线,联立直线AB与椭圆方程并整理得:,则,同理可得,则,不合题设;④时,同③分析知:,不合题设;故答案为:①②.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2)【解析】(1)由题意,列出关于a,b,c的方程组求解即可得答案;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点(x0,y0),则,作差可得①,又线段MN的垂直平分线过点A(0,1),则②,联立直线MN与椭圆的方程,可得﹣t2+1+4k2>0(*),③,由①②③及(*)式联立即可求解【小问1详解】解:由题意可得,解得,所以椭圆C的方程为,焦点坐标为【小问2详解】解:设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点(x0,y0),因为,所以,即,所以①,因为线段MN的垂直平分线过点A(0,1),所以,即②,联立,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0,所以=(8kt)2﹣4(1+4k2)(4t2﹣4)=﹣16t2+16+64k2>0,即﹣t2+1+4k2>0(*),③,把③代入②,得④,把③④代入①得,所以,即,代入(*)得,解得,又k≠0,所以k的取值范围为18、(1)证明见解析(2)【解析】(1)设正方体的棱长为,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,计算出,即可证得结论成立;(2)利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值.【小问1详解】证明:以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为,则、、、,由得点的坐标为,,,因为,所以与不垂直,所以与平面不垂直【小问2详解】解:设,则,,因为平面,所以,所以,得,且,即,所以,,设平面的法向量为,由,取,可得,因为平面,所以平面的一个法向量为,所以,所以平面与平面所成夹角的余弦值为19、(1),(2)【解析】(1)先求,再由求出,设等比数列的公比为q,由条件可得,解出结合条件可得答案.(2)由(1)可得,利用错位相减法可求【小问1详解】,当时,,也满足上式,∴,则.设等比数列的公比为q,由得,解得或.因为是递增等比数列,所以,.【小问2详解】①①①②:∴20、(1);当时,切线方程为;当时,切线方程为;(2)或【解析】(1)根据题意可知P在圆上,据此即可求t和切线方程;(2)的面积,则当面积最大时,.即,据此即可求出圆心O到直线l的距离,即可求出t的数值.【小问1详解】由题意得点在上,∴,,①当时,切点,直线OP的斜率,切线斜率,切线方程为,即②当时,切点,直线OP的斜率,切线斜率,切线方程,即【小问2详解】∵的面积,则当面积最大时,.即,则圆心O到直线l距离又直线,即,则,解之得或注:亦可设圆心O到直线l的距离为d,则的面积,当且仅当,即时取等号(下同)21、(1)单调减区间为,单调增区间为;(2)证明见解析.【解析】(1)求得,根据其正负,即可判断函数单调性从而求得函数单调区间;(2)根据题意,转化目标不等式为,分别构造函数,,利用导数研究其单调性,即可证明.【小问1详解】因为,故可得,又为单调增函数,令,解得,故当时,;当时,,故的单调减区间为,单调增区间为.【小问2详解】当时,,要证,即证,又,则只需证,即证,令,,当时,,单调递增,当时,,单调递减,故当时,取得最大值;令,,又为单调增函数,且时,,当时,,单调递减,当时,,单调递增,故当时,取得最小值.则,且当时,同时取得最小值和最大值,故,即,也即时恒成立.【点睛】本题考察利用导数求函数的单调区间,以及利用导数研究恒成立问题;处理本题的关键是合理转化目标式,属中档题.22、(1);(2)【解析】(1)先根

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