专题261反比例函数的图象与性质（一）（举一反三）（人教版）

专题26.1反比例函数的图形与性质（一）【十大题型】【人教版】TOC\o"13"\h\u【题型1反比例函数概念辨析】 1【题型2反比例函数图象上点的坐标特征】 3【题型3由反比例函数解析式判断其性质】 5【题型4由反比例函数经过的象限求k】 7【题型5由反比例函数的增减性求k】 9【题型6由反比例函数的性质比较大小】 11【题型7由反比例函数的图象求k】 13【题型8由反比例函数k的几何意义求面积】 16【题型9由图形的面积求k】 21【题型10反比例函数与几何的综合】 27【知识点1反比例函数的定义】一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。自变量的取值范围是不等于0的一切实数。【题型1反比例函数概念辨析】【例1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是P=FS．则下列说法不正确的是（

）A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系；B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大；C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系；D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系．【答案】C【分析】由正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可．【详解】解：A．在P=FS中，当压强P为定值时，压力FB．在P=FS中，当压强P为定值时，受力面积SC．在P=FS中，当压力F为定值时，压强PD．在P=FS中，当压力F为定值时，压强P故选：C．【点睛】此题考查了正比例函数关系和反比例函数关系，熟练掌握正比例函数关系和反比例函数关系的定义是解题的关键．【变式11】（2023春·广西贺州·九年级统考期末）当k时，关于x的函数y=【答案】k【分析】本剧反比例函数的定义解题即可．【详解】∵函数y=∴k-解得：k≠1故答案为k≠1【点睛】本题考查反比例函数的定义，掌握形如y=【变式12】（2023春·广西贵港·九年级统考期中）下列函数中，不是反比例函数的是（

）A．y=x-1 B．xy=5 C【答案】C【分析】由反比例函数的三种形式判断即可．【详解】解：反比例函数的三种形式为：①y=kx（k为常数，k≠0），②xy=k（k为常数，k≠0），③由此可知：只有y=故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．【变式13】（2023春·湖南永州·九年级统考期中）已知关于x的反比例函数y=m-2x【答案】-【分析】由反比例函数的定义得到m-2≠0，m-【详解】解：∵y=∴m-2≠0，∴m=±2且m∴m=-2故答案为：-【点睛】此题考查了反比例函数，形如y=【题型2反比例函数图象上点的坐标特征】【例2】（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期末）已知点-2,y1，3,y2，2,y3都在反比例函数y=6A．y3<y1<y2 B．【答案】C【分析】分别把点-2,y1，3,y2【详解】解：∵点-2,y1，3,y2∴y1=6-∵-3<2<3，∴y1故选：C．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，把点A、B、C的坐标代入解析式求出y1,【变式21】（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）双曲线y=-12xA．2,-6 B．8,-32 C．-3,4【答案】D【分析】由反比例函数的性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A、当x=2时，y=-12B、当x=8时，y=-12C、当x=-3时，y=-12D、当x=2时，y=-122=-6故选：D．【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质．【变式22】（2023春·重庆江津·九年级校联考期中）已知反比例函数y=8x的图象经过点Am，-4，则A【答案】2,-4【分析】由反比例数的性质求得A的坐标，由关于y轴对称的点的坐标特征即可求解．【详解】解：∵反比例函数y=8x∴-4解得：m=-2∴A-则A关于y轴的对称点A'坐标为2,-4故答案为：2,-4．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关于y轴对称的点的坐标特征，得出点A的坐标是解题的关键．【变式23】（2023春·福建龙岩·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做“格点”，已知点A在反比例函数y=6x第一象限的图象上，若点A是格点，则A【答案】(1，6)或(2，3)或(3，2)或(6，1)【分析】由题意写出反比例函数y=【详解】解：由题意，反比例函数y=6x在第一象限的格点坐标有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6∴A点坐标为(1，6)或(2，3)或(3，2)或(6，1)，故答案为：(1，6)或(2，3)或(3，2)或(6，1)．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解“格点”坐标的含义以及掌握反例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．【知识点2反比例函数的图象与性质】1、图象：由两条曲线组成（双曲线）2、性质：函数图象所在象限增减性三象限在同一象限内，随的增大而减小四象限在同一象限内，随的增大而增大越大，函数图象越远离坐标原点【题型3由反比例函数解析式判断其性质】【例3】（2023春·辽宁阜新·九年级校考期末）已知反比例函数y=-6xA．该函数的图象分布在第一、三象限 B．点2,3在该函数图象上C．y随x的增大而增大 D．该图象关于原点成中心对称【答案】D【分析】由反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，再逐个判断即可．【详解】解：A．∵反比例函数y=-6x中6∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；B．把（2，3）代入y=-6x得：左边=3，右边=3所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；C．∵反比例函数y=-6x中6∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；D．反比例函数y=-故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．【变式31】（2023春·山东临沂·九年级校考期末）关于反比例函数y=13xA．它的图象是双曲线 B．它的图象在第一、三象限C．y的值随x的值增大而减小 D．若点a,b在它的图象上，则点【答案】C【分析】由反比例函数的图象和性质进行分析，即可一一判定．【详解】解：A、它的图象是双曲线，故该说法正确；B、∵k∴它的图象在第一、三象限，故该说法正确；C、在每个象限内，y的值随x的值增大而减小，故该说法错误；D、若点a,b在它的图象上，则点故选：C．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，关键是掌握和灵活运用反比例函数的图象和性质．【变式32】（2023春·广东中山·九年级广东省中山市中港英文学校校考期中）对于反比例函数y=-A．图像分布在第二、四象限B．当x>0时，y随xC．图像经过点-D．若点Ax1，y1，Bx2，y2【答案】D【分析】由反比例函数的性质分别判断各选项即可解答．【详解】解：∵反比例函数y=-3A、∵k=-3<0，B、∵k=-3<0，当x>0时，yC、∵3=-3-1，∴D、∵k=-3<0，∴y随故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握：反例函数y=kx

，当k>0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k<0【变式33】（2023春·山东泰安·九年级统考期末）关于反比例函数y=A．函数图象分别位于第一、三象限B．y随x的增大而减小C．图像与坐标轴没有交点D．若点3，m【答案】B【分析】当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，在同一个象限，【详解】解：A、因为k＞0，所以反比例函数y=kx（B、反比例函数y=kx（k＞0）的图象是双曲线，经过第一、三象限，在每一象限内，yC、该函数图象与坐标轴无限接近，但无交点，故本选项不符合题意；D、若点3，m∴m=k3∴m+故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随【题型4由反比例函数经过的象限求k】【例4】（2023春·安徽淮南·九年级统考期末）下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（

）A．y=m2+1x B．y=【答案】A【分析】由反比例函数的性质，函数若位于一、三象限，则反比例函数系数k＞0，对各选项逐一判断即可．【详解】解：A、∵m2+1＞0，∴反比例函数图象一定在一、三象限；B、不确定；C、不确定；D、不确定．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．【变式41】（2023春·河南郑州·九年级校考期中）若双曲线y=2aA．-4 B．-3 C．-2【答案】D【分析】由反比例函数的性质：反比例函数的图象位于第一、三象限，则可知系数2a+4＞【详解】解：∵反比例函数y=∴2a解得：a>-2结合选项可知，只有-1符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，当k>0时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上y随【变式42】（2023春·山西大同·九年级统考期末）反比例函数y=2m+1x（mA．m<-12 B．m>-12【答案】A【分析】利用反比例函数的性质：当k>0时，图象过一、三象限；当k【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴2m∴2m∴m<-故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中k的意义以及相对应图象所在象限的位置是解题的关键．【变式43】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A-2，3，B3，2A．1 B．1 C．6 D．6【答案】B【分析】由已知条件得到点A-2,1在第二象限，求得点C-6,m一定在第三象限，由于反比例函数y=k【详解】∵A-2,1在第二象限，B3,2在第一象限，且点A、又∵点C的横坐标为-6∴C∵反比例函数y=∴B3,2，∴解得k故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点C在第三象限是解题的关键．【题型5由反比例函数的增减性求k】【例5】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）反比例函数y=kxx>0图像上有两个点x1,y1A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】由x1-x2y1-y【详解】解：∵反比例函数y=kxx>0图像上有两个点x∴x1-x2∴当x1<x2y1>y2或x1>∴-k∴y=故选：B．【点睛】本题考查反比例函数图像与性质、一次函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质、一次函数图像与性质是解决问题的关键．【变式51】（2023春·江西吉安·九年级统考期末）已知反比例函数y=m-1xm2-2，当xA．1 B．-1 C．±1 D．【答案】B【分析】反比例函数的自变量次数为-1，y随x的增大而增大，说明反比例函数在第四象限，且m-1<0【详解】由题意得：m2-∴m=±1且m∴m=-1故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的定义及其增减性，解题的关键由反比例函数的定义及增减性列出方程与不等式．【变式52】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如果反比例函数y=a-2x（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随xA．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2【答案】D【分析】由反比例函数的性质，k＞0时，图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，建立不等式，求解即可．【详解】∵反比例函数y=a-2x（a∴a2＞0，解得a＞2，故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟记k＞0时，图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小是解题的关键．【变式53】（2023春·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kxx<0的函数值y随着自变量xA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由反比例函数的性质求解．【详解】解：反比例函数y=kxx<0所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，而x<0，则分支在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y【题型6由反比例函数的性质比较大小】【例6】（2023春·河北唐山·九年级校联考期中）（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）在反比例函数y＝k2+1x图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3），若x1<0<x2<x3，则y1、y2、y3的大小关系为【答案】y2＜y3＜y1【分析】因为k2+1>0，所以（k2+1）<0，此函数分布在二，四象限，在各象限y随x的增加而增大，即可判断出y2＜y3＜y【详解】∵k2+1>0∴（k2+1）<0∴y＝k2图象在二，四象限，第二象限y为正，∴y1最大，第四象限内y随x增大而增大，所以y2最小，因此y2＜y3＜y故答案为：y2＜y3＜y1．【点睛】此题考查反比例函数图像和系数k的关系，会数形结合是本题解题关键，学会利用图像解题．【变式61】（2023·天津·模拟预测）在反比例函数y＝1x的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1<0<x2<x3，则A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3【答案】A【分析】由反比例函数的图象性质判断即可；【详解】解：∵反比例函数y＝1x的图象位于一、三象限，x＜0时y＜0，x＞0时y＞0∴y1∵x＞0时函数递减，0<x∴y2∴y1故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质：比例系数大于0时，函数的两个分支分布在一、三象限，在每个象限内，y都随x的增大而减小；掌握其性质是解题关键．【变式62】（2023春·山东东营·九年级统考期中）如图是三个反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x在x轴上方的图象，由此观察得到k1、A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2【答案】C【分析】由反比例函数的性质进行解答即可．【详解】解：∵反比例函数y1═k3∴k3＞0．∵反比例函数y2=k2x，y1=∴k2＜0，k1＜0．∵y=k1∴k1＜k2，∴k3＞k2＞k1．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．【变式63】（2023春·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝1x图象上的点，且y1＜0＜y2＜y3A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1【答案】C【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到y1＝1x1，y2＝1x2，y3＝1x3，然后利用y1＜0＜y2＜y3比较x1、【详解】解：∵点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝1x∴y1＝1x1，y2＝1x2，y∵y1＜0＜y2＜y3，∴x1＜x3＜x2．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k【题型7由反比例函数的图象求k】【例7】（2023春·河北邯郸·九年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象如图所示，则kA．-4 B．-3 C．-2【答案】B【分析】由函数图象确定k的取值范围．【详解】解：如图所示，反比例函数y=kx又∵-2×2<k<1×(-2)，即∴观察选项，只有选项B合题意．故选：B．【点睛】考查了反比例函数的图象，由函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点．【变式71】（2023春·九年级单元测试）双曲线y=kx的部分图象如图所示，那么【答案】2【分析】由题图可知双曲线过点（1，2），然后用待定系数法求解即可.【详解】解：∵双曲线过点（1，2），∴2=k1∴k=2.故答案为2.【点睛】本题考点：用待定系数法求反比例函数的解析式.【变式72】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，符合图像的解析式是．（填序号）①y=2x②y=-2x【答案】④【分析】由题干图像为双曲线，且图像再第一象限和第二象限，得到y>0【详解】解：∵双曲线图像在第一象限和第二象限，∴y∴应选④，故答案为：④．【点睛】本题考查了反比例函数图像，解题关键是掌握反比例函数y=kx的图像是双曲线，当k【变式73】（2023春·江西赣州·九年级统考期末）反比例函数y=kx在第一象限的图象如图所示，则kA．3 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】由点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k的取值范围，即可得答案.【详解】∵点（1，3）在反比例函数图象下方，∴k>3，∵点（3，2）在反比例函数图象上方，∴k3<2，即k<6∴3<k<6，故选：B.【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy是解题关键.【题型8由反比例函数k的几何意义求面积】【例8】（2023春·陕西西安·九年级统考阶段练习）如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点上，B在y轴上，顶点A在y=-5x上，顶点C在y=7【答案】12【分析】过点A作AE⊥y于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，因为四边形OABC是平行四边形，可证得△AEO≅△CDBAAS，△AEB【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥y于点E，过点C作CD⊥∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∵AE∴∠AEO∴△AEO∴S△同理可得：△AEB≅△CDO∵点A在反比例函数y=-∴S∵点C在反比例函数y=∴S∴平行四边形OABC的面积为：52故答案为：12．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12【变式81】（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB在x轴的正半轴上，过点A作x轴的垂线交反比例函数y=5x图像于点P，连接PB，过点A作AC∥PB，交y轴于点C，若AB

【答案】65【分析】连接OP，CP，由平行线的性质得到S△ABC=S△APC=S△APO=【详解】解：连接OP，CP，

∵PA⊥x轴于∴∠PAO∵PA∥∴S△∵AC∥∴S△由12AB⋅∴OB=∴OA=∴P4,54∴四边形APBC的面积是S△ABC+S△故答案为：6516【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握反比例函数k的几何意义，由平行线的性质得到S△【变式82】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-x+b交反比例函数y=3xx＞0的图像于点A，B（点A在B的左上方），分别交x轴，y轴于点C，D，AE⊥x轴于点E，交OB于点F．若图中四边形【答案】5【分析】作BH⊥OC于点H，由反比例函数面积性质及四边形BCEF与△AOF的面积差为12推出△BCH面积为12，可求出OH=3,OC=4，确定直线AC解析式，得到A【详解】解：作BH⊥OC于点∵四边形BCEF与△AOF的面积差为12∴S△BOH-∴S△∴12∴BH·∵直线y=-x+b分别交x轴，y轴于点∴Cb∴CO=∴∠OCD∴∠BCH∴BH=∴BH=∴OH=∴直线y=-x+4∴y=-解得x=1∴A1设直线OB的解析式为y=∴1=k解得k=∴F1∴AF=3-∵S△∴S=1故答案为：52【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，反比例函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定解析式，熟练掌握交点的意义，反比例函数的性质和k的几何意义，正确进行图形分割是解题的关键．【变式83】（2023·辽宁盘锦·校联考二模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=2xx≠0的图像相交于点P【答案】1【分析】由OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A【详解】解：由题意，设A1∴A2(2a,0)，A3∴P1a,2a，P22∴OA1=a，A1A2=a，AA1P1=2a，A2P2=2∴S1=12OA·A1P1=12故答案为：12022【点睛】本题主要考查图形的规律，理解图示意思，理解点在反比例函数图像上，求出各点坐标及对应边的长度是解题的关键．【知识点3反比例函数比例系数k的几何意义】如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积【题型9由图形的面积求k】【例9】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，反比例函数y=2x在第一象限的图象上有一点A，过点A分别作x轴和y轴的平行线l1，l2．若反比例函数y=kxk≠0的图象分别与l1，l2交于点

【答案】6或-【分析】设l1，l2分别与x轴和y轴交于点E和点F，Aa,2a，再分k>0和k<0两种情况，求出点B和点C【详解】解：设l1，l2分别与x轴和y轴交于点E和点F，当k>0∵点A在y=∴四边形OEAF的面积为2，∵△ABC的面积为4∴y=kxxA=xC=得yC=k∴AC=ka∴S△解得：k=-2（舍）或k

当k<0同理可得：AC=2a∴S△解得：k=-2或k

综上：k的值为6或-2故答案为：6或-2【点睛】本题考查了反比例函数综合问题，解题的关键是利用函数表达式求出点的坐标，得到线段，表示面积．【变式91】（2023春·河南南阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系