专题262反比例函数的图象与性质（二）（举一反三）（人教版）

专题26.2反比例函数的图形与性质（二）【十大题型】【人教版】TOC\o"13"\h\u【题型1反比例函数图象的对称性】 1【题型2反比例函数概念、性质的综合应用】 6【题型3两种函数图象的共存问题】 8【题型4利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】 11【题型5反比例函数与一次函数的综合应用】 18【题型6反比例函数与几何图形的面积的综合】 24【题型7反比例函数的图象与几何变换问题】 32【题型8与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】 42【题型9反比例函数中的存在性问题】 50【题型10反比例函数中的规律问题】 62【知识点反比例函数图象的对称性】（1）中心对称，对称中心是坐标原点（2）轴对称：对称轴为直线和直线【题型1反比例函数图象的对称性】【例1】（2023春·杭州九年级期末测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于．

【答案】1【分析】设反比例函数解析式y=kx，由题意可得：P【详解】解：设反比例函数解析式y=由题意可得：P点坐标为：(1,1)，故图中阴影部分的面积为：1×1=1．故答案为：1．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，中心对称的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．【变式11】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，点A3a,-a是反比例函数y=kx【答案】y【分析】首先根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14πr【详解】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14解得：r=4∵点A3a,-a是反比例函∴-3a2∴a∴k则反比例函数的解析式是：y=-故答案为：y=-【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式，熟练掌握和运用反比例函数图象的性质是解决本题的关键．【变式12】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxk≠0经过点A1,2，B2,m．直线AO，BO分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接AB，【答案】见解析【分析】将点A代入y=kxk≠0中求出k，再将点B代入y=2x中，求出点【详解】解：将A1,2代入yk=2∴y=2x，将B∴m=22∴OA=12∴OA=由反比例函数对称性可得：OA=OC，即OA=∴四边形ABCD是矩形．【点睛】本题考查了反比例函数图像上的点，对称性，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是求出OA和OB的长，熟练运用矩形的判定定理．【变式13】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，过原点的直线交反比例函数y=ax图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y=bxx>0的图象于A、B点，已知b-【答案】69【分析】连接OA，OB，延长BP交x轴于点C，易求S△由P，Q关于与原点成中心对称，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面积相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3所以S阴影=6．设点C（m，0）m＞0．则P（m，【详解】连接PQ，OA，OB，延长BP交x轴于点C，设点C对应的数为m，m＞0.则P（m，am），B（m，b∴OC=m，PC=am，BC=∴S△POC∴S∵P、Q关于原点成中心对称，∴OP=OQ∴S∴S同理可得：S所以S设点C（m，0）m＞0．则P（m，am），A（m，bm），B（bma∴AP＝bm∵S△APB＝3，∴1∴a＝32∵b−a＝3，∴b＝92故答案为：6，92【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，关于原点对称的点的坐标的性质，三角形的面积．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．【题型2反比例函数概念、性质的综合应用】【例2】（2023春·湖南张家界·九年级统考期中）已知反比例函数y＝（2m+1）xm2-【答案】2【分析】根据反比例函数的定义可知m2﹣5＝﹣1，又根据图象所在象限可得2m+1＞0，解不等式即可求得m的取值范围．【详解】解：∵y=∴m2﹣5＝﹣1，解得：m＝2或m＝﹣2，∵反比例函数y=又2m+1＞0，解得：m＞-1∴m＝2．【点睛】本题考查反比例函数的定义与图象性质，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法，掌握反比例函数的定义以及图象的性质，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法是解题的关键．【变式21】（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期中）已知y是x的反比例函数，且函数图象过点A-(1)求y与x的函数关系式；(2)当x取何值时，y=【答案】(1)y(2)x【分析】（1）设该反比例函数的表达式为：y=kx（2）将y=23【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为：y=将A-3,8代入8=k-3∴y=-（2）将y=2323=-24【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握反比例函数相关知识并正确计算是解题的关键．【变式22】（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）若反比例函数y=(2m-1)xm2【答案】-【分析】让未知数的指数为1，系数小于0列式求值即可．【详解】∵是反比例函数，∴m22=1，解得m=1或1，∵图象在第二、四象限，∴2m1＜0，解得m＜0.5，∴m=1，故答案为1．【点睛】考查反比例函数的定义及性质：一般形式为y＝kx（k≠0）或y=kx1（k≠0）；图象在二、四象限，比例系数小于0【变式23】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）反比函数y1（1）求m的值；（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是；（3）当直线y2＝﹣x与双曲线y1=(m+1)x3-m2交于A、B两点（A在【答案】（1）2；（2）y＞1或y＜0；（3）x＜﹣1或0＜x＜1【分析】（1）根据反比例函数的定义以及性质，即可得到m的值；（2）直接根据反比例函数的图象进行解答即可．（3）解析式联立求得A、B的坐标，然后根据A、B的坐标，然后观察函数图象求解．【详解】解：（1）反比函数y1∴m+1<0且解得m=-2（2）由（1）可知反比例函数为y=-∵由反比例函数的图象可知，当-1<x<0∴当-1<x<0∵当x>0∴y∴当x>-1时，y的取值范围是y>1或故答案为y>1或y（3）联立解析式得方程组y=-xy=-1∴A(-1,1)，由图象可知：当x<-1或0<x<1【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合思想解本题的关键．【题型3两种函数图象的共存问题】【例3】（2023春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数图象逐项分析，判断出a、b的符号，与ab<0【详解】解：A.由图象可知：a>0,b>0，所以ab>0，与B.由图象可知：a<0,b>0，所以ab<0，与C.由图象可知：直线不经过原点，与已知正比例函数y=ax不一致，故D.由图象可知：a<0,b<0，所以ab>0，与故选：B【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，正确根据正比例函数、反比例函数图象确定比例系数的取值范围是解题关键．【变式31】（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）反比例函数y=4x与一次函数yA． B．C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限．【详解】解：由反比例函数y=4x与一次函数y=故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．【变式32】（2023春·山东济南·九年级统考期末）如图，关于x的函数y=-kx(k≠0)和y＝kx－kA．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．【详解】解：当k＞0时，函数y=kxk的图象在第一、三、四象限，反比例函数y=-kx的图象在第二、四象限，故选项B正确，选项C当k＜0时，函数y=kxk的图象在第一、二、四象限，反比例函数y=-kx故选B．【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答．【变式33】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y=kbx（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（A．B．C． D．【答案】D【分析】根据一次函数的图象确定k和b的符号，进一步确定反比例函数的图象即可．【详解】解：A选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴反比例函数经过二、四象限，故A选项不符合题意；B选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＞0，∴kb＞0，∴反比例函数经过一、三象限，故B选项不符合题意；C选项中，一次函数b=0，∵kb≠0，故C选项不符合题意；D选项中根据一次函数图象可知，k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函数经过二、四象限，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与参数的关系是解题的关键．【题型4利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】【例4】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，一次函数y=-x+5与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于A，B两点，且点A的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线y

【答案】2或4【分析】根据题意求得反比例函数解析式为y=4x，得到A【详解】解：∵一次函数y=-x+5与反比例函数y=kx(x>0)故将x=1代入一次函数y=-x+5得将A1,4代入反比例函数y=kx，得令-x+5=4x，整理得x2将x=4代入一次函数y=-x+5得故点A与点B关于直线y=∵反比例函数y=4x则直线y=x关于直线y=令反比例函数y=4x的图像关于直线y=x-1故y'的图象可以看做是由反比例函数y原点O关于直线y=x-

故直线y=x-2可以看做直线y=x每一个点先向右平移1个单位，向下平移则y'的图象可以看做是由反比例函数y=4x图象上每一个点先向右平移1个单位，向下平移1个单位得到（或向右下则点A1,4平移之后的坐标为A点B4,1平移之后的坐标为B即反比例函数y=4x的图像关于直线y=x-1对称后的图象经过直线y线段AC的长度为1-22+4-3故答案为：2或42【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点坐标，一次函数的平移，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【变式41】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）正比例函数y1=2x的图象与反比例函数y2=(1)求k的值和两个函数图象的另一个交点坐标；(2)直接写出y1>y(3)根据图象，直接写出当-4<x<-1时，y【答案】(1)k=8，另一个交点坐标为(-2,-4)(2)x>2(3)-【分析】（1）求出横坐标为2的交点的纵坐标，再代入反比例函数yy2=k（2）画出图象观察即可得到答案．（3）根据函数图象可知，在每一象限内，y2随x的增大而减小，分别求出x=-4和x=-1时y2【详解】（1）在y1=2x中令x=2得y∴正比例函数y1=2x的图象与反比例函数y2=∴4=k2，解得∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称，∴它们的交点也关于原点对称，∴另一个交点为(-2,-4)；（2）由函数图象可知，y1>y故答案为：x>2（3）∵y2=8∴在每一象限内，y2随x当x=-4时，y=-2；当x=-1∴当-4<x<-1时，y故答案为：-8<【点睛】本题考查正比例函数与反比例函数图象交点及大小比较，解题的关键是要掌握二者的对称性和数形结合比较大小的方法．【变式42】（2023春·江苏·九年级期末）如图，反比例函数图象l1的表达式为y=k1x(x>0)，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为【答案】8【详解】利用函数的对称性质确定l2的解析式，再联立方程，通过方程跟与系数的关系求出k1解：∵图象l2与图象l1关于直线x=1对称，即f（x）与f（2﹣x）关于直线x=1对称，∴反比例函数l2为：y=k∵直线y=k2x与l2交于A，B两点，∴y=整理得：x2∴xA+x∵A为OB中点，∴2x∴xA∴xA=2∴k1k2故答案为：89【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系，求出函数l2的解析式是解题关键．【变式43】（2023春·江苏·九年级期末）如图，已知线段AB，A2,1，B4,3.5，现将线段AB沿y轴方向向下平移得到线段MN．直线y=mx+b过M、N两点，且(1)求反比例函数和一次函数的解析式．(2)①直接写出不等式mx+②若点P是y轴上一点，且△PMN的面积为8.5，请直接写出点P(3)若点Cx1,a，Dx2,【答案】(1)y=-10x，y(2)①x≥4或0<x≤2；②P(3)当a>2或a<0时，x1>x【分析】（1）设线段AB沿y轴方向向下平移t个单位得到线段MN，则点M、N的坐标分别为2,1-t、4,3.5-t，将点M、N的坐标代入y=kx，得：k=21-（2）①观察函数图象，结合点M、N的坐标，即可求解；②设直线MN与y轴的交点为C，先求出C0,-152，再根据S△PMN（3）将点C、D的坐标分别代入反比例函数表达式得：ax1=-10，a-2【详解】（1）解：设线段AB沿y轴方向向下平移t个单位得到线段MN，∴点M、N的坐标分别为2,1-t、4,3.5-将点M、N的坐标代入y=kx解得：t=6∴点M、N的坐标分别为2,-5、4,-2,5，∴k∴反比例函数表达式为：y=-10将点M、N的坐标代入一次函数表达式，得-5=2解得：m=∴一次函数表达式为：y=5（2）解：①观察函数图象可知，一次函数图象在反比例函数图象上方或相交的部分即为不等式解集，∴不等式m+b-kx②设直线MN与y轴的交点为C，令x=0，则y∴如图，当点P在点C上方时，S△∵△PMN的面积为8.5∴解得PC=∴P如图，当点P'在点C下方时，同理可得，P∴P综上可知，点P的坐标为0,1或0,-16；

（3）解：将点Cx1,a，得：ax1=-10则x1当20aa-2>0时，即a当20aa-2<0【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的性质等知识点，体现了方程思想，综合性较强，利用数形结合思想解决问题是解题关键．【题型5反比例函数与一次函数的综合应用】【例5】（2023春·江西·九年级统考期中）如图，直线y=-x+k与反比例函数y=kxA．OA=OB B．当A，BC．当k=6时，OA=26 D．不存在这样的k【答案】D【分析】先联立联立y=-x+ky=kx得到x2-kx+k=0，设A点坐标为（x1，-x1+k），B点坐标为（x2，-x2+k），然后分别求出OA，OB，即可判断A；根据A、B重合，则方程x2-kx+【详解】解：联立y=-x+设A点坐标为（x1，-x1+k），B∴OA2=∵A、B是直线与反比例函数的两个交点，∴x12-∴x12-∴OA∴OA=OB，故∵A、B重合，则方程x2∴Δ=解得k=4或k=0（舍去），故当k=6时，O∴OA=26，故若△AOB是等边三角形，则OA=AB，∵x1+∴AB=2=2=2k∴2k解得k=6或k∴存在k=6，使得△AOB是等边三角形，故D故选D【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，两点距离公式，等边三角形的性质，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【变式51】（2023春·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，已知A(1,y1)，B(2,y2)是反比例函数y=2x【答案】(3,0)【分析】求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．【详解】解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=2x得：y1＝2，y2∴A（1，2），B（2，1），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入得：{2=解得：k＝﹣1，b＝3，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，即P（3，0）．故答案为（3，0）．【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，熟练掌握三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是确定P点的位置．【变式52】（2023春·江西上饶·九年级校联考期末）如图，直线y=-x＋3与坐标轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB=2AD，双曲线y=kxA．6 B．274 C．272 D【答案】B【分析】过点D作x轴的垂线，垂足为E，由条件易得△ADE是等腰直角三角形，由AB=2AD进而可求得点D【详解】解：过点D作x轴的垂线，垂足为E，如图，对于y=-x＋3，令x=0，则y∴OA∴∠OAB∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD∴∠DAE∴∠DAE∴EA∵AB=O∴AD由勾股定理得：EA=∴OE∴D∵D点在双曲线y∴k故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求反比例函数的比例系数，直线与坐标轴的交点，矩形的性质等知识，其中求出点D的坐标是关键．【变式53】（2023春·全国·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，OBOA=2，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=kx的图象过点C，当△ACDA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据OBOA=2，得到OB=2OA，设OA=a，则OB=2a，设直线AB的解析式是y=kx+b，利用待定系数法求出直线AB的解析式是y=﹣2x+2a，根据题意可得OD的解析式是y=x，由此求出D的坐标，再根据【详解】解：∵OBOA=2∴OB=2OA，设OA=a，则OB=2a，设直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得：ak+b解得：k=-2b则直线AB的解析式是y=﹣2x+2a，∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC=45°，CE=OE=12∴OD的解析式是y=x，根据题意得：y=x解得：x=2则D的坐标是（23a，∴CE=OE=12∴C的坐标是（12a，∴S△AOC∴S△∴a2∴k=故选C．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线的交点，反比例函数比例系数的几何意义，三角形面积公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【题型6反比例函数与几何图形的面积的综合】【例6】（2023春·浙江舟山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB=90°，AO=AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kxk>0, x>0的图象过点C且交线段AB于点

A．53 B．32 C．52【答案】B【分析】过点C作CE⊥x轴于E，设Am,0，Bm,m，且m>0，得到Cm【详解】解：过点C作CE⊥x轴于

∵∠OAB=90°，AO=AB，△OAB∴设Am,0，Bm∴AO=∵点C为斜边OB的中点，∴Cm∴OC=∵反比例函数y=kx∴m2∴k=∴y=∵∠OAB=90°，点D在线段∴点D的横坐标为m，∵反比例函数y=m2∴当x=m时，∴Dm∴AD=m4，AE∴S△OAD∴S△故选B．【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，各图形面积的计算公式，反比例函数图象上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，正确设出各点的坐标是解题的关键．【变式61】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过菱形对角线OB的中点D和顶点C，若菱形OABC

【答案】2【分析】设Dt,kt，利用线段中点坐标公式得到B2t,2kt，再利用BC∥【详解】解：设Dt∵D为OB∴B2∵四边形ABCO为菱形，∴BC∥∴C1∴BC∵菱形OABC的面积为62∴32t⋅由两点距离公式可得：12解得：t=∴C故答案为22【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征．也考查了菱形的性质．【变式62】（2023春·浙江金华·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为1，0，点D4，4在反比例函数y=k