专题01有理数（原卷版）-1

专题01有理数核心考点聚焦1、认识正、负数；了解正反意义的量；结合实际理解正负数的应用；2、了解“0”的意义；学会对有理数与无理数进行分类；3、学会用数轴表示有理数并比较大小；了解数轴之间点的距离，并探究动点问题；4、认识绝对值与相反数，运用绝对值的性质化简绝对值；利用相反数与绝对值的定义比较有理数大小；5、熟练计算有理数加减乘除四则运算，熟练计算含乘方的有理数混合运算；6、认识倒数的意义，学会科学记数法的写法，读懂算法程序。一、有理数与无理数1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：注：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．无理数：叫做无理数．注：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式．（2）目前常见的无理数有两种形式：①．②，如：1．313113111……（相邻两个3之间1的个数逐渐增加）．3.数轴：规定了、和的直线．注：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．4．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．注：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．5．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是．二、有理数的运算1．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即ab=a+(b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．注：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）；（2）：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)．（4）；（5)．四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．考点剖析例1：若元表示盈利500元，那么元表示（）A．收入500元 B．盈利200元 C．亏损200元 D．支出200元变式11：某种零件，标明要求是（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件（填“合格”或“不合格”）．变式12：近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）(1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？(2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？例2：在下列数中：，，，，中，有理数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式21：在，，，，，，，这些数中，负分数有个．变式22：把下列各数的序号分别填在表示它所在的集合里：①，②0，③，④，⑤（每相应两个2之间3的个数逐次增加1），⑥，⑦，⑧分数集合：{___________________…}；无理数集合：{____________________…}；非正数集合：{______________________…}．例3：已知实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（）A． B． C． D．变式31：在数轴上，如果点A表示的数为，点B表示的数为1，一个小球从点A出发，沿着数轴先向左移动7个单位长度，再向右移动4个单位长度，此时小球到达点C处，则点A到点C的距离与点B到点C之间的距离之和为．变式32：已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．

(1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．例4：已知，，是三角形的三边长，化简：的值为（）A． B． C． D．变式41：如果，则的值为．变式42：已知a，b，c在数轴上的位置如图，且．

(1)_______0，_______0，______0（请用“”或“”填空）；(2)化简：．例5：某商店出售的三种规格的面粉袋上写着（）千克．（）千克，（）千克的字样，每种规格若干袋，从中任意拿两袋，它们质量相差最大的是（

）A． B． C． D．变式51：如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是．变式52：阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．计算：．解：原式，，，，以上解题方法叫做拆项法．拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算：(1)；(2)．例6：的倒数的相反数是（

） B． C．2023 D．变式61：在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为．变式62：计算(1)；(2)(3)；(4)例7：据文化和旅游部数据中心测算，2023年中秋节、国庆节假期8天，国内旅游出游人数8.26亿人次，按可比口径同比增长，按可比口径较2019年增长，其中8.26亿用科学记数法表示为（

）A． B．C． D．变式71：已知x、y互为倒数，m、n互为相反数，，则．变式72：在上个月，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作．运算法则如下：当时，当时，当时，解决问题根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：(1)填空：______，______；(2)如果，求出x的值；(3)如果，请直接写出x的值．例8：如图所示的运算程序中，若开始输入的值为15，我们发现第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为，则第2023次输出的结果为（

）A．3 B．6 C．9 D．18变式81：定义一个新运算“★”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为．变式82：计算：(1)(2)(3)(4)难点1：绝对值“1”和“1”的化简在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】已知有理数，，满足，求＋＋的值．【解决问题】解：由题意，得，，三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当，，都为正数，即时，＋＋＝＋＋＝1＋1＋1＝3；②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则＋＋＝＋＋．综上所述，＋＋的值为3或．【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)已知，是不为0的有理数，当时，＋＝；(2)已知，，是有理数，当时，求＋＋的值；(3)已知，，是有理数，，，求＋＋的值．难点2：绝对值的最值在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化．材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解．（1）|x﹣3|＝4解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1（2）|x+2|＝5解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值．∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位．故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5．阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为；（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围．难点3：绝对值方程阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离：，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．如：数轴上数2，5对应点之间的距离为；数轴上数2，对应点之间的距离为；又如：已知，求的值．意为：数轴上数与数1对应点之间的距离为2，观察数轴可知的值为或3．请运用上述的几何方法解决下列问题：(1)若，则________；(2)若，则________；(3)表示数轴上数________与________对应点之间的距离；(4)若，则________；(5)若，则满足条件的所有整数为________________；(6)若，则的取值范围为________________________．难点4：数轴动点定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题．两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0．(1)求数轴上点H、A所表示的数？(2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒．①经过x秒后，M点表示的数是，N点表示的数是（用含x的式子表示，结果需化简）．②求（用含x的式子表示，结果需化简）．(3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值．难点5：数列求和阅读材料：求的值.解：设将等式两边同时乘以2，得将下式减去上式，得即请你仿照此法计算：（1）（2）真题感知1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）下列数中，属于负数的是（

）A．2023 B． C． D．02．（2023·江苏·统考中考真题）健康成年人的心脏每分钟流过的血液约．数据4900用科学记数法表示为（

）．A． B． C． D．3．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（

）

A． B． C． D．4．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下