专题01全等三角形

专题01全等三角形【考点1全等图形的相关概念】【考点2全等三角形的性质】【考点3全等三角形的判定】【考点4直角三角形全等的判定】【考点5全等三角形的判定与性质】【考点6全等三角形的实际应用】知识点1：全等图形全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。知识点2：全等多边形（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.知识点3：全等三角形的性质对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．知识点4：全等三角形的判定方法(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．知识点5：全等三角形的应用运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．考点剖析【考点1全等图形的相关概念】1．（2023秋•太和县期中）下列各组图形，是全等图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、不是全等图形，不符合题意；B、不是全等图形，不符合题意；C、不是全等图形，不符合题意；D、是全等图形，符合题意；故选：D．2．（2023秋•平原县期中）下列说法错误的是（）A．全等三角形的三条边相等，三个角也相等 B．判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边 C．面积相等的两个图形是全等形 D．全等三角形的面积和周长都相等【答案】C【解答】解：全等三角形的三条边相等，三个角也相等，A正确；判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边，B正确；面积相等的两个图形不一定是全等形，C错误；全等三角形的面积和周长都相等，D正确，故选：C．3．（2023•东丽区一模）两个全等图形中可以不同的是（）A．位置 B．长度 C．角度 D．面积【答案】A【解答】解：两个全等图形中对应边的长度，对应角的角度，图形的面积相等，可以不同的是位置．故选：A．4．（2022秋•东莞市期末）下列各组图形中，是全等形的是（）A．两个含60°角的直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰直角三角形 C．边长为3和4的两个等腰三角形 D．一个钝角相等的两个等腰三角形【答案】B【解答】解：A、两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；B、腰对应相等的两个等腰直角三角形，符合AAS或ASA，或SAS，是全等形；C、边长为3和4的两个等腰三角形有可能是3，3，4或4，4，3不一定全等对应关系不明确不一定全等；D、一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形．故选：B．5．（2023秋•淮阳区期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（）A．135° B．125° C．120° D．90°【答案】A【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠1＝∠4，∵∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．故选：A．6．（2022秋•西乡塘区校级期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全部【答案】D【解答】解：根据全等形的定义可知，①，②，③，④都全等．故选：D．7．（2023秋•永泰县期中）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是全等四边形，若∠A'＝95°，∠B＝75°，∠D'＝130°，则∠C＝60°．【答案】60°．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是全等四边形，∴∠A＝∠A′，∠D＝∠D′，∵∠A'＝95°，∠D'＝130°，∴∠A＝95°，∠D＝130°，∵∠B＝75°，∴∠C＝360°﹣（95°+130°+75°）＝60°．故答案为：60°．【考点2全等三角形的性质】8．（2023秋•虞城县期中）如图，△ABC≌△CDA，AB＝5，BC＝8，AC＝7，则AD的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解答】解：∵△ABC≌△CDA，BC＝8，∴AD＝BC＝8．故选：D．9.（2023秋•阜平县期中）如图，△ABC≌△ADE，点D在边BC上，下列结论不正确的是（）A．AD＝AB B．DE＝BD+DC C．∠B＝∠E D．∠BAD＝∠CAE【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，DE＝BD+DC，即∠BAD＝∠CAE，∴选项A、选项B、选项D正确，选项C不一定正确，故选：C．10．（2023秋•丹江口市期中）如图，△ABC≌△AED，点D在BC边上．若∠EAD＝85°，∠B＝30°，则∠ADC的度数是（）A．50° B．55° C．65° D．30°【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△AED，∠EAD＝85°，∴∠BAC＝∠EAD＝85°，AC＝AD，∵∠B＝30°，∴∠ADC＝∠C＝180°﹣85°﹣30°＝65°，故选：C．11．（2023秋•鹤庆县期中）如图，△ABC≌△DEF（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠D的度数为（）A．110° B．105° C．100° D．90°【答案】A【解答】解：∵∠B＝25°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣25°﹣45°＝110°，∵△ABC≌△DEF（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），∴∠D＝∠BAC＝110°，故选：A．12．（2022秋•长春期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（）A．30 B．27 C．35 D．40【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．12．（2023秋•文成县期中）如图，△ABC≌△DEF，BC＝12，EC＝7，则CF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝12，∴EF＝12，∴EC＝7，∴CF＝EF﹣EC＝12﹣7＝5，故选：A．13．（2023秋•天长市期中）如图，△ABD≌△ACE，BE＝16，DE＝10，则BC的长是（）A．24 B．20 C．21 D．22【答案】D【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC＝BE﹣DE＝6，∴BC＝BE+EC＝16+6＝22，故选：D．14．（2022秋•市中区期末）如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝80°，则∠CEB＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝80°，∴∠ADC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△CAD≌△CBE，∴∠CEB＝∠CDA＝70°；故选：C．15．（2022秋•汶上县校级期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD＝AC＝7，∵BE＝5，∴DE＝BD﹣BE＝2，故选：A．16．（2023秋•琼中县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，△ADC≌△BDF，若BD＝4，CD＝2，则△ABC的面积为（）A．24 B．18 C．12 D．8【答案】C【解答】解：∵△ADC≌△BDF，∴AD＝BD，∵BD＝4，∴AD＝4，∵DC＝2，∴BC＝BD+DC＝4+2＝6，∴S△ABC＝＝＝12，故选：C．【考点3全等三角形的判定】17．（2023秋•社旗县期中）如图所示的四个三角形中，全等的三角形是（）A．①③ B．①② C．②④ D．①③④【答案】B【解答】解：根据SAS可知①和②中的两个三角形全等．故选：B．18．（2023秋•太和县期中）如图，AB∥DE，BC＝EF．补充下列一个条件，不能使△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．AB＝DE D．AC∥DF【答案】A【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，且BC＝EF，A、若AC＝DF，不能判定△ABC≌△DEF，符合题意；B、若∠A＝∠D，可根据“角角边”判定△ABC≌△DEF，不符合题意；C、若AB＝DE，可根据“边角边”判定△ABC≌△DEF，不符合题意；D、若AC∥DF，则∠ACB＝∠F，可根据“角边角”判定△ABC≌△DEF，不符合题意；故选：A．19．（2023秋•新和县期中）已知：如图，AB＝DC，AE＝BF，∠A＝∠FBD，求证：△AEC≌△BFD．【答案】见解析．【解答】证明：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，∴AC＝BD，在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（SAS）．20．（2023•咸阳一模）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ACB＝∠D，求证：△ABC≌△EAD．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠E＝∠BAC，在△ABC和△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（AAS）．21．（2023秋•曹县期中）如图，点F，C在BE上，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．22．（2022秋•祁阳县期末）已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EBD＝∠2+∠EBD，∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（ASA）．23．（2023秋•建湖县期中）已知，如图，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，求证：（1）△ABE≌△ACD；（2）△BOD≌△COE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）∵△ABE≌△ACD，∴AB＝AC，∵AD＝AE，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS）．24．（2022秋•汉阳区校级期末）如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（ASA）．【考点4直角三角形全等的判定】25．（2023春•渭滨区期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选：C．26．（2023秋•疏勒县期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．【答案】见解析．【解答】证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△BFD和Rt△ACD中，∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．27．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．【答案】见试题解答内容【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．28．（2023春•垦利区期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．29．（2022春•泾阳县期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵DE＝BF，∴DE+EF＝BF+EF；∴DF＝BE；在Rt△ADF和Rt△CBE中，∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），∴AF＝CE．【考点5全等三角形的判定与性质】30．（2023秋•礼县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E．下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AD＝DE，则BD＝CE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ADE，即∠BAD＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠C，∠BDA＝180°﹣∠BAD﹣∠B，∴∠DEC＝∠BDA，故①正确；②∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，由①可知∠DEC＝∠BDA，∵AD＝DE，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE，故②正确；③∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°﹣40°＝50°，∵∠C＝∠B＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故③正确；④∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE或AD＝DE，当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，故④不正确，综上所述正确的有①②③，故选：C．31．（2023秋•临颍县期中）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B，D，E三点在一条直线上，若∠1＝26°，∠3＝56°，则∠2的度数为（）A．30° B．56° C．26° D．82°【答案】A【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠1＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠2，∵∠3＝∠1+∠ABD，∴∠3＝∠1+∠2，∵∠1＝26°，∠3＝56°，∴∠2＝56°﹣26°＝30°，故选：A．32．（2023秋•太和县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠EDF，若BE＝CD＝1，BC＝3，则CF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE，∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE，∠B＝∠EDF，∴∠BED＝∠CDF，∵BE＝CD，∴△BED≌△CDF（ASA），∴CF＝BD，∵BC＝3，CD＝1，∴BD＝2，∴CF＝2，故选：B．33．（2023秋•鹤庆县期中）已知△ABC中AD为中线，且AB＝5、AC＝7，则AD的取值范围为（）A．2＜AD＜12 B．5＜AD＜7 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜10【答案】C【解答】解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC，在△ADB和△EDC中∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝5，AC＝7，∴CE＝5，设AD＝x，则AE＝2x，∴7﹣5＜2x＜7+5，∴1＜x＜6，故选：C．34．（2023秋•辉县市期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，BD＝6，CD＝4，则线段AF的长度为（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DAB，∴BD＝AD＝6，∵∠CAD+∠AFE＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠C，∵∠AFE＝∠BFD∴∠C＝∠BFD在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴CD＝DF＝4，∴AF＝AD﹣DF＝6﹣4＝2．故选：B．35．（2023秋•应城市期中）如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACD，AC＝CD，若AB＝1，BE＝4，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠B＝∠E＝∠ACD，∴∠ACD+∠ACB+∠BAC＝180°，∵∠ACD+∠ACB+∠DCE＝180°，∴∠BAC＝∠DCE，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴BC＝DE，AB＝CE，∵AB＝1，BE＝4，∴DE＝BC＝BE﹣CE＝BE﹣AB＝4﹣1＝3，故选：C．36．（2022秋•阿荣旗期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，AE＝AC，连接AD，若BC＝8，则BD+DE等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴CD＝DE，∴BD+DE＝BD+CD＝BC，∵BC＝8，∴BD+DE＝BC＝8．故选：C．37．（2022秋•和平区校级期末）如图所示，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵BC、AE是锐角△ABF的高，∴∠BCF＝∠ACD＝∠AEF＝90°，∴∠F+∠CAD＝∠F+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠CAD，在△BCF和△ACD中，，∴△BCF≌△ACD（AAS），∴CD＝CF＝2，BC＝AC＝AF﹣CF＝5，∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3．故选：B38．（2023秋•京口区期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长．【答案】（1）见解析；（2）FC＝4cm．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10cm，BF＝3cm，∴FC＝10﹣3﹣3＝4cm．39．（2023秋•连山区期中）如图，点D在AC边上，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝45°，求∠BDE的度数．【答案】（1）见解析；（2）67.5°．【解答】（1）证明：∵∠2+∠BDE＝∠ADE＝∠1+∠C，∠1＝∠2∴∠C＝∠BDE，在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（AAS），（2）解：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∴∠EDC＝∠C，∵∠1＝45°∴∴∠BDE＝67.5°40．（2023秋•科尔沁区期中）如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：结论：EC＝BF，EC⊥BF．理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB＝∠CAF＝90°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF．在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF（SAS），∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，∴∠ABF+∠BGM＝90°，∴∠EMB＝90°，∴EC⊥BF．∴EC＝BF，EC⊥BF．（2）证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．41．（2023秋•合江县期中）如图，已知：∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）AD＝AB+CD．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：过点M作ME⊥AD于E，∵∠B＝∠C＝90°，∴MB⊥AB，MC⊥CD，∵DM平分∠ADC，ME⊥AD，MC⊥CD，∴ME＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MB＝ME，又∴MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB．（2）∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C＝∠DEM＝90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中，，∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD＝DE，同理AE＝AB，∵AE+DE＝AD，∴CD+AB＝AD．【考点6全等三角形的实际应用】42．（2023秋•镇平县期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【答案】B【解答】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到原三角形全等的三角形．故选：B．43．（2023秋•昭阳区期中）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，然后在BC的同侧找到点M使∠MBC＝60°，∠MCB＝40°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA【答案】D【解答】解：在△MBC，△ABC中，，∴△MBC≌△ABC（ASA）．故选：D．44.（2023春•龙岗区校级期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（）A．ASA B．AAS C．SSS D．HL【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝AE，在△ADM和△AEM中，．∴△ADM≌△AEM（SSS），故选：C．45．（2023•怀化三模）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求证：△ABP≌△PEF；（2）求BE的长．【答案】（1）证明见解答；（2）15m．【解答】（1）证明：∵∠ABP＝∠FEP＝90°，∠APF＝90°，∴∠APB＝∠PFE（同角的余角相等）．在△ABP与△PEF中，，∴△ABP≌△PEF（AAS）；（2）由题意知，AB＝1.5×3＝4.5（m），EF＝7×1.5＝10.5（m）．由（1）知，△ABP≌△PEF，∴BP＝EF＝10.5m，AB＝PE＝4.5m，∴BE＝BP+PE＝15m．46．（2023秋•云梦县期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚时（容器壁厚度均匀），小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆形容器的壁厚了．（1）请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；（2）若a＝58.6mm，b＝61.2mm，求出圆形容器的壁厚．【答案】（1）见解析；（2）圆形容器的壁厚为1.3mm．【解答】解：（1）在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴AB＝CD；（2）∵EF＝b＝61.2mm，AB＝CD＝a＝58.6mm，∴圆形容器的壁厚为．47．（2023春•渠县校级期末）生活中的数学：（1）启迪中学计划为现初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性．（2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，请说明AD＝CB的理由．【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）见解答．【解答】（1）解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性；（2）证明：∵O是AB和CD的中点，∴AO＝BO，CO＝DO，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC．过关检测一．选择题（共10小题）1．（2023秋•巴东县期中）下列汽车标志中，是由多个全等图形组成的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：组成第1个图形的各部分不全等，不符合题意；组成第2个图形的两个图形全等，符合题意；组成第3个图形的三个图形全等，符合题意；组成第4个图形是四个圆形全等，符合题意．故选：C．2．（2023秋•沂南县期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（）A．30° B．31° C．32° D．33°【答案】D【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣117°﹣30°＝33°，∵两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝33°，故选：D．3．（2022秋•海淀区校级期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝56°，则∠AED的大小为（）A．34° B．56° C．62° D．68°【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，∴∠BAE＝∠1＝56°，∴∠B＝∠AEB＝（180°﹣56°）＝62°，∴∠AED＝∠B＝62°，故选：C．4．（2023秋•广陵区校级月考）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA【答案】D【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；D、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项符合题意；故选：D．5．（2023秋•张北县期中）如图，要测量池塘A，B两端的距离，作线段AC与BD相交于点O．若AC＝BD＝8m，AO＝DO，△COD的周长为14m，则A，B两点间的距离为（）A．6m B．8m C．10m D．12m【答案】A【解答】解：∵AC＝BD，AO＝DO，∴AC﹣AO＝BD﹣DO，即OC＝OB，∵OC＝OB，∠COD＝∠BOA，OD＝OA，∴△COD≌△BOA（SAS），∴AB＝CD，∵△COD的周长为14m，∴OC+OD+CD＝14m，即AC+CD＝14m，∴CD＝6m，∴AB＝6m，故选：A．6．（2023秋•崆峒区校级期中）装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【解答】解：②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第①块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：A．7．（2023秋•青秀区校级期中）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（）A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短【答案】B【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，∴OA＝OA'，OB＝OB'，由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，在△AOB和△A'OB'中，，∴△AOB≌△A'OB'（SAS），∴AB＝A'B'，即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，故选：B．8．（2022秋•正定县期末）如图，在△ABC和△AED中，已知∠1＝∠2，AC＝AD，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△AED，这个条件是（）A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E【答案】B【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE，A、加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；B、加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；C、加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；D、加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；故选：B．9．（2023秋•丹阳市期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【解答】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．故选：B．10．（2022秋•灵宝市校级期末）现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝10m，BC＝8m，CD＝12m，点E是AB边的中点．小狗汪汪从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿CD向点D跑，若能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则妞妞的运动速度为（）A． B． C．2m/s或 D．2m/s或【答案】D【解答】解：∵AB＝10m，E是AB边的中点，∴BE＝5m，∵∠B＝∠C，且△BEP与△CPQ全等，∴BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ，当BP＝CQ，BE＝CP时，∵BE＝5m，BC＝8m，设运动时间为t，8﹣2t＝5，解得，∴，此时妞妞的运动速度为：m/s，当CP＝BP，BE＝CQ时，，t＝2，此时CQ＝5，妞妞的运动速度为：，故选：D．二．填空题（共5小题）11．（2023秋•武都区期中）如图，点A，D，C，E在一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则CD的长为4．【答案】4．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠A＝∠E，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（ASA），∴AC＝ED＝7，又∵AE＝10，∴AC+DE﹣CD＝10，∴CD＝14﹣10＝4；故答案为：4．12．（2023秋•招远市期中）如图，已知BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，若AC＝9，AE＝2，则线段DC的长为7．【答案】7．【解答】解：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AD＝AE＝2，∵AC＝9，∴DC＝AC﹣AD＝7，故答案为：7．13．（2023秋•湖北期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别截取OM，ON，使OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是SSS．【答案】SSS．【解答】证明：由题意知；CM＝CN，在△OMC和ONC中，，∴△OMC