专题313直线与椭圆的位置关系-原卷版

专题3.1.3直线与椭圆的位置关系【基本知识梳理】知识点1：直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：>0直线与椭圆相交有两个公共点;

=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;

<0直线与椭圆相离无公共点.知识点2：弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1(a>b>0)于，两点，则或.知识点3：“中点弦问题”(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.设，，代入椭圆方程+=1(a>b>0)，得，②可得+=0，设线段AB的中点为，当时，有+=0.

因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法.(2)弦的中点与直线的斜率的关系

线段AB是椭圆+=1(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即.【题型1直线与椭圆的位置关系的判定】【例1】（20232024∙高二上∙辽宁大连∙期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（A.相交 B.相切 C.相离 D.以上选项都不对【变式11】（20232024·全国·高二上·阶段练习）已知直线l：kx+y+1=0，曲线C：x216+y24=1A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【变式12】（20232024∙高二下∙重庆∙阶段测试）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（A.0或1 B.0 C.1 D.2【变式13】（20232024∙高二上∙山东济宁∙月考(1)证明：直线l与椭圆C恒有两个交点；(2)已知点，若P是椭圆C上任意一点，求的取值范围.【题型2根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】【例2】（20222023∙高二上∙山东济南∙期末）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则nA. B. C. D.【变式21】（20232024∙高二上∙辽宁辽阳∙期末）（多选）已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（）A． B． C．3 D．4【变式22】（20242025∙高三上∙湖南∙开学考）已知椭圆（1）求的离心率；（2）若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程.【变式23】（20242025∙高二下∙陕西咸阳∙期末）已知椭圆（I）求椭圆的标准方程；（II）若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.【题型3椭圆的弦长问题】【例3】（20232024∙高二上∙浙江绍兴∙期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（A. B. C. D.【变式31】（20232024∙高二上∙山东济宁∙期中）（多选）已知过点的直线与椭圆交于两点，则弦长可能是（A.1 B. C. D.【变式32】（20232024∙高二上∙四川南充∙期末）通过椭圆的焦点且垂直于xA. B.3 C. D.6【变式33】（20232024∙高二上∙山东临沂(1)求的长轴长：(2)若斜率为的直线交于A，B两点，求的最大值．【题型4椭圆的斜率积问题】【例4】（20232024∙高二上∙河南南阳∙月考）已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则A. B. C. D.【变式41】（20232024∙高二上∙山东威海∙期末）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，若直线，与直线交于，两点，则的最小值为______.【变式42】（20232024∙高二上∙福建南平∙期中）（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（A.的周长为4B.的取值范围是C.的最小值是3D.若点在抛物线上，且线段中点为，则直线的斜率为【变式43】（20232024∙高二上∙四川南充∙期末）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P（1）求曲线H的方程；（2）经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.【题型5椭圆的“中点弦”问题】【例5】（20232024∙高二上∙重庆∙月考）过椭圆的右焦点的直线交该椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，则椭圆E【变式51】（20232024∙高二上∙重庆∙期末）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（）A. B.C. D.【变式52】（20232024∙高二上∙山东临沂∙期末）已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为____________.【变式53】（20232024∙高二上∙浙江杭州∙期中）（多选）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，MA.B.若，则直线l的方程为C.若直线l的方程为，则D.若直线l的方程为，则【变式54】（20232024∙高二上∙山东济宁∙月考）已知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线l过点且与椭圆C交于A(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为1，求弦的长；(3)若过点的直线与椭圆C交于E、G两点，且Q是弦的中点，求直线的方程．【题型6椭圆中的面积问题】【例6】（20232024∙高二上∙四川南充∙期末）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（）A.6 B.12 C. D.【变式61】（20232024∙高二上∙天津∙月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，则的面积为（）A． B． C． D．【变式62】（20232024∙高二上∙天津∙月考）椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为.(1)求椭圆的标准方程及离心率；(2)过点的斜率为2的直线交椭圆于A、B两点.求面积.【变式63】（20232024∙高三下∙天津∙开学测试）已知椭圆（1）求C的方程；（2）经过椭圆左顶点A且斜率为的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且△APM面积为，求k的值．【题型7椭圆中的定点、定值、定直线问题】【例7】（20232024∙高二上∙山东青岛∙期中）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D．且,设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．【变式71】（20232024∙高二上∙山东菏泽∙月考）在直角坐标平面内，已知，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点作直线交于两点（与不重合），直线与的交点是否在一条定直线上？若是，求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由.【变式72】（20232024∙高二上∙湖南衡阳∙期中）已知点与定点的距离和它到定直线（1）求点的轨迹方程；（2）若直线与轨迹交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.【变式73】（20232024∙高二上∙山东普高∙步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、.（i）求证：定值；（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.【题型8椭圆中的最值问题】【例8】（20232024∙高二上∙山东临沂∙期末）欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且.（1）求的方程;（2）设点，若斜率不为0的直线与交于点均异于点，且在以MN为直径的圆上，求到距离的最大值.【变式81】（20232024∙高二上∙福建厦门∙月考）已知椭圆E：（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.①证明：直线MN必过定点；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.【变式82】（20232024∙高二上∙四川达州∙期中）已知椭圆的短轴长为2，点，分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆的上顶点，直线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）不过右焦点的直线与以短轴为直径的圆相切，且与椭圆交于两点，直线与轴交点记为（ⅰ）若，证明：为定值；（ⅱ）若，求周长的最大值.【变式83】（20232024∙高二上∙山东枣庄∙期中）已知椭圆C：（）过点，，为椭圆的左右顶点，，为椭圆的下顶点和上顶点，P是椭圆C上不同于，的动点，直线，的斜率分别为，，满足（1）求椭圆C的方程：（2）若点P是椭圆上第一象限内的一点，直线OP交椭圆C于另一点Q，求四边形的面积的取值范围．【题型9椭圆中的向量问题】【例9】（20232024∙高二上∙山东济南山师大附中∙期中）已知椭圆的左焦点为，点(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若，求的取值范围.【变式91】（20232024∙高二上∙福建莆田∙期中）己知椭圆离心率，设点（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线MN过点，且，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围．【变式92】（20232024∙高二下∙湖北咸宁∙期末）已知，，为平面上的一个