专题54二次函数（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（苏科版）

专题5.4二次函数（全章分层练习）（培优练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023上·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为：（

）A． B．或C．或 D．或2．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（

）A． B．或C． D．或3．（2022·浙江嘉兴·统考一模）已知抛物线与直线有且只有一个交点，若c为整数，则c的值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2021·四川乐山·统考一模）在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（

）A．B．C．或 D．5．（2022上·安徽蚌埠·九年级统考期末）已知a，b是非零实数，且，在同一个坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（

）A．B．C． D．6．（2022上·安徽合肥·九年级校联考期中）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（

）A． B． C． D．7．（2022上·河南平顶山·九年级统考期末）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…012……tmn…且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③对称轴为；④；其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（2023上·江苏·九年级统考期中）如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接．若，则的值为（

）

A． B． C． D．9．（2023上·广东广州·九年级广州市第二中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（

）

A． B． C． D．10．（2022·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（

）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2018下·九年级课时练习）一种函数是二次函数，则m=12．（2023上·江苏南通·九年级统考期中）已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是．13．（2023上·福建厦门·九年级校联考期中）已知抛物线，该抛物线过点，且过顶点，当，则m的取值范围是．14．（2022下·湖南株洲·九年级株洲二中校考自主招生）已知函数，则该函数的最小值是．15．（2022下·安徽芜湖·九年级校考自主招生）对于某一自变量为的函数，若当时，其函数值也为，则称点为此函数的不动点，若函数的图象上有两个关于原点对称的不动点，则实数a，b应满足的条件为．16．（2023上·河南洛阳·九年级河南省洛阳市第二十三中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为．

17．（2023上·山东德州·九年级统考阶段练习）如图，矩形中，，，为的平分线，为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是．

18．（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）已知抛物线与y轴交于点，对称轴是直线，点C坐标是．（1）．（2）若线段与抛物线只有一个公共点，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023上·山东烟台·九年级统考期中）已知二次函数．（1）在如图坐标系中用描点法画出这个二次函数的图象；（2）观察图象，若点是这条抛物线上的三个点，请用“”连接的大小关系；（3）设抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，求的面积．20．（8分）（2023上·福建莆田·九年级校考期中）已知抛物线与直线相交于点A，B．（1）求该抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）若点，求抛物线顶点C到直线的距离；（3）在（2）的基础上，将该抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到新图象，当时，该新图象对应的函数的最大值为，最小值为，若，求n的取值范围．21．（10分）（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）已知抛物线．（1）证明：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）若该抛物线经过坐标原点，且对称轴在y轴的右侧，则m的值为______．（3）若O为坐标原点，该抛物线与y轴交于点C，当时，在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的和最小，则P点的坐标为_______．22．（10分）（2022·湖北武汉·统考模拟预测）某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的的数量与用500元进B型玩具的的数量相同．（1）求A、B两种玩具每个进价是多少元？（2）超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完．销售A型玩具的的价格（单位：元/个）与销售量（单位：个）之间的函数关系是：；销售B型玩具日获利（单位：元）与销售量（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？（3）该超市购进的50个玩具中，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决定每个A型玩具降价元销售，B型玩具的销售情况不变，若超市销售这50个玩具日获利的最大值为820元，直接写出的值．23．（10分）（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市光华中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与直线交于轴正半轴上的点，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，.（1）求抛物线的解析式；（2）点为抛物线的顶点，连接，，若线段上有一点，使，求的正切值；（3）在（2）的条件下，在抛物线上存在点，作，交直线于点，使.求出点的坐标.24．（12分）（2023上·山西吕梁·九年级统考期中）如图1，二次函数的图象交轴于点A，点B，交轴于点C，过点A的直线与抛物线交于点.

（1）请确定直线的解析式；（2）连接，点P是抛物线上的一个动点，过点P作轴的平行线交直线于点E，交线段于点F；①如果点P在第四象限的抛物线上运动，当时，求点P的坐标；②设直线与轴的交点为G，如图2，在点P运动的过程中是否存在以点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．D【分析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．解：∵二次函数，∴对称轴，当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴此时抛物线与x轴没有交点，∴，∴解得；当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴当时，，∴解得，∴，∴综上所述，当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．故选：D．【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．2．D【分析】因为两个图象总有公共点，所以将两个解析式进行联立，再根据根的判别式进行判断即可求出的取值范围．解：由题意得，无论为何值，直线与抛物线总有公共点，将代入得：，整理得：，，，，当时，，解得，，当时，，解得：，的取值范围是或．故选：D．【点拨】本题主要考查的是函数图象的交点问题，正确的列出判别式，并根据交点数进行判定是解题的关键．3．D【分析】由函数解析式作出抛物线与直线的图象，根据图象关系计算求值即可；解：∵，对称轴为：，∴x=0时，y=c；x=3时，y=c，如图为抛物线与直线关系图，由图象可知：①当直线过抛物线左端点时c=5，当直线过抛物线右端点时c=2，∴当5≤c＜2时，直线与抛物线只有一个交点，∴c为整数时可取5，4，3，②令，则，时，解得c=1，此时方程有两个相等的实数根，抛物线与直线只有一个交点，∴c的值为：5，4，3，1，故选：D．【点拨】本题考查了抛物线与直线的交点问题，利用图象法确定交点个数是解题关键．4．C【分析】分a＞0，a＜0两种情况进行讨论，找临界点进行讨论即可.解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将点，点代入得，解得∴直线AB的解析式为y=x+∵抛物线与线段有两个不同的交点∴有两个不同解∴∴∴①当a＞0时，解得a≥1∴②当a＜0时解得∴综上可知，或故选：C.【点拨】本题主要考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的特征，一次函数图象上点的特征，利用分类讨论思想解决问题是解决问题的关键.5．B【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．解：．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（，0）或点（1，a+b）．在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，∵∴0，∴（，0）比（1，a+b）更靠近原点，故选项A不可能；在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，∵∴0，∴（，0）比（1，a+b）更靠近原点，故选项B有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项C不可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：B．【点拨】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．6．B【分析】设，则高为，设面积为S，则，找到面积最大时的值，过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，计算可以解题．解：设，则高为，设面积为S，的面积最大，，即，过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接交l于点G，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，，，，的周长最小值为：．故选B．【点拨】本题考查二次函数的最值问题，轴对称的应用，是一道二次函数的综合题，正确运用轴对称是解题的关键．7．C【分析】利用待定系数法将点，代入解析式求出，，再结合二次函数图象与已知信息当时，得出，进而判断①结论；根据二次函数对称轴进而判断③结论；由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点，代入解析式得出，再由判断④结论．解：二次函数（a，b，c是常数，），当时，，当时，，．当时，其对应的函数值，二次函数开口向下，．，，，．（①结论符合题意）时，，是关于x的方程的根．对称轴，，（③结论不符合题意）和3是关于x的方程的两个根．（②结论符合题意）时，，时，，．．（④结论不符合题意）正确的结论有2个．故选：C．【点拨】本题考查二次函数的性质与图象的理解与综合运用能力．二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形．对称轴．二次项系数决定抛物线的开口方向与大小．如果，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．如果，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．灵活运用二次函数的性质与图象对每个结论依次分析是解本题的关键．8．B【分析】先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值．解：当时，，解方程，得，，点在点的左侧，且，，，当时，，，，，，∵轴，，，，作的平分线交于点，过点作于点，如图，

，，，在和中，，∴，，，，，，即，．故选：B．【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．9．B【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．解：作轴于点M，轴于N，

设，∵，则，，

∵，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，当时，有最小值为5，∴的最小值为，故选：B．【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．10．D【分析】由可得：，，则可得，则可得，再利用，进行计算即可．解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点；∴令x=n，可得∶纵坐标为，纵坐标为，，，．，．故选D．【点拨】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键．11．1解：根据二次函数的二次项的次数是2，二次项的系数不等于零，可由是二次函数，得m2+1＝2且m−1≠0，解得m=1，m=1（不符合题意要舍去）．故答案为1．12．3【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．根据，，得出，以及实数m，n满足，，即可将整理为，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而得出，最后根据二次函数的增减性，即可解答．解：∵，，∴，∴，∵实数m，n满足，，且，∴m、n可看作关于x的一元二次方程的两根，∴，∴，∵，∴当时，的值随x的增大而增大，∵，∴当时，有最小值，最小值为．故答案为：3．13．【分析】根据抛物线顶点，可知，该二次函数开口向上，分、、、进行讨论即可解答；解：抛物线顶点，，∴抛物线开口向上，当时，则，∴．当时，则，∴或．当时，则，∴．综上，m的取值范围是．故答案为：．【点拨】本题主要考查二次函数的增减性的应用，正确理解题意，明确A、B两点的位置是解题的关键．14．/【分析】设．则原函数可以化为．根据二次函数的最值即可求出结果．解：设，则，，当，即时，，该函数取最小值．故答案为．【点拨】本题主要考查了二次函数的最值．解题关键是根据将原函数转化为二次函数求解．15．，且【分析】根据不动点的定义，令，可得关于的一元二次方程，又已知两不动点关于原点对称可知它们的纵坐标和横坐标各互为相反数，最后利用根与系数的关系确定a，b应满足的条件．解：令，∴，即，设方程的两根为，，则两个不动点（,），（,），由于它们关于原点对称，∴，∴，解得，又∵，∴，∴，因此满足的条件为：且，．故答案为：且．【点拨】此题考查了用一元二次方程根和系数的关系解决函数问题，解题的关键是要理解关于原点对称的点纵坐标和横坐标各互为相反数这个特征进行转化．16．【分析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．解：∵抛物线与轴交于点，∴，抛物线的对称轴为，∴顶点坐标为，点坐标为，∵点为线段的中点，∴点坐标为，设直线解析式为（为常数，且），将点代入得，∴，将点代入得，解得．故答案为：．【点拨】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题，数形结合分析问题是解题的关键．17．【分析】建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，可求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最小值．解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

，，点，点，点，为的角平分线，，，，点，设直线的解析式为，将点，代入上式，得：，解得：直线解析式为，设点，为的中点，点，，，当时，的最小值为，故答案为．【点拨】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识，建立平面直角坐标系是本题的关键．18．且、．【分析】本题考查二次函数的综合应用，（1）将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴．（2）由点B为在抛物线上，根据点C与抛物线的位置，通过数形结合分类讨论求解．解：（1），抛物线的对称轴为直线；故答案为：；（2）抛物线与y轴交于点，，若线段与抛物线只有一个公共点，点，，都在直线上．①当时，如图，当线段与抛物线只有一个公共点．所以点C在图像上方，时，．，，又，，②当时，如图，当线段与抛物线只有一个公共点．所以点C在图像下方，时，．，，又，，③当时，如图，线段与抛物线只有一个公共点．点C始终在图像上方，此时公共点为B，④当时，点C与点B重合，综上所述，的取值范围为且、．故答案为且、．【点拨】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解．19．（1）见分析；（2）；（3）【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质．（1）先利用解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，再利用配方法得到抛物线的顶点坐标，然后描点画出二次函数的图象；（2）分别计算自变量为、1、2所对应的函数值，从而得到的大小关系；（3）由（1）得到点A、B、C的坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题的关键是，熟练掌握把求二次函数是常数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．（1）解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；当时，，解得，则抛物线与轴的交点坐标为；当时，，解得，则抛物线过点，∵，∴抛物线的顶点坐标为，如图，作法：1．列表0123…03430…2．描点，在平面直角坐标系中描出点，3．连线，用平滑的曲线连接各点．故二次函数的图象即为所求．（2）解：当时，；当时，；当时，；所以；故答案为：；（3）解：由（1）得，点A、B点的坐标为，∴的面积．20．（1）对称轴为直线，顶点坐标为；（2）；（3）n的取值范围是【分析】该题考查了二次函数和一次函数综合，解题的关键是熟悉二次函数和一次函数的图象和性质，运用数形结合思想解题；（1）根据一般式求对称轴公式可直接求出对称轴，再将代入即可表示出顶点坐标；（2）根据抛物线与直线过点，算出两者解析式，过点C做直线于点H设设，在中运用勾股定理即可求解；（3）设点关于直线的对称点为D，则，分①当点D在点B上方时，②当点D在点B下方时，③当点D和点B的纵坐标相等时，三种情况分别求解即可解：（1）该抛物线的对称轴为直线．当时∴顶点坐标为；（2）∵直线过点，，∵抛物线过点，，∴故抛物线的顶点坐标为．过点C做直线于点H，设∵在中∴∴∴（舍去），∴；故顶点到直线的距离为：（3）

设点关于直线的对称点为D，则．由题易知①当点D在点B上方时，，∴，∴；②当点D在点B下方时，，∴，，∴；③当点D和点B的纵坐标相等时，，∴，此时，符合题意，综上可知，n的取值范围是．21．（1）见详解；（2）；（3）【分析】本题考查了利用一元二次方程根的情况来确定抛物线与x轴的交点情况，以及运用待定系数法求函数解析式的运用．（1）根据方程根的判别式的符号直接判断即可作答；（2）将抛物线解析式化为顶点式，可得对称轴为：，根据对称轴在y轴的右侧，可得，再代入原点坐标，问题即可得解；（3）当时，，则抛物线的对称轴为：，作点O关于的对称点G，即有，连接交抛物线对称轴于点P，连接，根据轴对称的性质、两点之间线段最短，可知此时的和最小，利用待定系数法求出直线的解析式为：，当时，，问题随之得解．解：（1）令，可得方程∵，∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根，∴不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2），∴抛物线的对称轴为：，∵对称轴在y轴的右侧，∴，∵该抛物线经过坐标原点，∴，解得：（负值不符合题意，舍去），故答案为：3；（3）当时，，∴抛物线的对称轴为：直线，作点O关于的对称点G，即有，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图，

根据轴对称的性质、两点之间线段最短，可知此时的和最小，当时，，∴，设直线的解析式为：，∵，，∴，解得：，∴直线的解析式为：，当时，，∴，故答案为：．22．（1）每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元；（2）B型玩具的销售单价为13元；（3）4【分析】（1）设B种玩具每种b元，则A种玩具每种元，根据题意列出方程，求解即可；（2）由题意可知，，解该方程即可求出x的值，进而可得出B种玩具的个数，从而求出销售单价；（3）根据题意可知，此时，由a的取值范围，可得出该二次函数的对称轴的取值范围；由B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，可得出x的取值范围，根据二次函数的性质可列出方程，求解即可．（1）解：设每个型玩具的进价为元，则每个A型玩具的进价为元，可列方程：，解得，经检验是原方程的解，答：每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元；（2）依题意可得方程：，解得（舍去）则销售B型玩具：（个），日获利：（元），则每个获利（元），（元），故B型玩具的销售单价为13元；（3）设日获利为w元，根据题意得，，，，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的4倍，，，解得，当时，w取得最大值，，解得．【