专题281锐角三角函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题28.1锐角三角函数（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】锐角三角函数正弦：sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝eq\f(a,c)余弦：cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)＝eq\f(b,c)正切：tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq\f(a,b).【知识点二】特殊三角函数度数三角函数30°45°60°1【知识点三】解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：；(2)锐角之间的关系：；(3)边角之间的关系：，，.【知识点四】解直角三角形的应用(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有.(3)方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.(4)解直角三角形实际应用的一般步骤：a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．【考点目录】【考点1】锐角三角函数；【考点2】特殊角三角函数值的计算；【考点3】解直角三角形；【考点4】锐角三角函数与相关知识综合【考点5】三角函数与实际问题【考点一】锐角三角函数【例1】如图，在中，于，．（1）求证：．（2）若，，求的面积．【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）根据三角函数的概念可知，，根据即可得结论；（2）由的余弦值和（1）的结论即可求得，利用勾股定理求得，即可求解．解：（1）证明：，，，，；（2）解：，，，，，，，，的面积=．【点拨】本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算，熟练掌握三角函数的概念是解题关键．【举一反三】【变式1】如图，在正方形网格纸中，的三个顶点都在格点上，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用网格特点得到∠ABC=90°，然后利用正切的定义求解．解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴tan∠BAC．故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．合理使用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决问题的关键．【变式2】如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点，则（1）与是否垂直？（填“是”或“否”）．（2）．（3）．

【答案】是//【分析】（1）如图，作于，的延长线于，由题意知，，，由，，证明，则，则，进而结论得证；（2）由勾股定理得，，由，可得；（3）由题意知，，即，解得，，由勾股定理得，，计算求解即可．（1）解：如图，作于，的延长线于，

由题意知，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：是；（2）解：由勾股定理得，，∵，∴，故答案为：；（3）解：由题意知，，即，解得，，由勾股定理得，，故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，三角形内角和定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【考点二】特殊角三角函数值的计算【例2】计算：．【答案】7【分析】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键，将特殊角的三角函数值代入并结合零次幂的性质计算即可．解：．【举一反三】【变式1】若锐角满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据特殊角度的锐角三角函数值即可进行解答．解：∵，∴，故选：C．【点拨】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握各个特殊角度的正切值．【变式2】计算（﹣）﹣2﹣+2cos30°＝．【答案】2+．【分析】根据负指数幂的运算法则、实数的性质、特殊角的三角函数值进行化解即可求解．解：原式＝4﹣2+2×，＝4﹣2+，＝2+，故答案为：2+．【点拨】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．【考点三】解直角三角形【例3】如图，是的中线，

求：（1）的长；（2）的正弦值．【答案】（1）6（2）【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题；（2）在中，求出，即可解决问题．（1）解：如图，作于．

在中，，，，，在中，，，．（2），，，，在中，．的正弦值为．【举一反三】【变式1】如图，四边形为矩形纸片，，现把矩形纸片折叠，使得点落在边上的点处（不与重合），点落在处，此时，交边于点，设折痕为．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，设，由矩形的性质得，由折叠得，，则，因为，所以，，可求得，由勾股定理得，求得符合题意的值为3，则，，所以，于是得到问题的答案．正确地找到全等三角形的对应边并且用代数式表示线段、、的长是解题的关键．解：设，四边形是矩形，，，，由折叠得，，，，，，，且，，，，解得，（不符合题意，舍去），，，，故选：．【变式2】如图，在矩形中，点是的中点，点为射线上的一个动点，沿着折叠得到，连接，分别交和于点和，已知，，若与相似，则的长是．

【答案】1或3【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数，分两种情况：当时，；当时，，分别进行计算即可，熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．解：当时，，

四边形是矩形，，，，，，，；当时，，

；综上所述，的长是1或3，故答案为：1或3．【考点四】锐角三角函数与相关知识综合【例4】如图，在中，，，垂足为点，，.（1）求的值；（2）点在上，且，过作，垂足为点，求的长.【答案】（1）；（2）5【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，再由勾股定理确定，利用正弦函数的定义求解即可；（2）根据题意及相似三角形的判定得出，再由其性质得出，继续利用勾股定理求解即可（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴．（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点拨】题目主要考查等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【举一反三】【变式1】如图，在矩形中，，点在直线上，若矩形的周长为，点到直线的距离的长为6，则点到直线的距离的长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，同角的余角相等，解直角三角形，勾股定理等知识．利用矩形性质求出的长，利用锐角三角函数求出的长，再利用勾股定理即可求出最后结果，其中证明是解题关键．解：四边形为矩形，，，，，且矩形的周长为，，解得：，于点，于点，，，，，，，，点到直线的距离的长为，故选:．【变式2】如图，菱形的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，，反比例函数的图象经过点C，与交于点D，若的面积为30，则k的值等于．

【答案】【分析】本题主要考查菱形的性质和解直角三角形，由题意得，，进一步有，由得，，结合菱形面积求得x，可得点F的坐标，代入反比例函数即可求得答案．解：如图，过点D作过点C作，，设，

∵四边形为菱形，∴，，∵，∴，同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，解得：，∴，，∴点C坐标为，∵反比例函数的图象经过点C，∴代入点C得：，故答案为：．【考点五】三角函数与实际问题【例5】小明想利用建筑玻璃幕墙的反射作用来测建筑的高度．如图所示，他先在建筑的底部A处用测角仪测得其顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为，然后他沿前进了10米到达点处，再用测角仪测得建筑的顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为．已知，，测角仪置于水平高度米的、处．求建筑的高度．

【答案】【分析】延长分别交的延长线于，于相交于H，设，则，然后在和中解直角三角形可得、，由可得，进而得到，据此列方程解得，最后代入即可解答.正确的作出辅助线、灵活应用解直角三角形解实际问题是解题的关键．解：如图：延长分别交的延长线于，于相交于H，设,则,在中，；在中，，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴．答：建筑的高度为．【举一反三】【变式1】如图，小华同学想测量学校逸夫楼的高度，他站在B点从A处仰望楼顶D，测得仰角为30°，再往逸夫楼的方向前进14米从E处望楼顶，测得仰角为60°，已知小华同学身高（AB）为1.6米，则逸夫楼CD的高度的为（）（≈1.73）

A．12.1米 B．13.7米 C．11.5米 D．13.5米【答案】B【分析】设DF＝x米，在Rt△ADF中求出AF，在Rt△DEF中求出EF，再由AE＝14m，可求出x的值，即可得出CD的高度．解：如图：

设DF＝x米，在Rt△ADF中，DF＝x米，∠DAF＝30°，则tan30°＝DF：AF＝x：AF，故AF＝x米，在Rt△DEF中，DF＝x米，∠DEF＝60°，则tan60°＝DF：EF＝x：EF，故EF＝x米，由题意得，AF﹣EF＝x﹣x＝14，解得：x≈12.1米则这棵树的高度为12.1+1.6≈13.7米．故选：B．【点拨】本题考查解直角三角形的应用.设DF＝x，能借助三角函数用含x的代数式表示AF和EF，从而根据AF﹣EF=14列出方程是解决此题的关键.【变