专题30新定义与阅读理解创新型问题（共12道）（教师版）（02期）-2023年中考数学真题分类训练

专题30新定义与阅读理解创新型问题(12道)一、单选题1．(2023·湖南娄底·统考中考真题)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，(，n、m为正整数)；例如：，，则(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．【详解】解：∵，∴，A选项，，B选项，，C选项，，D选项，，故选C．【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键．2．(2023·湖南娄底·统考中考真题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．【详解】解：∵，，∴即，，，故选：A．【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．二、填空题3．(2023·湖南娄底·统考中考真题)若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈(每个同学对应圆周上一个点)，又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移米(请用关于a的代数式表示)，才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．

【答案】【分析】由第一次操作可得：，则，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可得，解得，再代入化简即可．【详解】解：由第一次操作可得：，∴，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则，∴，故答案为：【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键．4．(2023·四川德阳·统考中考真题)在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则．1674【答案】39【分析】设第一列中间的数为，则三个数之和为，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案．【详解】解：如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得：1674∴，故答案为：39【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键．5．(2023·湖南·统考中考真题)毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为万里．【答案】4【分析】先求出地球的半径，再根据火星的半径大约是地球半径的，即可求出答案．【详解】解：设地球的半径为万里，则，解得，∴火星的半径为万里，∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为万里．故答案为：．【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键．三、多选题6．(2023·山东潍坊·统考中考真题)发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是(

)

A． B．C．当与相切时， D．当时，【答案】AC【分析】如图，由题意可得：，，，，从而可判断A，B，如图，当与相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D；从而可得答案．【详解】解：如图，由题意可得：

，，，，∴，故A符合题意；，故B不符合题意；如图，当与相切时，∴，

∴，∴，故C符合题意；当时，如图，

∴，∴，，∴，故D不符合题意；故选AC【点睛】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．四、解答题7．(2023·江苏南通·统考中考真题)定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．(1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：；(3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围．【答案】(1)存在，(2)见解析(3)n的取值范围为且【分析】(1)根据“级变换点”定义求解即可；(2)求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明．(3)由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可．【详解】(1)解：函数的图象上存在点的“级变换点”根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为，把点代入中，得，解得．(2)证明：点为点的“级变换点”，点的坐标为．直线，的解析式分别为和．当时，．，．，．．(3)解：由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上．由，整理得．，函数的图象与直线必有公共点．由得该公共点为．①当时，由得．又得，且．②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．综上，n的取值范围为且．【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键．8．(2023·陕西·统考中考真题)(1)如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值；(2)如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内(含边界)修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．

【答案】(1)(2)【分析】(1)连接，，过点作，垂足为，则，由直角三角形的性质得出，则可得出答案；(2)分别在，上作，连接，、、、．证出四边形是平行四边形．由平行四边形的性质得出．当点在上时，取得最小值．作，使圆心在上，半径，作，垂足为，并与交于点．证明△△，由相似三角形的性质得出，求出的长可得出答案．【详解】解：(1)如图①，连接，，过点作，垂足为，

则．半径为4，，．，，，，线段的最小值为；(2)如图②，分别在，上作，

连接，、、、．，，，四边形是平行四边形．．，，当点在上时，取得最小值．作，使圆心在上，半径，作，垂足为，并与交于点．∴，△△，，在矩形区域内(含边界)，当与相切时，最短，即．此时，也最短．，也最短．，，此时环道的圆心到的距离的长为．【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．9．(2023·山东济南·统考中考真题)综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．

【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．

(1)根据小颖的分析思路，完成上面的填空．【类比探究】(2)若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．【问题延伸】当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．(3)请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．(4)若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．【答案】(1)；4；2(2)不能围出，理由见解析(3)图见解析，；(4)【分析】(1)联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；(2)根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；(3)过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；(4)根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．【详解】解：(1)∵反比例函数，直线：，∴联立得：，解得：，，∴反比例函与直线：的交点坐标为和，当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．故答案为：4；2．(2)不能围出．∵木栏总长为，∴，则，画出直线的图象，如图中所示：∵与函数图象没有交点，∴不能围出面积为的矩形；(3)如图中直线所示，即为图象，将点代入，得：，解得；

(4)根据题意可得∶若要围出满足条件的矩形地块，与图象在第一象限内交点的存在问题，即方程有实数根，整理得：，∴，解得：，把代入得：，∴反比例函数图象经过点，把代入得：，解得：，∴反比例函数图象经过点，令，，过点，分别作直线的平行线，由图可知，当与图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；

把代入得：，解得：，∴．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．10．(2023·浙江·统考中考真题)根据以下素材，探究完成任务．如何把实心球掷得更远？素材1小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．

素材2根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处(如图)架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．

问题解决任务1计算投掷距离建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．任务2探求高度变化求素材2和素材1中球的最大高度的变化量任务3提出训练建议为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到；任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可；任务三：根据题意给出合理的建议即可．【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，

由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，∴，解得，∴，当时，，得(舍去)，∴素材1中的投掷距离为4m；(2)建立直角坐标系，如图，

设素材2中抛物线的解析式为，由题意得，过点，∴，解得，∴∴顶点纵坐标为，(m)，∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键．11．(2023·江苏宿迁·统考中考真题)规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．(1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________(填写序号)；(2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________；(3)若函数(m为常数)与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．【答案】(1)②(2)；、(3)【分析】(1)在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案；(2)①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案；(3)根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案．【详解】(1)解：作出；；；图像，如图所示：

与图像有三个不同的公共点，根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②，故答案为：②；(2)解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标，，则，解得；②联立，即，是其中一个解，因式分解得，则，解得，另外两个“兄弟点”的横坐标是、；(3)解：在平面直角坐标系中作出(m为常数)与图像，如图所示：

联立，即，①当时，，即，当时，；②当时，，即，由①中，则，；由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，，，，，由得到，即．【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键．12．(2023·湖南·统考中考真题)我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：(1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；(2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．①求函