《概率论》课程教学大纲

PAGE7PAGE14《概率论》教学大纲课程编号：123304A课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课eq\o\ac(□,√)学科基础课总学时：64讲课学时：48实验（上机）学时：16学分：4考试类型：eq\o\ac(□,√)考试□考查适用对象：统计学、经济统计学、数学与应用数学（金融方向）□是eq\o\ac(□,√)否适合作为其他专业学生的个性化选修课先修课程：数学分析、高等代数一、教学目标《概率论》是数学、统计学专业本科生基础课，是认识、刻画、分析各种随机现象的入门课。是以具有不确定性的随机现象为研究对象，以探讨和研究随机现象的统计规律性为任务的一个数学分支，是继续学习数理统计、随机过程，以及与概率理论相关的课程的基础。概率论是一门应用性很强的数学学科，广泛地应用于金融、保险，证券，工程技术和自然学科中，是各学科中分析与解决问题的基本工具，概率论与不同的问题结合形成许多分支。目标1：要求学生对随机现象有充分的感性认识和比较准确的理解，理解概率论的基本理论和基本计算方法，为后续课程的学习打下必要的基础；目标2：另一方面要求学生联系实际问题，能够运用基本的概率模型、理论和方法解决实际应用中的简单概率问题。目标3：（1）培养学生掌握3W学习方法：为什么学、学什么、怎么学；（2）培养学生勇于探索的品质，坚定理想信念，激发爱国情怀，树立良好的职业道德与敬业精神，用辩证的观点去分析实际问题。二、教学内容及其与毕业要求的对应关系本课程的重点包括：概率空间的建立、随机变量的概念、两种类型的随机变量：离散型随机变量和连续型随机变量、数字特征、特征函数、大数定律；难点包括：随机变量的概念、特征函数、大数定律、中心极限定理。在本课程在执行过程中，内容的选取和讲解都考虑到了学生以后的发展，使学生主要掌握随机事件、随机变量的概念；掌握随机变量的分布及数字特征的计算，掌握大数定律及中心极限定理的实际应用等内容。本课程的总课时64课时，采取讲授、课堂讨论、上机实验和课外习题相结合的方式教学。其中课外习题占有相当大的份量，要求学生在课堂上采取积极主动的方式学习，下课后积极温习书上的内容，独立完成练习。教学方法应密切结合学生的基础，照顾学生实际，坚持教学方法的通俗性。坚持理论联系实际、直观启发的原则，注重从实际问题引入概念。《概率论》的概念、公式等内容繁多，在教学中应该努力使概念、规律形象化、通俗化。化解课程的难点；其次，要突出重点、难点，讲述详略得当，针对性强。对各章的主要内容、目的要求、重点难点、重要结论和公式，都要明确指出；对易于相混的概念互相比较，对照分析。以图形、表格、注释、说明对难点加以分解，培养学生的观察、理解能力。同时注意介绍相关软件的应用。尽可能使学生克服学习中的障碍，提高了学习概率论的兴趣。三、各教学环节学时分配教学课时分配序号章节内容讲课实验其他合计1第一章概率空间6282第二章加法和乘法公式6283第三章随机变量104124第四章随机向量104125第五章随机变量的数字特征62106第六章条件数学期望和特征函数6287第七章大数定律及中心极限定理46合计481664四、教学内容第一章概率空间第一节有限样本空间有限样本空间的定义事件及事件关系与运算用等可能性定义概率第二节古典概率模型（等可能概型）古典概型的定义古典概型的概率计算第三节几何概率几何概型的定义几何概率的计算第四节概率空间概率的公理化定义概率空间的定义第五节概率的基本性质概率的可加性概率的单调性第六节概率的连续性第七节概率与频率教学重点、难点：本章教学重点为随机事件的基本概念、概率的基本概念、概率的计算。本章教学难点为随机事件的运算、概率的定义及性质、利用概率的性质解决古典概型和几何概型的概率计算问题课程的考核要求：了解确定性现象和随机现象的概念、理解随机试验的概念和特点、样本空间和样本点的概念；会写出随机试验的样本空间；理解随机事件和基本事件的概念；掌握事件间的关系与事件的计算；理解等可能概型（古典概型）的定义和特点；理解放回抽样和不放回抽样的概念；掌握古典概型中事件的计算公式并能够灵活运用公式解决应用问题；理解几何概率的定义；掌握几何概率中的计算与应用；理解概率的公理化定义、概率空间的定义；掌握由概率的公理化定义推出的一些重要性质；了解概率连续性的定义及性质；理解频率的定义；掌握频率的基本性质及计算；了解主观概率的定义。课程思政切入点：概率论的发展历程与前沿。介绍我国学者在概率论方面的成就，进行爱国主义教育。再比如在学习古典概型的时候，可以溯源，17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。这个赌博问题他自己都无法给出答案。于是将这个问题向当时法国数学家帕斯卡请教，由此早期的概率论被数学家帕斯卡、费尔马和惠更斯所创立。复习思考题：第一章课后练习题：2，3，5，7，9，12，17第二章加法和乘法公式第一节加法公式两个事件加法公式三个事件加法公式加法公式一般形式；第二节事件的独立性两个事件独立的定义独立事件列的定义运用事件的独立性进行概率计算第三节条件概率和乘法公式条件概率的概念乘法公式运用乘法公式进行概率计算第四节全概率公式样本空间的划分的概念全概率公式运用全概率公式进行概率计算第五节贝叶斯公式贝叶斯公式运用贝叶斯公式进行概率计算教学重点、难点：本章的教学重点为概率的加法、乘法公式、条件概率、全概率公式和贝叶斯公式。本章的教学难点为事件独立性的概念以及运用上述概率公式进行应用问题的概率计算。课程的考核要求：理解事件独立性和条件概率的概念及其在实际问题中的应用；掌握概率的加法、乘法公式以及全概率公式、贝叶斯公式；熟练运用概率的加法、乘法公式以及全概率公式、贝叶斯公式进行概率计算。课程思政切入点：在讲解贝叶斯定理时，可以结合生活具体案例及机器学习中利用贝叶斯定理发展出的方法，如贝叶斯公式与疾病的普查筛查、朴素贝叶斯方法等，开拓学生的眼界，让学生了解现在所学知识在生活中的广泛应用，提高学生对所学内容的重视程度。复习思考题：第二章课后练习题：1，3，8，11，16，22，23，25，26，27，33第三章随机变量第一节随机变量及其分布函数随机变量的定义随机变量分布函数的定义随机变量概率密度的定义第二节离散型随机变量离散型随机变量的定义离散型随机变量分布列的定义及其性质常见的离散型随机变量第三节连续型随机变量密度函数的定义及其性质密度函数与分布函数的关系常见的连续性随机变量第四节随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布列的计算连续型随机变量函数的密度函数的计算教学重点、难点：本章的教学重点为随机变量及其概率分布的概念、离散型随机变量及其概率分布的概念、连续型随机变量及其概率密度的概念、概率密度与分布函数之间的关系、随机变量函数的分布。本章的教学难点为随机变量与分布函数的概念、离散型随机变量、连续型随机变量的概念及概率的求法、对分布函数的理解及用该函数求具体概率问题、随机变量函数的分布列或密度函数的计算。课程的考核要求：理解随机变量的概念及其定义；掌握分布函数和概率密度的定义、掌握分布函数的性质；理解离散、连续型随机变量的定义；掌握分布列、密度函数的定义及其性质；掌握离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的概率密度和分布函数的相互转换；掌握常见的离散型、连续型随机变量，并熟练运用这些分布解决实际应用中的概率计算问题；掌握随机变量的函数的概率分布的计算。课程思政切入点：在讲解伯努利概型时，可以讲述显赫的瑞士伯努利家族，三代时间里出现八位数学家！提高学生兴趣，鼓励学生勇于奋斗，培养学生积极向上、努力拼搏、刻苦钻研的精神。还有正态分布的前世今生，可以通过讲授数学家的故事进行课程思政。复习思考题：第三章课后练习题：1，2，5，8，9，10，17，21，22，25第四章随机向量第一节随机向量 随机向量、联合分布函数、边缘分布函数的定义随机变量相互独立的定义；第二节离散型随机向量二维离散型随机向量的联合概率分布与边缘概率分布两个离散型随机变量独立及其充要条件利用独立性进行概率计算第三节连续型随机向量二维连续型随机向量的联合概率密度与边缘概率密度二维连续型随机向量的联合分布函数与联合密度两个连续型随机变量独立及其充要条件利用独立性进行概率计算第四节随机向量函数的分布离散型随机向量函数的分布连续型随机向量函数的分布第五节随机向量函数的联合密度第六节二维正态分布二维正态分布的定义二维正态分布的相关性质教学重点、难点：本章的教学重点为随机向量的概念及其联合分布、边缘分布的概念、二维离散型随机变量的联合概率分布及其边缘概率分布、二维连续型随机变量联合密度与边缘密度、随机变量独立性、二维正态分布。本章教学的难点为随机变量独立性、联合分布与边缘分布直接的关系、随机向量函数的联合密度。课程的考核要求：理解随机向量及其联合分布与边缘分布的定义；掌握二维离散型随机向量联合概率分布与边缘概率分布的计算；理解二维连续型随机向量的概率密度及其性质；掌握二维连续型随机向量的联合密度与边缘密度的计算；掌握随机变量独立性，相互独立的充要条件，了解n维随机变量相互独立的定义，运用独立性解决相关概率问题；掌握随机向量函数分布及连续型随机向量函数的联合密度的计算；了解二维正态随机变量及其性质。课程思政切入点：在讲正态分布时，可以采取案例教学法，成年人的身高数据也是服从正态分布的。2020年12月23日，国新办举行发布会，发布《中国居民营养与慢性病状况报告（2020）年》，报告显示，18-44岁中国男性平均身高169.7厘米，中国女性平均身高158.0厘米，与2015年发布结果相比分别增加1.2厘米和0.8厘米。在中国共产党的带领下，人民生活水平显著提高，导致中国成人平均身高继续增长。这一事实让同学们充满了自豪感，对“中国梦”的实现充满了自信心，爱国主义精神高涨。复习思考题：第四章课后练习题：1，3，11，13，15，21，24，32，34第五章随机变量的数字特征第一节数学期望数学期望的定义数学期望的统计含义第二节常用的数学期望第三节数学期望的计算随机变量函数的数学期望的计算随机向量函数的数学期望的计算第四节数学期望的性质随机变量线性组合的数学期望独立随机变量乘积的数学期望第五节随机变量的方差方差的定义常用的方差方差的性质第六节协方差和相关系数内积不等式协方差和相关系数的定义相关系数的性质协方差矩阵教学重点、难点：本章的教学重点为随机变量的数学期望、方差、协方差和相关系数的概念。本章教学的难点为数学期望、方差的概念及性质的正确理解、利用数学期望和方差的概念及性质解决具体问题的计算。课程的考核要求：理解数学期望、方差、协方差和相关系数和协方矩阵的定义及其性质；掌握随机变量及随机变量函数的数学期望、方差、协方差和相关系数和协方差矩阵的计算。掌握契比雪夫不等式的证明及其应用课程思政切入点：在讲解数学期望时，可以结合现代经济领域，人们在进行相关经济决策的时候，为了增强经济决策的效率性、科学性，就需要用到数学期望，因此数学期望在经济决策中能够起到非常重要的作用。比如在投资决策中的应用，有一笔资金进行一次为期一年的短期投资，选择哪种方案最佳。通过理论联系实际，提高学生应用概率与统计的知识解决实际问题的能力。复习思考题：第五章课后练习题：4，5，7，8，10，11，14，15，19，21，23，30，31第六章条件数学期望和特征函数第一节条件分布条件分布的定义及性质条件分布的计算第二节条件密度条件分布函数及条件密度的定义条件密度的计算第三节条件数学期望条件数学期望的定义条件数学期望的性质第四节极值分布最大和最小值的分布次序统计量的分布第五节概率母函数概率母函数的定义常见分布的母函数第六节特征函数特征函数连续性定理教学重点、难点：本章的教学重点为条件分布、条件密度及条件期望的概念、极值分布和特征函数。本章教学的难点为条件分布、条件密度概念的理解、极值分布和特征函数的计算。课程的考核要求：理解条件分布、条件密度及条件期望的概念；掌握条件分布、条件密度及条件期望、极值分布及特征函数的计算；了解连续性定理的内容，证明可省略。课程思政切入点：在讲解条件数学期望时，介绍澳门赌对子的案例，从期望的角度提醒学生赌博的高风险性，让学生远离赌博。复习思考题：第六章课后练习题：1，2，3，6，9，16，17，18，22，24，25，26，29第七章大数定律及中心极限定理第一节马尔可夫不等式第二节大数定律大数定律依概率收敛和几乎处处收敛第三节中心极限定理第四节中心极限定理的应用教学重点、难点：本章的教学重点为大数定律和中心极限定理。本章教学的难点为对贝努力大数定律和中心极限定理的理解。课程的考核要求：掌握贝努利大数定律及其在实际中的应用；掌握契比雪夫大数定律的特殊情况和契比雪夫大数定律及其在实际中的应用；了解辛钦大数定律；理解依概率收敛、依分布收敛和几乎处处收敛的定义及其关系；掌握中心极限定理及其应用；课程思政切入点：中心极限定理，体现了量变到质变的转化规律，通过引入科学家们坚持不懈