专题02整式及其加减（原卷版）

专题02整式及其加减思维导图核心考点聚焦1.列代数式2.单项式、系数、次数3.多项式、项、系数、次数4.已知同类项求指数中字母或者代数式的值5.整式的加减运算6.整式的加减中的化简求值7.整式的加减中的无关型问题8.已知式子的值，求代数式的值9.整式加减的应用10.单项式规律题11.数字类规律探究问题12.图形类规律探究问题一、字母表示数字母可以表示任意的数，但在一道题中只能表示一个数.也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来.二、列代数式及书写要求代数式：用运算符号把字母和数字连接而成的式子就叫代数式.代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，就可以得到代数式的值.代数式的书写要求：①字母与数字相乘，或字母与字母相乘，乘号不用“×”，而是“”，或略去不写.因“×”与“x”易混淆.②字母与数字相乘，一般数字在前，系数带分数的，一般写成假分数.因3x易混淆为3x.③系数是1时，一般省略不写.④多项式后面带单位，多项式须用括号括起来.三、单项式的概念单项式：数或字母的积.（单独的一个数或一个字母也是单项式）.例：5x；100；x；10ab等注：分母中有字母的不是单项式.例：不是单项式.单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数.例：的系数为.单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和.例：的次数为3次.四、多项式的有关概念多项式：几个单项式的和.注：关于“和”的理解，减某个单项式，实际是加该单项式的“相反数”.例如：32x3y﹣y2+xy可以视作：32x3y+（﹣y2）+xy．项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式.常数项：不含字母的项.多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）.五、整式的概念整式：单项式与多项式统称为整式.注：=1\*GB3①多项式是由多个单项式构成的；=2\*GB3②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；=3\*GB3③分母中含有字母的式子不是整式．六、合并同类项同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）．例:5abc2与3abc2是同类型，3abc与3abc是同类型．判断同类项需要同时满足2个条件：=1\*GB3①所含字母相同；=2\*GB3②相同字母的指数相同．合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项．同类项合并的方法：系数对应相加减，字母及指数不变.七、去（添）括号法则（1）括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变；（2）括号前是“”，去括号后，括号内的符号全部要变号；（3）括号前有系数的，去括号后，括号内各项都要乘此系数．解题技巧：去多重括号，可以先去大括号，再去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.可依据简易程度，选择合适顺序.八、整式的加减（合并同类项）整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：=1\*GB3①将同类项找出，并放在一起；=2\*GB3②合并同类项.解题技巧：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项.（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算.合并同类项要完全、彻底，不能漏项.九、整式的实际应用（几何图形类）解题技巧：解决此类问题，需要先根据题干意思和具体图形，列代数式表示量的大小，再根据题目要求进行分析求解.十、整式的实际应用（综合应用）解题技巧：解决此类问题，需要先根据题干意思，列代数式表示量的大小，再根据题目要求进行分析求解.1.遇到含π的单项式，单项式的系数里要带上π，这一点要特别注意.2.去括号时括号前是负号时要特别注意，去括号后，括号内的符号全部要变号.3.单项式规律探究是整式加减部分的一个重难点，主要有两类题型，一类是数字规律探究，另一类是图形规律探究，需要多练习揣摩.考点剖析考点一、列代数式例题1：已知a是一位数，b是两位数，若将a放在b的左边，所得到的三位数是．【答案】【解析】根据题意可得所得到的三位数是，故答案为：．考点二、单项式、系数、次数例题2：单项式的系数是，次数是次．【答案】；6【解析】单项式的系数和次数分别是，．故答案为：，6．考点三、多项式、项、系数、次数例题3：单项式的系数是；若是三次二项式，则等于．【答案】；【解析】单项式的系数是；若是三次二项式，所以且，所以，故答案为：，．考点四、已知同类项求指数中字母或者代数式的值例题4：如果单项式与是同类项，那么．【答案】1【解析】因为单项式与是同类项，所以，解得，所以，故答案为：1．考点五、整式的加减运算例题5：计算：(1)．(2)．【解析】（1）；（2）．考点六、整式的加减中的化简求值例题6：先化简，再求值：，其中，．【解析】==；当时，原式．考点七、整式的加减中的无关型问题例题7：已知：，．(1)计算的表达式；(2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值．【解析】（1）；（2），因为代数式的值与字母的取值无关，所以，所以，所以．考点八、已知式子的值，求代数式的值例题8：“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如我们把看成一个整体，则，尝试应用整体思想解决下列问题：(1)把看成一个整体，合并；(2)已知，求的值；(3)已知，，，求的值．【解析】（1）；（2）因为，所以；（3）因为，，，所以，，所以．考点九、整式加减的应用例题9：随着生活水平的提高，改善型住宅已成为人们的购房趋势．小王家新买了一套商品房，其建筑平面图如图所示（单位：米）．(1)这套住房的建筑总面积是________平方米．（用含，的式子表示）(2)已知，且客厅面积是卧室①面积的倍，求小王家这套住房的建筑总面积．(3)在（2）的条件下，小王准备将房子的地面铺上地砖，他找到装修公司共同确定了选用材料的品牌、规格及品质要求，装修公司的报价如下：客厅地面220元/平方米，书房和两个卧室地面200元/平方米，厨房和卫生间地面180元/平方米．求小王铺地砖的总费用．【解析】（1）由题意可得：这套住房的建筑总面积是：平方米，即这套住房的建筑总面积是平方米．故答案为：．（2）由题意可得：，，总面积（平方米）．（3）总费用（元）．答：小王铺地砖的总费用是20320元．考点十、单项式规律题例题10：按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，则第个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】第一个单项式为，第二个单项式为，第三个单项式为，第四个单项式为，……所以可以得到规律：第n个单项式的系数为，次数为，即第n个单项式为，故选D．考点十一、数字类规律探究问题例题11：将一列有理数1，2，3，4，5，6，…按如图所示进行有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数________，2023在A，B，C，D，E中的________位置。（）A．30，A B．29，B C．31，C D．28，B

【答案】B【解析】由4，9，14，••••••得，n为奇数时，峰n中峰顶的位置（C的位置）是4+5（n1）；n为偶数时，峰n中峰顶的位置（C的位置）是45（n1）．所以峰6中峰顶的位置（C的位置）是45×（61）=29，由4+5×（4051）=2024，得2024在C位置，所以2023在B位置．故选B．考点十二、图形类规律探究问题例题12：用火柴棒按如图的方式搭三角形组成的图形(1)填写下表：三角形个数12345…火柴棒根数357________…(2)当三角形的个数是n时，所用的火柴的根数是________（用含n的代数式表示）．(3)是否存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为观察图形可知：第一个图形中，有个三角形、有根火柴棒；第二个图形中，有个三角形、有根火柴棒；第三个图形中，有个三角形、有根火柴棒；第四个图形中，有个三角形、有根火柴棒；所以第五个图形中，有个三角形、有根火柴棒；填表如下：三角形个数12345…火柴棒根数357911…（2）由（1）列出的三角形个数对应的火柴棒根数可知，照这样的规律搭下去，搭个这样的三角形需要根火柴棒，故答案为：；（3）不存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成．理由如下：由（2）得出的规律可得：，解得，因为火柴棒根数x为正整数，所以不合题意，舍去，所以不存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成．过关检测一、选择题1．计算等于（

）A．4a B．a C．4 D．10a2．有下列四个式子：①，②，③(不等于)，④，⑤，其中不符合代数式的书写格式的为(

)A．①③⑤ B．②③④ C．①③④ D．②④⑤3．下列说法正确的是（

）A．与是同类项 B．多项式是四次四项式C．100，和都是单项式 D．的系数是1，次数是44．已知为有理数，，，则，的大小关系是（

）A． B． C． D．5．已知代数式，把代入这个代数式，结果为；再把代入这个代数式，结果为；……以此类推，代入这个代数式，结果为（

）A． B． C． D．二、填空题6．一瓶矿泉水的价格为2.5元，一盒酸奶的价格为4元，购买m瓶矿泉水和n盒酸奶共需付元．7．如果等式成立，那么．8．当的值为时，与的和不含的一次项．9．小艾同学进行必读名著阅读规划，已知她第一周阅读《朝花夕拾》页，阅读《西游记》页，第一周共阅读16页．第二周阅读《朝花夕拾》页，《西游记》页，第二周共阅读页．10．下列说法正确的是（填写序号）．①0是单项式；

②若的次数是5，则；③是单项式，它的系数是2，次数是7；④单项式的系数是；

⑤单项式的次数是2；⑥多项式的一次项是x；⑦多项式按y升幂排列是．三、解答题11．化简．(1)； (2)；(3)； (4)．12．已知代数式，，．(1)当，则______；(2)______（填化简后的结果）；(3)仿照（2）设计一个关于多项式，的加法或减法算式，使化简结果不含二次项，并写出化简过程．13．先化简，再求值：(1)，其中x，y满足；(2)若关于x的多项式与多项式的和是二次三项式，求代数式的值．14．如图所示，光明小学打算将一块长方形空地美化，计划将空地的四角建圆形的草坪，并紧接着在上下两边各修建一个半圆形草坪，其余部分（图中阴影部分）修建花坛．各圆形半径均为r米．(1)请列式表示图中阴影部分的面积；（用含r，的式子表示）(2)如果修建草坪每平方米花费50元，修建花坛每平方米花费100元，求美化空地的总费用．（用含r，的式子表示）．15．定义一种新运算“”：，比如：．(1)_____________；_____________；(2)当时，是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出一组的具体值加以说明；(3)若，比较与的大小．16．有四个数，第一个数是，第二个数比第一个数的2倍少，第三个数是第一个数与第二个数的差的3倍，第四个数比第一个数少，若第二个数用x表示，第三个数用y表示，第四个数用z表示．(1)用a，b分别表示x，y，z三个数；(2)若第一个数的值是3时，求这四个数的和；(3)已知m，n为常数，且的结果与a，b无关，求m，n的值．17．我们在学习“字母表示数”时，研究了用火柴棒搭正方形的图案．爱思考的小颖同学用火柴搭成了下列五边形图案，想探究搭个这样的五边形图案所用的火柴棒数量，以下是她的探究过程，请补充完整：【探究规律】如图1，搭1个五边形需要5根火柴棒，如图2，搭2个五边形需要9根火柴棒，列出算式：（根）；（1）如图3，搭个五边形需要根火柴棒，列出算式：______（根）；（2）搭个五边形需______根火柴棒，列出算式：_____