数学教材习题点拨：平面向量应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨习题2。5A组1．解：设P（x，y)，R（x1，y1)，则eq\o(RA,\s\up6（→)）＝（1－x1,－y1),eq\o(AP,\s\up6(→）)＝（x－1,y)．由eq\o(RA，\s\up6（→)）＝2eq\o（AP,\s\up6(→）)，得（1－x1，－y1）＝2（x－1,y)，即eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x1＝－2x＋3，，y1＝－2y。)）代入直线l的方程y＝2x－6，得点P的轨迹方程为y＝2x.2．解:（1）证明：在△ABC中，eq\o(AE，\s\up6（→))＝eq\f(1，2）a＋eq\f（1，2）b。易知eq\o（AO，\s\up6（→)）＝eq\f（1,3)a＋eq\f（1，3）b，∴eq\o(AE,\s\up6(→））＝eq\f(3，2)eq\o（AO，\s\up6（→））。∴eq\o（AE,\s\up6(→））与eq\o(AO,\s\up6(→)）共线．又∵eq\o（AE，\s\up6（→))与eq\o（AO，\s\up6（→））有共同起点，∴A，O,E三点在同一直线上．由eq\o(AO,\s\up6（→）)＝eq\f(1，3)a＋eq\f（1，3）b，eq\o（OE,\s\up6(→））＝eq\f(1,3）eq\o（AE,\s\up6(→)）＝eq\f（1，3)×eq\f(1,2)(a＋b）＝eq\f（1，6)a＋eq\f（1，6）b，∴eq\o（AO，\s\up6(→)）＝2eq\o(OE，\s\up6（→)）。∴eq\f(AO，OE)＝2。同理可证，eq\f（BO,OF）＝eq\f(CO,OD)＝2，即eq\f（AO，OE)＝eq\f(BO,OF)＝eq\f(CO，OD)＝2.(2）eq\o(AO,\s\up6（→))＝eq\f（1,3)a＋eq\f(1，3）b.3．解：(1）s＝eq\o（AB,\s\up6(→））＝(－2，7);(2)eq\f（13,5）。4．解：（1）F3的大小为eq\r(3)＋1；（2）F3与F1的夹角为150°.B组1．解：铅球上升的最大高度为eq\f（|v0｜2sin2θ，2g）,最大投掷距离为eq\f(2|v0|2sinθcosθ，g)。2．解：船行驶到对岸所需的时间是由船行驶的实际距离与合速度决定的,也是由河的宽度d与船的速度v1在垂直对岸方向上的分速度决定的．(1)当船逆流行驶,与水流成钝角α1时,如图（1），船到对岸所需时间t1＝eq\f(500，｜v1sinα1|）＝eq\f（50,sinα1).（2）当船顺流行驶，与水流成锐角α2时，如图(2），船到对岸所需时间t2＝eq\f(500,|v1sinα2|)＝eq\f(50,sinα2).(3)当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时,如图（3）,船到对岸所需时间t3＝eq\f(500,｜v1sinα3｜）＝eq\f（500，10×1)＝50。当α1与α2分别为锐角和钝角时,t1＝eq\f（50，sinα1）〉50，t2＝eq\f（50，sinα2）〉50。综上所述,当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短．3．解:(1）设P(x，y），则eq\o（AP，\s\up6（→)）＝(x－1，y－2），eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r（2），－2eq\r（2))．将eq\o(AB，\s\up6(→)）绕点A沿顺时针方向旋转eq\f（π,4)到eq\o(AP，\s\up6(→）），相当于沿逆时针方向旋转eq\f（7π,4)到eq\o(AP,\s\up6(→)），于是eq\o（AP，\s\up6(→）)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\r(2）cos\f（7π，4)＋2\r（2)sin\f(7π，4)，\r(2）sin\f(7π,4)－2\r(2)cos\f(7π,4）)）＝(－1，－3)．所以eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x－1＝－1，，y－2＝－3.)）解得x＝0，y＝－1，即点P的坐标为(0，－1)．（2)设曲线C上任一点P的坐标为（x，y)，eq\o（OP，\s\up6（→））绕O逆时针旋转eq\f（π，4)后,点P的坐标为（x′,y′),则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x′＝xcos\f(π,4)－ysin\f（π，4)，,y′＝xsin\f（π，4）＋ycos\f(π,4）,））即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x′＝\f(\r