高考数学真题分类练习专题24 空间向量与空间角的计算（解析版）

专题24空间向量与空间角的计算

十年大数据*全景展示

年份题号考点考查内容

线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法，逻辑推

2011理18二面角的计算

理能力、空间想象能力及运算求解能力

线面平行、线线垂直、线面垂直的判定定理及二面角的计算，逻辑推

2012理19二面角的计算

理能力、空间想象能力及运算求解能力

理线面平行的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间想象能力

卷2[二面角的计算

18［来及运算求解能力

2013

空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，空间想象能力、

卷1理18空间线面角的计算

逻辑推论证能力

线面平行的判定、二面角的计算、锥体的体积计算等基础知识，逻辑

卷2理18二面角的计算

推理能力、空间想象能力、运算求解能力

空间异面直线所成角的计

2014卷2理11异面直线所成的角，空间想象能力和运算求解能力

算

空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、二面角的计算等基础知识，

卷1理19二面角的计算

逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力

空间异面直线所成角的计主线线、.线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算异面直线所

2015卷1理18

算成角，逻辑推理能力与运算求解能力.

线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角，逻辑推理能力和

卷3理19空间线面角的计算

运算求解能力

解答题中的折叠问题与探

索性问题折叠问题中线面垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑

卷2理19

推理能力和运算求解能力

2016

二面角的计算

主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻

卷1理18二面角的计算

辑推理能力与运算求解能力

卷1理11空间异面直线所成角面面平行的性质及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能

文11的计算力

空间异面直线所成角空间点、线、面位置关系及线线所成角，逻辑推理能力与运

卷3理16

的计算算求解能力

主要以三棱锥为载体面面垂直的判定与性质、简单几何体体

卷3理19二面角的计算积的计算、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算

求解能力

二面角的计算.

2017主要以三棱锥为载体线面平行的判定与性质、利用空间向量

卷2理18

空间线面角的计算计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力

空间异面直线所成角空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能

卷2理10

的计算力

空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推

卷1理18二面角的计算

理能力与运算求解能力

解答题中的折叠问题空间面面垂直的判定与性质、是否存在点是线面平行的问

卷3文19

与探索性问题题，逻辑推理能力与空间想象能力

空间异面直线所成角空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能

卷2文9

的计算力

卷1文10空间线面角的计算长方体中线面角的计算与长方体体积计算，运算求解能力

空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角与空间几

卷3理19二面角的计算

何体体积的最大值，逻辑推理能力与运算求解能力

2018

空间线面角的计算

主要以三棱锥为载体线面垂直的判定与性质、利用空间向量

卷2理20

二面角的计算计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力

空间异面直线所成角空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能

卷2理9

的计算力

解答题中的折叠问题

折叠问题中空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算线面

与探索性问题

卷1理18

角及逻辑推理能力与运算求解能力

空间线面角的计算

解答题中的折叠问题

折叠问题中的共面问题的判定、空间垂直的判定与性质、利

与探索性问题

卷3理19

用空间向量计算二面角及逻辑推理能力与运算求解能力

二面角的计算

2019空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面

卷2理17二面角的计算

角，逻辑推理能力、运算求解能力

空间线面平行的判定及利用空间向量计算二面角，逻辑推理

卷1理18二面角的计算

能力、运算求解能力

理16空间角的计算空间角的计算，利用余弦定理解三角形

卷

1空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面

理18二面角的计算

角，逻辑推理能力、运算求解能力

2020

空间位置关系判定、空

卷2理20间线面平行与垂直的证明，线面角的计算

间角的计算

二面角、点与平面位置

卷3理19点在平面的证明，利用空间向量法求二面角

关系

大数据分析*预测高考

考点出现频率2021年预测

考点82空间异面直线所成

7/28

角的计算

2021高考仍将重点考查异面直线角、线面角、二

面角，解答题第一小题重点考查线线、线面、面

考点83空间线面角的计算7/28

.面垂直的判定与性质，理科第二小题重点考查利

考点84二面角的计算14/28用向量计算线面角或二面角，难度为中档题，小

题可能考查异面直线角，难度为中档.

考点85解答题中的折叠问

4/28

题与探索性问题

十年试题分类*探求规律

考点82空间异面直线所成角的计算

1.（2018•新课标H,理9）在长方体ABC。-44Gq中，AB=BC=\,则异面直线AQ与

所成角的余弦值为（）

A.-B.正C.正D.—

5652

【答案】C

【解析】以。为原点，为x轴，ZX7为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，•.•在长方体

ABCD-ABCR中,AB=BC=1,AAi=>/3,A（1,0,0）,R（0,0,丛）,3（0,0,0）.B,（l,1,

5,...宿=（-1,0,6）,DB,'=（1,1,百），设异面直线AQ与。瓦所成角为e,则

cosgJ丝吧=斗=b,.•.异面直线A"与。鸟所成角的余弦值为赵，故选C.

IADt|.||2<555

2.（2018•新课标H,文9）在正方体中，E为棱CG的中点，则异面直线钻与8所成

角的正切值为（）

【答案】C

【解析】连接BE,因为AB//CD,所以/EAB是异面直线AE与8所成角，设正方体棱长为2,则

AB=BC=2CE=2，在Rt△BCE中，BE=HBC2+CE?=君,在RtM.BE中，

BE_45

tanZE4B益:3,..・异面直线,与8所成角的正切值为q’故选。

3.（2017•新课标H,理10）已知直三棱柱ABC-ABC中，zL4BC=120°,AB=2,BC=CCt=l,则异

面直线A4与8G所成角的余弦值为（）

A,3

D.

2553

【答案】C

【解析】如图所示，设A/、N、P分别为4?，B4和8G的中点，则4片、Be1夹角为MN和NP夹角或

其补角（因异面直线所成角为（0,^]）,可知MN=gA4=乎，

151

NP=-BC,=—,作BC中点Q,则APQM为直角三角形，•.・PQ=1,MQ=-AC,在AABC中，由余弦

222

定理得，AC2=AB2+BC2-2/lB.BC<osZABC=4+l-2x2xlx（-^）=7,

:.AC=yH,:.MQ=^-,在AMQP中，MP=^MQ2+PQ2,在APMV中，由余弦定理得

（道、2+（也、2T四、2「

MN2+NP2-PM2（亏）+7t

cosZMNpJ'+NI—L^=_2--------2_2_=_2<w5又异面直线所成角的范围是（o,%],

2・MN・NP\J5\J252

2xx

22

ABt与BG所成角的余弦值为半.

4.（2016•新课标I,理11文11）平面a过正方体的顶点A,a//平面cC平

面=aC平面AB81A=〃，则"?、〃所成角的正弦值为（）

A.B五「6

BC-.----D

223-I

【答案】A

【解析】如图：a〃平面CBQi,平面A8a>=相，eC平面人姐用=〃，可知：n//CDt,1n“BQ、,

•.•△CBQ是正三角形.机、"所成角就是NCAS=60。，则机、”所成角的正弦值为手，故选A.

5.（2014新课标H,理11）直三棱柱ABC-ABCi中，ZBCA=90°,M,N分别是AB，AC的中点,

BC=CA=CCi，则BM与AN所成的角的余弦值为（）

1D.专

A.B.|C.叵

10510

【答案】C

【解析】如图所示，取BC的中点P,连结NP、AP,'：M,N分别是A4，4G的中点，，

四边形为平行四边形，.•.所求角的余弦值等于N/WP的余弦值，不妨令

=C4=C£=2,则AN=AP=行，NP=MB=瓜,

14Vl2+|(⑹2+(向2—g2二回

，cosZA/VP=故选C.

2x|AJV|.|NP|2x^5xV610

6.（2020全国I理16）如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，

AC=l,AB=AD=yf3,AB^AC,AB^AD,ZCAE=30°,贝Ucos4FCB=

【思路导引】在△ACE中，利用余弦定理可求得CE，可得出CF，利用勾股定理计算出BC、BD，可

得出BF，然后在△BCF中利用余弦定理可求得cosNPCB的值.

【解析】vABlAC.AB=BAC=1,由勾股定理得3C=JAB2+AC2=2,

同理得50=指，5尸=8。=C，在△ACE中，AC=1,AE=AO=0，NC4E=30°，

由余弦定理得C£：2=AC2+A£2—2AC-AECOS3（T=1+3-2xlxgx*=l，:.CF=CE=\,

在&BCF中，BC-2，BF—\[6，CF=1,

Hr令？七小IK阳/口心口CF~+BC2—BF~1+4-613y一八、、I

由余弦xt理得cosZ,FCB------------------=--------=—,故答案为：——.

2CFBC2x1x244

7.（2017•新课标HI,理16）”，人为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形A8C的直角边AC所在

直线与a,〃都.垂直，斜边43以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线A3与a成60。角时，AB与〃成30。角;

②当直线4?与a成60。角时，Afl与6成60。角;

③直线AB与a所成角的最小值为45°;

④直线与。所成角的最小值为60。:

其中正确的是—.（填写所有正确结论的编号）

【答案】②③

【解析】由题意知，a、b.AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1,

故14cl=1,|AB|=0,斜边他以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，5点的运动轨迹是以C为圆心,

1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，C3为y轴，C4为z轴，建立空间直角坐标系，则。（1,0,

0）,4（0,0,1）,直线”的方向单位向量及=（0,1,0）,|d|=1,直线。的方向单位向量5=（1，0,0）,

151=1,设5点在运动过程中的坐标中的坐标"（cos。，sin<9,0）,其中6为与CD的夹角，6»e[0.2万），

二A1在运动过程中的向量，AB'=（con0,sin。，-1）,\AB'\=41,设而与1所成夹角为ae[0,-],

2

皿]K-COS0,-sin0,l）.（o,1,0）|mrn拒]

贝ijcosa=-------------------------------=——sin6*e[0,——],

|^|.|ABf\22

.•.③正确，④错误.设咫与5所成夹角为尸€[0,yj,

cos^=^±l

…猊谭。加考.当市与1夹角为60。时,即W

\AB'\^b\

|sin0|=V2cosa=V2cosy=^-,vcos2^4-sin20=1><*.cosp-\cosl=~?,・•〃£[(),^-],y?=y♦

此时府与5的夹角为60。，.•・②正确，①错误.

8.（2015浙江）如图，三棱锥A-BCO中，AB=AC=BO=CD=3,A£>=3C=2,点M,N分别是

AD,BC的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是—.

7

【答案】-

8

【解析】如图连接ND,取ND的中点E,连接用E,CE,则ME//AN.

则异面直线AN，CM所成的角为NEMC,山题意可知CN=1,AN=2血，

：.ME=42.又CM=26,DN=2五,NE=C，：.CE=A

CM、EM2-CE°8+2-37

则cos/CME=

2cMxEM2x20x0-8

9.（2015四川）如图，四边形ABC。和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ

上，E,F分别为AB,5c的中点.设异面直线与AE所成的角为凡则cos。的最大值为.

0X£

2

【答案】

【解析】AB为x轴，A。为y轴，A。为z轴建立坐标系，设正方形边长为？.

cosO=岳？令.=肃、(硝°”八—一奇普五

o2

•••me[0,2],：.f'(nt)<0,/(m)max=/(O)=-,即cos0nwx=-.

10.(2015•新课标I,理18)如图，四边形/IBC。为菱形，ZABC=120°,E,尸是平面A3CD同一侧的

两点，3E_L平面ABC。，Z)F_L平面/WC£>,BE=2DF,AELEC.

(I)证明：平面AEC_L平面AFC

(II)求直线与直线CF所成角的余弦值.

由ZABC=120°,

口J得AG=GC=6,

3E_L平面ABC£),AB=BC=2,

可知隹=EC,又A£_LEC,

所以EG=6,且EG_LAC,

在直角AE3G中，可得BE二日故DF二J

2

在直角三角形的中，可得四手,

在直角梯形皮）EE中，由比＞=2,BE=41,FD二去,可得所=卜虫&-逑

从而EG2+FG2=EF2,则EG_LFG,

FRFD=0史=1,

（或由tanZEGB.tanZFGD=—.—

BGDG2

可得NEGB+ZFGD=90°,则EG1FG）

AC0|FG=G,可得EGJ•平面AFC,

山EGu平面AEC,所以平面AECL平面AFC；

（II）如图，以G为坐标原点，分别以G8,GC为x轴，y轴，|G3|为单位长度,

建立空间直角坐标系G-孙z,由（I）可得A（0,-6，0）,E（1,0,72）,

F（-l,0,—）,C（0,丛,0）,

2

_5

即有瓶=（1,6，72）,CF=（-1,-石，—）,

2

AE-CF-1-3+1=G

故cos<AE,CF>=

lAfHCFI3

则有直线AE与直线b所成角的余弦值为母

匕

考点83空间线面角的计算

1.（2020山东4）日唇是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的唇针投射到唇面的影子来测定

时间.把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度是指。4与地球赤道所在平面所成角，点A处

的水平面是指过点A且与Q4垂直的平面.在点A处放置一个日辱，若辱面与赤道所在平面平行，点A处的

纬度为北纬40。，则唇针与点A处的水平面所成角为（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

【答案】B

【思路导引】画出截面图，根据点A处的纬度，计算出辱针与点A处的水平面所成角.

【解析】画出截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；/是点A处的水平面的截线，依题意可

知。4_U；A3是愚针所在直线.m是劈面的截线，依题意可知相〃CD、AB±m.

由于NAOC=40。,加〃CD,所以NQ4G=ZAOC=40°,

由于NQ4G+ZGAE=ZBAE+ZGAE=90°，

所以N84E=NQ4G=40°，也即孱针与点A处的水平面所成角为NB4E=40。，故选：B.

B

2.（2018•新课标I,文10）在长方体ABCD-AgCQ中，钻=8C=2,AQ与平面阴QC所成的角为30。,

则该长方体的体积为（）

A.8B.672C.8应D.8G

【答案】C

【解析】长方体ABC。-A4C中，AB=BC=2,AG与平面B8CC所成的角为30。，

22

即NAGB=30°，可得BC；=t普。=，可得BBt=7（2^）-2=272,所以该长方体的体积为:

2x2x20=8夜，故选C.

3.（2014浙江）如图，某人在垂直于水.平地面A8C的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的

距离为AB,某目标点尸沿墙面的射击线OW移动，此人为.了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察

点P的仰角。的大小（仰角。为直线AP与平面ABC所成角）.若43=15相，AC=25m,N5cM=30。

则Ian。的最大值

R而

A.叵D.--------

510

【答案】D

【解析】作垂足为“，设P”=x,则CH=Jir,由余弦定理A”=J625+3d-4()6,

tan3=tanNPAH="=1=(工>0),

AH62540.।3*

Vx2x

故当工=生叵时，tan。取得最大值，最大值为述，故选D.

x1259

4.（2014四川）如图，在正方体ABC。—A4GA中，点。为线段8。的中点.设点P在线段CQ上,

直线OP与平面ABD所成的角为a,则sina的取值范围是

市一V620,272„

A.B・[-y,1]c.r3]D.[3,1]

【答案】B

TT

【解析】直线。尸与平面ABO所成的角为a的取值范围是NAO&fNC04，由于

sinZAOA,=《，sin/C04=2•日•日=半＞中，sin^=l，所以sine的取值范围是[曰,1].

5.(2020全国n理20)如图，已知三棱柱ABC-A4G的底面是正三角形，侧面BBCC是矩形，M,N分

别为的中点，P为AM上一点.过qG和2的平面交4?于E，交AC于F.

(1)证明：AAJ1MN,且平面AAMV_L平面E81GF；

(2)设O为△AB|G的中心，若AO〃平面E8|C|F，且=求直线与平面4AMN所成角的正

弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)巫.

10

【思路导引】

(1)由M,N分别为BC,4G的中点,MNHCC、,根据条件可得AA//BBt,可证MN〃A4,,要证平面

EB©F，平面AAMN,只需证明麻，平面4AMN即可;

(2)连接NP,先求证四边形QVB4是平行四边形，根据几何关系求得印，在与G截取4Q=EP,由

(1)3CL平面AAMN,可得NQPN为与平面A4MN所成角，即可求得答案.

【解析】

(I)vM,N分别为BC,B©的中点，

r.MN//BB.

又AAJ/BB、

：.MN1心

在AABC中，M为8C中点，则BCLAM

又♦.•侧面BgC。为矩形，

/.BC±BB]

MNI/BB、

MNLBC

由=MN,AMu平面4AMN

BC_L平面A]AMN

又B.CJ/BC,且B£z平面ABC,8Cu平面ABC，

.•.片£〃平面ABC

又4Gu平面EgC/,且平面E用C/c平面A8C=砂

：.B<CJIEF

EFUBC

又；BCJ_平面AAMN

EF_L平面4AMN

EFu平面EBCF

，平面后片。/_L平面4AMN

(2)连接NP

,/AOII平面EB°iF,平面AONPc平面EB£F=NP，,AO//NP,

根据三棱柱上下底面平行,其面ANM4c平面ABC=40,而ANM4c平面A4G=AN,.•.ONHAP,

故：四边形QNQ4是平行四边形.

设AABC边长是6根(加＞0),可得：ON=AP,NP=AO=AB=6m,

。为A4,4G的中心，且△44G边长为6加，「.ON=gx6xsin60°=百加，故：ON=AP=@乳.

•・m〃5.AP_EP.73EP""

.EF//BC,••—，••—产=»解得：EP—iTi，

AMBM3733

在gG截取BQ=EP=m,故QN=2m,vB.Q=EP且B.Q//EP,四边形B.QPE是平行四边形，

B.E//PQ.

由（1）与£_1_平面44肋7,故NQPN为BE与平面A.AMN所成角

在RtAQPN,根据勾股定理可得：PQ=^QN2+PN2=&2布丫+（6m）2=2回〃1，

,sin/QPN=0="=典,，直线与平面AAMN所成角的正弦值：叵.

PQ2Mm1010

6.（2018•新课标H,理20）如图，在三棱锥P—ABC中，AB=BC=2四,PA=PB=PC=-AC=4,O为

AC的中点.

（1）证明：PO_L平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M-A4-C为30。，求PC与平面RAM所成角的正弦值.

【解析】（1）证明：连接80，

AB=BC=2y/2,。是AC的中点,

.-.BOA.AC,且30=2,

又PA=PC=PB=AC=4,

.-.PO1AC,尸。=24，

贝ijPB1=POr+BO2,

则PO1.OB，

■.OB^AC^O,

平面ABC；

（2.）建立以O坐标原点，OB,OC，OP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:

A(0,-2,0),P(0,0,2®C(O,2,0),BQ,0,0),

BC=(-2,2,0),

=ABC=(-2A,22,0),O<A<1

则赤=丽一丽=(-2/l,2/1,0)-(-2,-2,0)=(2-2/1,22+2.0),

则平面E4C的法向量为所=(1,0,0),

设平面MR4的法向量为为=(x,y,z),

则⑸=(0,-2,-26)，

贝IJ%P/i=-2y-2V5z=0,ri.AM=(2-2A)x+(22+2)y=0

令z=1,则y=>x=+,

1—A

即为=(七距，一百，1),

1-2

•.•二面角M-2-C为30。，

an。m>ri6

I而11”12

U+l)>/3

即"I=虫,

+1+3+

VI-A

解得;1=1或2=3(舍)，

3

则平面ME4的法向量为=(26,-6，1).

PC=(0,2,-2扬，

PC与平面PAM所成角的正弦值sin0=\cos<PC,H>|=|挈-沙=迪=避

V16.VI6164

7.(2016•新课标III,理19)如图，四棱锥尸一ABCD中，Q41.底面/WCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,

PA=BC=4,M为线段A£＞上一点，AM=2MD,N为PC的中点.

(1)证明：MN//平面Q4B；

(2)求直线4V与平面9V所成角的正弦值.

【解析】（1）证明：法一、如图，取P3中点G,连接AG,NG,

•.•N为PC的中点，

:.NGHBC,且NG」BC,

2

2

又AM=-AO=2,BC=4r且AD//8C,

3

:.AM//BC，^.AM=-BC,

2

则NG//AM，且NG=AM,

二.四边形AMNG为平行四边形，则NM〃AG,

•.•AGu平面aw，MWc平面以3,

.1MV//平面/VLB；

法二、

在APAC中，过N作NE_LAC,垂足为E,连接ME,

42_i_32_322

在AABC中，由已知AB=AC=3,BC=4,得cosN4c5=——:——,

2x4x33

•.AD//BC,

.\cosZE4M=-,W«JsinZEAM=—,

33

在A£4M中，

213

•/AM=-AD=2,AE=—AC=二，

322

由余弦定理得：EM=yjAE2+AM2-2AE^AM•cosZEAM=J-4-4-2x-x2x-=-,

V4232

3~+32—4~1

而在AABC中，cosABAC=-------------=—,

2x3x39

/.cosZAEM=cosABAC,即ZAEM=ABAC，

：.AB//EM,则EM〃平面P45.

由Q4J■底面ABC£>,得B4_LAC,又NELAC,

:.NE//PA,则NE〃平面RW.

NE^EM=E,

平面NEM//平面RW,则MN//平面FAB；

2

(2)解：在MMC中由AM=2AC=3cos/.MAC=—得

3

2

CM2=AC2+AM2-2AC<AMK:OSZA^4C=9+4-2X3X2X-=5.

3

AM2+MC2=AC',则AM_LMC,

•.,R4_L底面ABCD，ftAu平面;HD，

.•.平面ABCD±平面PAD,且平面ABCDC平面PAD=AD,

平面皿)，则平面PMW_L平面皿).

在平面24。内，过A作AF_LPM，交.PM于F,连接NF，则NAA下为直线AV与平面P/WN所成角.

在RtAPAC中，由N是尸C的中点，^AN=-PC=--JPA2+PC2=-.

222

在RtAPAM中，由PA^M/l=PM・AF,得AF=0"斗"==t上

PM5

4-

./SKjrA尸58小

AN525

2

/.直线AN与平面PMN所成角的正弦值为至.

25

8.（2013新课标I,理18）如图，三棱柱ABC-AiBiG中，CA=CB,AB=AA|,ZBAAi=60°.

(I)证明ABlAiC；

(Il)若平面ABC，平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线AC与平面BBCiC所成角的正弦值.

【解析】(I)取AB中点E,连结CE,A1,AtE,

•••AB=AA-ZBAA]=60°,是正三角形，

AE_LAB,VCA=CB,/.CE±AB,VCEr>AiE=E,；.AB_L面。£4「

AABIA]C-,.......6分

(II)由(I)知EC_LAB,EAJAB,

又面ABC_L面ABB]A,面ABCn面ABgA=AB,ECJ_面ABB,A,EC±EA,,

...EA,EC,EA两两相互垂直，以E为坐标原点，丽的方向为X轴正方向，|丽|为单位长度，建立如图所

示空间直角坐标系O—孙z,

有题设知A(l,0,0),A(0,G，0),C(0,0,百)，B(-l,0,0),则(I,0,V3),瓯=直

=(-1,0,G),y4jC=(0,一6,G),9分

设"=(x,y,z)是平面CBBG的法向量,

n•BC=0X+£z=0r

则《一.,即《,可取/i=(V3,1,-1),

n*BBx=0犬+V3y=0

直线AC与平面BBCC所成角的正弦值为萼

12分

9.（2018浙江）如图，已知多面体ABC4用G，4A,B{B,均垂直于平面ABC,NABC=120。,

A,A=4,C,C=1,AB=BC=B[B=2.

(1)证明：44，平面436；

(2)求直线AG与平面ABB,所成的角的正弦值.

【解析】⑴由AB=2,A4,=4,BB、=2,AA{A.AB,得

AB]—AiB[=2\/2.

所以48：+A8：=441

故阴_L44.

由3c=2,BB1=2,CC,=1,BB,1BC,CCQBC得B©=布,

由AB=5C=2,/钻。=120°得4。=26，

由CG^AC,得AG=JB,所以A¥+3C；=AG2,故A与_L与G.

因此，平面AgG.

（2）如图，过点G作交直线A4于点。，连结AO.

由AB,1平面A4G得平面A£G±平面ABB,,

由CQ1A4得C.D1平面ABB,,

所以ZC,AD是AG与平面ABg所成的角.

由4G=6，44=24，AG=后

得cosNC]A4=*，SinZC,A^=-y=,

所以C]O=百，故sinNC|AO=£D739

AC,13

J39

因此，直线AG与平面AB片所成的角的正弦值是黄.

方法二（1）如图，以AC的中点。为原点，分别以射线。5,OC为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标

系O一肛z.

山题意知各点坐标如下：

A((),-百,())，8(1,0,0),4(0,—百,4),与(1,0,2),。|(0,百,1),

因此第=(1,6,2),病=(1,百,一2),而=(0,26,—3),

由=0得A4_LA片.

由福■•祠=0得&旦_LAC「

所以A4，平面Age.

(2)设直线AG与平面所成的角为内

由(1)可知福=(0,26,1),^45=(1,73,0),瓯=(0,0,2),

设平面ABBl的法向量〃=(x,yfz).

山卜竺=0,即卜+岛=0,可取〃=(_鬲,0)

[«BB,=0[2z=0

所以sin6=|cos<AC,,n>|='.

\AQ\-\n\13

因此，直线AG与平面ABB1所成的角的正弦值是叵.

10.(2017浙江)如图，已知四棱锥P—ABCD,△%£>是以A£>为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,

CDA.AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PO的中点.

(I)证明：C£〃平面B43；

(II)求直线CE与平面P8C所成角的正弦值.

【解析】(1)如图，设用中点为用连结E尸，FB.

因为E,F分别为PZ),以中点，所以EF〃4。且

2

又因为2C〃AO,BC=~AD,所以

2

EF//BC且EF=BC,

即四边形BCE尸为平行四边形，所以CE〃命，

因此CE〃平面PAB.

(II)分别取BC,AD的中点为M,N.连结PN交EF于点。，连结MQ.

因为E,F,N分别是PC,PA,4。的中点，所以。为EF中点，

在平行四边形8CEF中，MQ//CE.

由AB4Z>为等腰直角三角形得

PNLAD.

由。C_LA。，N是4。的中点得

BNLAD.

所以ADL平面PBN,

由BC//AD得BCJ_平面PBN,

那么，平面PBC_L平面PBN.

过点Q作PB的垂线，垂足为〃，连结

是MQ在平面P8C上的射影，所以NQMH是直线CE与平面P3C所成的角.

设CD=1.

在APCD中，山PC=2,CD=\,PD=x/2得C£=V2,

在△P5N中，由PN=BN