专题514平行线的性质（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题5.14平行线的性质（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】两直线平行的判定方法1判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图1，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）图1【知识点二】两直线平行的判定方法2判定方法2：内错角相等，两直线平行.如图2，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）图2【知识点三】两直线平行的判定方法3判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如图3，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）图3特别提醒：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行；【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）.【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【例1】（2021下·七年级课时练习）如图，，，，求的度数．（1）请完成下列书写过程．（已知）又（已知）（2）若在平面内取一点，作射线，，则．【答案】（1）∠1，两直线平行，同位角相等，∠D，40°，两直线平行，同位角相等；（2）40°或140°【分析】（1）根据平行线的性质填写空格即可；（2）根据题意，可使得作出的与相等或互补即可．解：（1）（已知），（两直线平行，同位角相等），又（已知），（两直线平行，同位角相等）．故答案为：∠1，两直线平行，同位角相等，∠D，40°，两直线平行，同位角相等；（2）若在平面内取一点，作射线，，则40°或140°．故答案为：40°或140°．【点拨】本题考查平行线的性质，理解平行线的性质，熟悉证明类问题的书写形式是解题关键．【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】依据，即可得到，再根据，即可得出答案．解：如图，

，，又，，故选：B．【点拨】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，将一把直尺和一块含角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的度数为．【答案】/14度【分析】由题意可确定，，再根据平行线的性质得，然后根据角的关系即可解答．解：由题意可知，，由含角的三角板的特点可知：，，故答案为：．【点拨】本题考查平行线的性质，含角的三角板中的角度计算，掌握平行线性质是解题关键．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2013下·八年级课时练习）如图，已知∠B＝∠C，AD//BC．求证：AD是∠CAE的平分线．【答案】证明见分析【分析】由平行的性质可得∠2＝∠B，∠1＝∠C，再结合∠B＝∠C，即可得∠2＝∠1，从而得证．解：∵ADBC，∴∠1＝∠C，∠2＝∠B，∵∠B＝∠C，∴∠1＝∠2，∴AD是∠CAE的平分线．【点拨】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．【变式1】（2023下·全国·七年级专题练习）如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若，则＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先标注图形，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据折叠的性质得，最后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案.解：如图，∵，∴.由折叠可得，.∵，∴.故选：A．【点拨】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质等，灵活选择平行线的性质定理是解题的关键．【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是．

【答案】/50度【分析】根据三角形的外角定理求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答．解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图1是一张长方形纸片，将该纸片沿折叠得到图2．（1）若，求的度数；（2）若，则的度数为_______（直接写出结果）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根据平行线的性质得出，，求出的度数，最后根据进行计算即可得到答案；（2）先根据平行线的性质得出，，求出的度数，最后根据进行计算即可得到答案．（1）解：如图1，

，，，如图2，

，，，，；（2）解：如图1，

，，，如图2，

，，，，，故答案为：．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）如图，，=（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过C点作直线，根据平行线的性质可得，，然后再计算即可.解：

如图，过C点作直线，，

，，，，即.故选：B【点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，将一块含的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中点，分别在直线，上，若，，则°．

【答案】40【分析】由题意可得，，则有，由平行线的性质可求得，即可求．解：如图，

由题意得：，，，，∵，，．故答案为：40．【点拨】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线，点M、N分别在直线、直线上，点E为平面内一点，

（1）如图1，请写出，，之间的数量关系，并给出证明；（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若，平分，平分，，求的度数；（3）如图3，点G为上一点，，，交于点H，，，之间的数量关系（用含m的式子表示）是．【答案】（1），证明见分析；（2）；（3）．【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质进行证明即可；（2）利用平分，平分，可得，再根据，进行等量代换进行计算即可；（3）由已知条件可得，，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．解：（1），证明如下：如图1所示，过点E作，

∵，∴，∴，∵，∴．（2）∵平分，平分，∴．

∵，，∴．∵，∴，∴．（3）．证明如下：∵，，∴，．∵，∴，∵，∴，

∵，∴，．故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，如果，那么角α，β，γ之间的关系式为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过点E作，再根据平行线的性质得出，，求解即可．解：过点E作，

∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：D．【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在直线、上，，，则与的数量关系．【答案】【分析】过点作，根据平行线的性质与已知条件得出，，根据，即可得出结论．解：如图，过点作，则，，，，,即∴；即；故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图所示，有两艘油轮在海面上，油轮在油轮的正东方向，并且在、两处分别测得小岛在北偏东和北偏西的方向，那么在处测得、的张角的度数为多少？【答案】【分析】本题考查了方位角的计算，平行线的性质与判定；过点P作于点C，根据平行线的性质即可求解．解：如图，过点P作于点C，，，，，，，，，．【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图，为等边三角形，．若，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点B作，可得，用平行线性质求解即可．解：过点B作，如图，

∵，∴，∴，∵为等边三角形，∴，∴，∵，∴，故选：B．【点拨】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键．【变式2】（2020上·贵州六盘水·八年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数为．【答案】/度【分析】过C作，结合可得，，结合，即可得到答案；解：过C作，∵，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，故答案为：；【点拨】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，根据平行线性质得到角度关系．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2023下·七年级课时练习）成下面推理过程，并在括号内填上依据．已知：如图，，，．求证：．证明：，（已知），．________（________________________）．（________________）．又（已知），________（________________________）．（________________________）．又，（________________）．【答案】；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换【解析】略【变式1】（2018上·全国·七年级统考期末）如图，如果，，则下列结论正确的个数为（

）（1）；（2）；（3）平分（4）（5）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由平行线的性质得出内错角相等，同位角相等，得出（2）正确；再由已知条件证出，得出，得（1）正确；由平行线的性质得出（5）正确，即可得出结果．解：，，，故（2）正确；，，，故（1）正确；，故（5）正确；，而与不一定互余，与不一定互余，故（4）错误；，而与不一定相等，与不一定相等，故（3）错误；正确的个数有3个．故选：C．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板（其中点位置始终不变），当时，．

【答案】或【分析】分情况讨论：①；②，利用平行线的性质即可解答．解：由题意得，①如图，

当时，可得；②如图，

当时，可得，则．故答案为：或．【点拨】本题考查了平行线的判定，分情况讨论：①；②是解题的关键．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点．（1）若，求的度数；（2）若，，求直线与的距离．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过作于，根据，即可求解．解：（1）∵∴又∵∴（2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离∵，，是直角三角形∵∴∴直线与的距离【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式2】（2019下