浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

2023学年第二学期台金七校联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一.单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数，则（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用复数模计算公式即可得到结果.【详解】，.故选：B.2（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由相反向量和向量加法的运算规则计算.【详解】.故选：A3.已知向量，，，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量数量积和向量的模求夹角的余弦.【详解】.故选：D4.在中，N是上的点，若，则实数m的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由图形关系的向量运算和向量共线的结论计算即可.【详解】由题意可知三点共线，设，所以，又因为，所以，故选：C.5.如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，P在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（）.A.存在点P，使得与异面B.三棱锥的体积与P点位置无关C.若P为中点，三棱锥的体积为D.若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形【答案】B【解析】【分析】证明与共面判断选项A；由，计算并判断选项BC；作出正确截面判断选项D.【详解】正方体中，，与都在平面内，所以与不可能异面，A选项错误；三棱锥，底面积，棱锥的高，则，由，所以三棱锥的体积为定值，与P点位置无关，B选项正确，C选项错误；若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面梯形，D选项错误.故选：B.6.雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案.【详解】在中，；在中，；由图可知，易知，在中，，根据正弦定理可得：，则.故选：C.7.设O为的内心，，，，则（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中点，连，则为内切圆的半径，利用面积关系求出，得，再根据得，由平面向量基本定理求出可得答案.【详解】取的中点，连，因为，，所以，，所以的内心在线段上，为内切圆的半径，因为，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到是本题解题关键.8.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简，利用三角恒等变换求出，再由余弦定理及均值不等式求的范围即可.【详解】由三角形面积公式及余弦定理可得：，即，可得，由，可知，所以，所以，即，由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，即，解得，又，所以，故选：D二.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分）9.下列命题正确的是（）A.已知，是两个不共线的向量，，，则与可以作为平面向量的一组基底B.在中，，，，则这样的三角形有两个C.已知是边长为2的正三角形，其直观图的面积为D.已知，，若与的夹角为钝角，则k的取值范围为【答案】ABC【解析】【分析】由平面向量基底的定义即可判断A，由正弦定理代入计算，即可判断B，由原图形与直观图的面积关系即可判断C，由平面向量夹角的坐标公式即可判断D【详解】因为，是两个不共线的向量，且，，所以与不共线，则与可以作为平面向量的一组基底，故A正确；因为在中，，，，由正弦定理可得，所以，即有两个角，故B正确；因为是边长为2的正三角形，则，设其直观图的面积为，因为直观图的面积与平面图形的面积比为，即，故C正确；因为，，则，设与的夹角为，则，且，解得且.故D错误；故选：ABC10.已知复数，，下列结论正确的有（）A.B.若，则C.D.若，则点z的集合所构成的图形的面积为【答案】ACD【解析】【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；由复数的大小关系判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的模的几何意义判断选项D.详解】设，,对于A，，，故选项A正确；对于B，当为虚数时，可以比较大小，不能比较大小，故选项B不正确；对于C，由复数模的运算性质可知，，，所以，故选项C正确；对于D，若，则复平面内点z的集合所构成的图形是以为圆心，半径为1和的两圆之间的圆环，面积为，故选项D正确.故选：ACD11.直三棱柱的六个顶点均位于一个半径为2的球的球面上，，，则该直三棱柱的体积可能是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理求出底面外接圆的半径，利用勾股定理求出直三棱柱的高为，在底面中由正弦定理表示出，即可求出的取值范围，从而求出的面积的取值范围，再根据柱体的体积公式求出体积的取值范围，即可得解.【详解】设底面外接圆的半径为，则，，设直三棱柱的高为，外接球的半径为，则，则，在中，分别为角所对的边，，，由正弦定理得，则，，∴，，则，，，，，即，∴，所以.故选：BCD【点睛】方法点睛：由已知条件，外接圆的半径为和棱柱的高都是定值，由的面积的取值范围，求出三棱柱体积的取值范围，而，，由，通过正弦定理边化角结合三角函数的性质求取值范围即可得出结果.非选择题部分三.填空题：（本题共3题，每小题5分，共15分）12.已知，，则向量在向量上的投影向量为________.（用坐标表示）【答案】【解析】【分析】根据投影向量的公式计算即可.【详解】向量在向量上的投影向量为.故答案为：.13.已知圆锥的侧面积为，其侧面展开图是四分之一的圆，则圆锥的体积为________.【答案】##【解析】【分析】由侧面展开图是四分之一的圆知母线长是底面圆半径的四倍，代入数值解出底面圆面积和圆锥的高，从而求得体积【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，由侧面展开图是四分之一的圆知，故，则侧面积，解得，则，圆锥的高，所以圆锥的体积为故答案为：14.在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由已知条件利用三角形面积公式，向量的数量积和三角恒等变换，得，，的外接圆半径，，由向量的模和夹角讨论运算结果的取值范围.【详解】，又，由，解得，由，得，则有，.，则有，，则有，所以有，，外接圆为圆O，P为圆O上的点，由正弦定理得的外接圆半径，则有，，，，为中点，，，当与方向相同时，有最大值，当与方向相反时，有最小值，所以的最大值为，最小值为，即的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用，本题利用向量数量积的定义结合了图形几何性质求解.四.解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知平面向量，（1）若与垂直，求k；（2）若向量，若与共线，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）借助数量积的坐标运算即可得；（2）借助向量共线定理与模长的坐标表示计算即可得.【小问1详解】因为，，所以，，因为与垂直，所以，整理得，解得；【小问2详解】因为，，，所以，，因为与共线，故，所以，解得，所以，，所以.16.如图，在直角梯形中，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.（1）求该几何体的表面积；（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离.【答案】（1）（2）6.【解析】【分析】（1）得到几何体为上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，求出表面积；（2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，作出辅助线，设，根据弧长得到方程，求出，进而得到为等边三角形，求出最短路径为线段，得到答案.【小问1详解】如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，其表面积为.【小问2详解】将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，因为圆台上下底面半径的关系为，所以，，又∵，∴，∴，设，则的弧长，解得，连接，为等边三角形，∴所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段，所以蚂蚁爬行的最短距离为6.17.已知的内角所对的边分别为且与垂直.（1）求大小；（2）若边上的中线长为，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用垂直的向量表示进行化简，再根据正弦定理结合条件即可得到结果；（2）利用余弦定理与边上中线有进行化简，在利用基本不等式即可得到结果.【小问1详解】因为，垂直，所以.由正弦定理，得，因为，所以，，所以.【小问2详解】设边上的中线为，在中，由余弦定理得：，即①.在和中，，所以，即，，，化简得，代入①式得，，由基本不等式，∴，当且仅当取到“”；所以的面积最大值为.18.在三棱锥中，（1）若点，，，分别是棱，，，上的点，其中，.求证：，，三线共点；（2）在三棱锥中，所有棱长都为.①求三棱锥的体积；②求三棱锥外接球的表面积.【答案】（1）证明见解析（2）①；②【解析】【分析】（1）依题意可得，，，四点共面，并且可设，即可得到平面，平面，再由平面平面，即可得到，从而得证；（2）①将正四面体放到正方体中，根据锥体的体积公式计算可得，②正方体的外接球即为正四面体的外接球，正方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出球的表面积.【小问1详解】∵，，∴，，，四点共面，并且可设，∵，，又∵平面，平面，∴平面，平面，∴为平面与平面的公共点.又∵平面平面，∴，即原题设得证.【小问2详解】①以四面体的各棱为面对角线还原为棱长为的正方体，如图所示.所以，同理，，所以，而，所以.②三棱锥的外接球的半径∴外接球的表面积.19.设非空数集M，对于M中的任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.（1）判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；（2）若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：；（3）设，证明A是数域.【答案】（1）自然数集不是数环；整数集是数环，不是数域；有理数集、实数集、复数集是数环也是数域；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，由数环与数域的定义判断即可；（2）根据题意，由数域的定义即可证明；（