专题1510轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结（拔尖篇）（沪科版）

专题15.10轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1设计轴对称图案】 1【题型2利用轴对称性质求最值】 4【题型3翻折变换】 12【题型4两圆一线画等腰】 21【题型5等边三角形手拉手问题】 24【题型6分身等腰】 32【题型7一线分二腰】 35【题型8角平分线的综合应用】 43【题型9垂直平分线的综合应用】 53【题型1设计轴对称图案】【例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．

【答案】见解析【分析】如图1，以线段AB的垂直平分线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图2，以线段AB所在的直线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图3，以线段BC的垂直平分线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可；如图4，以线段BC所在的直线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可．【详解】解：如图所示：

【点睛】此题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质，利用轴对称的作图方法作图是解此题的关键．【变式11】（2023春·八年级单元测试）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法）

【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的性质来画轴对称图形，先确定对称轴，再找出阴影部分图形关键点的对称点，画出图形即可，图形的两部分沿对称轴折叠后可完全重合【详解】解：画图如下：

【点睛】此题主要考查了作图轴对称变换，关键是掌握轴对称图形的定义．【变式12】（2023春·吉林延边·八年级阶段练习）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个网格中标注了5个格点，按下列要求画图．（1）在图①中，以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有4个；（2）在图②中，以格点为顶点，画一个轴对称图形，使其内部已标注的格点只有3个．【答案】见解析【详解】试题分析：（1）根据要求画图即可．因为画的是等腰三角形，因此至少要有两条边相等；（2）利用已知结合轴对称图形性质画出一个等腰三角形即可．解：（1）如图①所示：（2）如图②所示：．考点：利用轴对称设计图案．【变式13】（2023春·八年级单元测试）请你分别在下面的三个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）中，各补画一个小正方形，要求：①三个图形形状各不相同，②所设计的图案是轴对称图形．【答案】详见解析【分析】利用轴对称图形性质分别得出图案即可．【详解】如图所示：【点睛】本题考查了利用轴对称性质设计图案，利用轴对称图形是沿某条直线折叠后能够与直线的另一边完全重合的图形设计图案是解题的关键．【题型2利用轴对称性质求最值】【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是

【答案】12a+b【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E'【详解】解：∵△ABC，△∴AB=∴∠BAD∴△BAD∴∠ABD∴AF=∴∠∴点E在射线CE上运动（∠ACE作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E'，此时AE

∵CA∴△ACM∴AM=∵BF⊥∴FM=∴△AEF周长的最小值是AF故答案为：12a【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．【变式21】（2023春·湖北武汉·八年级校考期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，AD=6，P为AB上一个动点，当【答案】6【分析】作出点C关于AB的对称点F，连接FD，根据对称性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°【详解】如图，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴BD=作点C关于AB的对称点F，连接FD，交AB于点E，当点P与点E重合时，PC+PD取得最小值，且最小值为根据对称性，得到BC=∴FB=∴AC=∴Rt∴AD=∵AD=6∴FD=6∴PC+PD的最小值为故答案为：6．【点睛】本题考查了轴对称性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键．【变式22】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．

(1)画出△ABC关于直线MN对称的△(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点(3)在直线MN上找点Q使QB-QA最大，【答案】(1)见解析(2)见解析(3)作图见解析；QB-QA【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、（2）作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为点P；（3）由于QA=QA1，则|QB-QA=QB【详解】（1）解：△A

（2）解：如图，作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为所求作的点P；

∵点C与D关于MN的对称，∴PC=∴PB+∵PB+PD≥BD，只有当点P、∴当点P、B、D三点共线时，PB+PD最小，即（3）解：先作出A关于直线MN的对称点A1，连接BA1并延长交MN

∵QA=∴|QB根据三角形的三边关系可得QB-QA1≤A1∴QB-QA的最大值为【点睛】本题主要考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．【变式23】（2023春·广东深圳·八年级校考开学考试）【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌

【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：

①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：

【答案】(1)见解析(2)平行EC(3)有最小值，5【分析】（1）由ΔABC和ΔADE是等边三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因为∠BAC=∠DAE（2）①由（1）得ΔABD≌ΔACE（SAS），得出∠B②因为CE=BD，AC=（3）在BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，可证ΔEPC≌ΔEDM（SAS），EC=EM，求得∠CEM=60°，得出ΔCEM是等边三角形，则∠ECD＝60°【详解】（1）证明：∵ΔABC和ΔADE是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC∵∠BAC∴∠即∠在ΔABD和ΔACE中，AB=AC∴ΔABD≌（2）平行，EC=由（1）得ΔABD≌∴∠B=∠ACE∴∠BAC∴AB∥∵CE=BD，∴CE=（3）有最小值，理由如下：如图，在射线BC上取一点M，使得DM=PC，连接

∵ΔABC和ΔDPE是等边三角形，∴PE=ED，∠∴∠ACD∴∠ACD由三角形内角和为180°，可知：∠PCE+∠CEP∴∠PCE又∵∠PCE∴∠EPC∵∠EDM∴∠EPC在ΔEPC和ΔEDM中，PE=EDΔEPC≌∴EC=EM，∵∠PEC∴∠CEM∴ΔCEM是等边三角形，∴∠ECD=60°，即点E在∠ACD在射线CD上截取CP'=在ΔCEP和ΔCEPPC=PΔCEP≌∴PE=P则BE+由三角形三边关系可知，BE+即当点E与点C重合，BE+P'E=∵BP∴BE+∴BE+PE最小值为

【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．【题型3翻折变换】【例3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是AB边上一点，将△

(1)如图1，当点E落在BC上时，求∠BDE(2)当点E落在BC下方时，设DE与BC相交于点F．①如图2，若DE⊥BC，试说明：②如图3，连接BE，EG平分∠BED交CD的延长线于点G，交BC于点H．若BE∥CG【答案】(1)10°(2)①见解析；②4∠【分析】（1）根据翻折可得∠A=∠CED（2）①根据翻折可得∠A=∠CED=50°，再利用垂直可得②设∠G=x，根据角平分线和平行线可得∠G=∠DEG=∠BEG=【详解】（1）∵∠ACB=90°，∴∠B∵将△ACD沿CD翻折后得到△∴∠A∴∠BDE（2）①根据翻折可得∠A=∠∵DE⊥∴∠ECF∴CE∥②4∠G设∠G∵BE∥∴∠G=∠∵EG平分∠BED∴∠G=∠DEG∴∠ACD∴∠BCD∴∠CFE∴∠CFE=4∠G【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质与判定，三角形的外角性质，解题的关键是理清角度之间的关系．【变式31】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）在锐角△ABC中，AB=AC，将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，直线AB与直线B'【答案】540°7或【分析】分三种情形：当B'A=B'E，点E在CB'和BA的延长线上，当【详解】解：①如图，当B'A=B'E，点

∵AB=∴∠B由折叠得：∠B=∠A设∠B=x，则∠AB在△AEC中，由三角形内角和定理得：x∴x=即∠B∴∠BAC∵360°7∴此时△ABC②如图，当AE=B'E，点E在

∵AB=∴∠ABC由折叠得：∠ABC=∠A∵AE=∴∠A∴∠ABC∵∠ABC∴∠ABC∴∠BAC∵36°<72°<90°，∴此时△ABC综上所述，满足条件的∠BAC的度数为540°7或故答案为：540°7或36°【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．【变式32】（2023春·江苏·八年级期末）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A落在AC上方点(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；(2)若△DEF与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出∠(3)翻折后，当△DEF和△ABC的重叠部分为等腰三角形时，直接写出【答案】(1)∠1=∠2，理由见解析(2)70°(3)100°3或140°3【分析】（1）由△ADE沿DE翻折可知AD=DF=CD，∠FDE=∠（2）△DEF与△CDF全等，分两种情况讨论；①DF=DE=AD，∠A=∠DEA，∠ADE=180°-∠A-∠DEA，求∠ADE的值然后判断此时△DEF与△CDF是否全等，若全等，则（3）分情况讨论①由题意知（2）中∠ADE=70°时符合题意，②如图3，重合部分的等腰三角形中，DE=DG，∠DEG=∠DGE，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即∠FDE=∠ADE=∠1，∠【详解】（1）解：∠1=∠2由△ADE沿DE翻折可知∵D为AC的中点∴AD∴△CDF∴∠∵∠∴180°-2∠2+∠1+∠1=180°∴∠1=∠2．（2）解：∵CD=DF，△CDF是等腰三角形，△∴①如图1，当DF=DE=AD时，∴∠A=∠∵∠∴∠∴当DF=DE时，点F在又∵∠CDF=200°-180°=20°∴△DEF与△CDF不全等，②如图2当DF=FE=AD时，∴∠A=∠∴EF∴四边形AEFD、CDEF均是平行四边形∴△EFD与△∴∠∴当DF=FE时，△EFD与△综上所述，若△DEF与以点C，D，F（3）解：①由（2）中图2可知当∠ADE=70°时，△DEF②如图3，△DEG为△DEF与∴DE=DG∵∠FDE=∠∴∠∴∠1=∴∠ADE③如图4，△DEG为△DEF与∴DE∵∠FDE=∠∴∠∴∠1=∴∠ADE综上所述，当△DEF和△ABC的重叠部分为等腰三角形时，∠ADE的值为100°3或【点睛】本题考查了等腰三角形，几何图形折叠对称，三角形全等，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的分析可能存在的情况．【变式33】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）已知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接EA并延长交直线CD于点F．(1)如图1，若∠BCD=40°，直接写出(2)如图1，若CF=10，AF(3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．【答案】(1)60°(2)2(3)AF+【分析】（1）根据等边三角形及翻折的性质可求出∠ACE的值以及∠CAE=∠E，在△ACE根据三角形内角和定理求出∠（2）方法同（1）先求出∠CFE=60°，然后在CF上截取FH，使FH=EF，连接EH，BF，如图1，可知△EFH是等边三角形，根据∠ABF=180°-∠（3）由（2）可得AF+BF=【详解】（1）解：由等边三角形及翻折的性质得BC=∴∠CAE=∠E∴∠ACE∴∠CAE∵∠CFE∴∠CFE的度数为60°（2）解：由（1）可得∠CFE∵∠E=180°-∠∴∠E∴∠CFE如图1，在CF上截取FH，使FH=EF，连接由题意知BF=∴△EFH∵∠ABF=180°-∠CFB∴∠ABF在△ABF和△∵BF=∴△ABF∴CH=∴FH=∴AE=∴AE的长为2．（3）解：AF+证明如下：由（2）可得，点D在运动过程中，∠CFE如图2，在CF上截取FH，使FH=EF，连接∴同理（2）可知△EFH∵∠ABF=180°-∠CFB∴∠ABF在△ABF和△∵BF=∴△ABF∴CH=∴CF=∴AF+【点睛】本题主要考查了等边三角的性质，翻折的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质．熟练掌握知识并正确的作辅助线是解题的关键．【题型4两圆一线画等腰】【例4】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论．【详解】解：如下图，作AB垂直平分线与AC相交于点P，可得PA=以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有P1、P以B为圆心，AB为半径画圆，交AC有P3一个交点，可得P故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，解题的关键是正确作图，分情况讨论．【变式41】（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（

）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】D【详解】以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点；以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点，再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点，共有8个点，故选：D.【变式42】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有个。【答案】8【分析】分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）；此外加上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.【详解】解：以A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可，（A、B、C共线除外）；以B点为圆心，AB为半径作圆，在⊙B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点．故使△ABC是等腰三角形的格点C有8个．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．【变式43】（2023春·广东湛江·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线mA．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】C【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可．【详解】解：如图所示：以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合．因此出现等腰三角形的点P的位置有4个．故选：C．【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法．【题型5等边三角形手拉手问题】【例5】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）已如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P求证：(1)BE＝AD(2)∠AOB的度数【答案】(1)证明见详解(2)60°【分析】（1）利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，即可得出BE＝AD（2）由△BCE≌△ACD可得∠CAD＝∠CBE，根据“八字型”证明∠AOP＝∠PCB＝60°即可．【详解】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE即∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，AC=∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD（2）由（1）可得△BCE≌△ACD∴∠CAD＝∠CBE，∵∠APO＝∠BPC，∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【变式51】（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）阅读与理解：图1是边长分别为a和ba>b的两个等边三角形纸片ABC和C'DE叠放在一起（操作与证明：(1)操作：固定△ABC，将△C'DE绕点C按顺时针方向旋转25°，连接AD，BE，如图2；在图(2)操作：若将图1中的△C'DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α0°≤α≤360°，连接AD，BE，如图猜想与发现：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD长度最小是多少？【答案】(1)BE=(2)BE=(3)当α=180°时，线段AD的长度最大为a+b，当α=0°或α【分析】（1）根据旋转的性质及等边三角形的性质，证明△BCE≅△ACD（2）与（1）的思路方法一样，证明△BCE≅△ACD，根据全等三角形的对应边相等，可得到（3）根据前面的旋转得到当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，等于a+b，则此时旋转的角度为180°，当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD长度最小，等于a-b，旋转的角度【详解】（1）解：BE=∵△C'DE绕点C∴∠BCE∵△ABC与△∴CA在△BCE和△CA∴△BCE∴BE（2）BE=∵△C'DE绕点C∴∠BCE∵△ABC与△∴CA在△BCE和△CA∴△BCE∴BE（3）由题意可知：当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，等于a+b，所以α=180°，当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD的长度最小，最小值a-b【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后两图形全