专题03勾股定理

专题03勾股定理【考点1勾股定理】【考点2勾股定理的证明】【考点3直角三角形的性质】【考点4勾股定理的逆定理】【考点5勾股数】【考点6勾股定理的应用】知识点1：勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段知识点2：勾股定理证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.知识点3:勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.知识点4：勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数知识点5：勾股定理应用考点剖析【考点1勾股定理】1．（2022秋•薛城区校级期末）一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（）A．13 B．12 C．15 D．10【答案】A【解答】解；由一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，利用勾股定理得斜边长为＝13．故选：A．2．（2022秋•碑林区校级期末）如图：三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是（）A．225 B．144 C．81 D．无法确定【答案】C【解答】解：直角三角形的直角边的平方＝225﹣144＝81，∴图形A的面积是81．故选：C．3．（2023•宜州区二模）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，即S3＝2+5+1+2＝10．故选：B．4．（2022秋•东港市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，则BC的长为（）A．3 B．3或 C．3或 D．【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，由勾股定理得：，∴BC的长为3．故选：A．【考点2勾股定理的证明】5．（2023秋•临淄区期中）若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：选项A不能用来证明勾股定理，故符合题意；选项B，正方形的面积＝4×ab+（b﹣a）2＝+2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2＝c2，不符合题意；选项C，正方形的面积＝（a+b）2＝4×ab+c2，化简得，a2+b2＝c2，不符合题意；选项D，梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2×ab+c2，化简得，a2+b2＝c2，不符合题意；故选：A．6．（2022秋•长春期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．7．（2022秋•钢城区期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（）A．121 B．144 C．169 D．196【答案】C【解答】解：设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则a＝12，又∵小正方形的面积为（a﹣b）2，则（a﹣b）2＝49，解得b＝5，∴大正方形的面积为a2+b2＝122+52＝169，故选：C．8．（2023秋•沭阳县期中）如图，火柴盒的侧面为长方形ABCD，其中CD＝a，AD＝b，AC＝c．把直立的火柴盒放倒，侧面ABCD旋转至长方形AB′C′D′处（如图）．（1）S△ADC＝，S△AB′C′＝，S△ACC′＝；（用a、b、c有关代数式表示）S四边形CDB′C′＝；（用a、b有关代数式表示）（2）由（1）的结论证明勾股定理：a2+b2＝c2；（3）若a+b＝7，c＝5，求S△ADC的值．【答案】（1），，，；（2）证明见详解；（3）6．【解答】解：（1）∵∠CAD＝∠C′AD′，∠CAC′＝∠CAB+∠BAC′，∠BAC+CAD＝90°，∴∠ACC′＝90°，∴△ACC′为直角三角形，，；S四边形CDB′C′＝；故答案为：，，，；（2）由图形可知S四边形CDB′C′＝S△ACC′+S△ADC+S△AB′C′，则，∴．因此，a2+b2＝c2．（3）∵a2+b2＝c2，∴（a+b）2＝c2+2ab，∵a+b＝7，c＝5，∴ab＝12，∵，∴．9．（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．【答案】（1）证明过程见解答；（2）①证明过程见解答；②证明过程见解答．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化简，得：a2+b2＝c2．10．（2023春•潮阳区期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），边长为c．（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为24，OB＝3．求该图形的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2）24．【解答】（1）证明：由题意得，S大正方形＝，∴2ab+a2﹣2ab+b2＝c2，∴a2+b2＝c2；（2）解：∵4c+4（b﹣a）＝24，∴c+b﹣a＝6，∵OB＝a＝3，∴c+b＝9，∵a2+b2＝c2；∴c2﹣b2＝（c+b）（c﹣b）＝9，∴c﹣b＝1，∴c＝5，b＝4，∴该图形的面积为：4×ab＝2ab＝6b＝24．【考点3直角三角形的性质】11．（2023秋•西丰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，则∠B的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°【答案】B【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A＝55°，∴∠B＝35°，故选：B．12．（2023秋•灵宝市期中）在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C【答案】C【解答】解：A、∵∠A＝90°﹣∠C，∴∠A+∠C＝90°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；B、∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；C、∵∠A＝2∠B＝3∠C，设∠A＝x，∴∠B＝x，∠C＝x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+x+x＝180°，解得x＝（）°＞90°，∴△ABC不是直角三角形，故选项符合题意；D、∵∠A＝∠B＝∠C，设∠A＝∠B＝x，∴∠C＝2x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+x+2x＝180°，解得x＝45°，∴∠C＝2x＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意．故选：C．13．（2023秋•青秀区校级期中）如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°，若∠A＝35°，则∠BCD的度数是（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝35°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣35°＝55°，∵CD⊥AB，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°，故选：A．14．（2023•梁园区一模）如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（）A．62° B．52° C．38° D．28°【答案】C【解答】解：∵a∥b，∴∠1+∠BAC＝∠2，∵∠BAC＝∠2﹣∠1＝80°﹣28°＝52°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝90°﹣52°＝38°．故答案为：C．15．（2023春•儋州期末）取一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕EF，若∠BEF＝54°，则∠BFC等于（）A．100° B．108° C．118° D．120°【答案】B【解答】解：∵∠BEF＝54°，纸片是长方形，∴∠BFE＝90°﹣54°＝36°，由翻折的性质得，∠BFE＝∠B′FE＝36°，∴∠BFC＝180°﹣2×36°＝108°．故选：B．【考点4勾股定理的逆定理】16．（2023秋•吉安期中）下列各组数分別为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．7，24，25 D．8，15，18【答案】C【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，不符合题意；B、42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；C、72+242＝252，能构成直角三角形，符合题意；D、82+152≠182，不能构成直角三角形，不符合题意．故选：C．17．（2023秋•高碑店市期中）一个零件的形状如图所示，∠D＝90°，AB＝12，AD＝4，BC＝13，CD＝3，这个零件的面积是（）A．36 B．72 C．87 D．88【答案】A【解答】解：连接AC，如图，∵∠D＝90°，AD＝4，CD＝3，∴AC＝＝＝5，∵AB＝12，BC＝13，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴这个零件的面积是：＝＝36，故选：A．18.（2022秋•榕城区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）∠D是直角．理由见解析；（2）234．【解答】（1）解：∠D是直角．理由：连接AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；（2）解：∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AD•CD，＝，＝234．18．（2023秋•青羊区校级期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，试求阴影部分的面积．【答案】24．【解答】解：如图，连接AB，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴，∵BD＝12，AD＝13，∴AB2+BD2＝169＝AD2，∴∠ABD＝90°，∴△ABD是直角三角形，∴阴影部分的面积为．20．（2023秋•工业园区校级期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．（1）直接写出AB＝，BC＝2，AC＝；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）直接写出AC边上的高＝．【答案】（1），2，；（2）△ABC为直角三角形，理由见解答；（3）．【解答】解：（1）由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝．故答案为：，2，；（2）△ABC为直角三角形，理由：∵AB2＝13，BC2＝52，AC2＝65，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC为直角三角形；（3）△ABC的面积＝AB•BC＝××2＝13，则AC边上的高＝13×2÷＝．故答案为：．【考点5勾股数】21．（2023秋•武侯区校级期中）下列各组数据中，是勾股数的是（）A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．3，4，5 D．32，42，52【答案】C【解答】解：A、不是正整数，故不是勾股数，此选项不符合题意；B、不是正整数，故不是勾股数，此选项不符合题意；C、32+42＝52，三边是正整数，同时能构成直角三角形，故正确，此选项符合题意；D、（32）2+（42）2≠（52）2，故不是勾股数，此选项不符合题意；故选：C．22．（2023•茅箭区校级模拟）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：11，60，61．【答案】11，60，61．【解答】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13，又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为x，第三个数为x+1，根据勾股定理的逆定理，得：112+x2＝（x+1）2，解得x＝60．则得第5组数是：11，60，61．故答案为：11，60，61．【考点6勾股定理的应用】23．（2023秋•文登区期中）如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的木棒最长为（）A．19m B．24m C．13m D．15m【答案】C【解答】解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52，∴CB＝5m，∵AC＝12m，∴AB＝＝13（m），∴空木箱能放的最大长度为13m，故选：C．24．（2023秋•汝州市期中）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2【答案】D【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，故选：D．25．（2023春•南充期末）如图，你风过境后，一根垂直于地面的大树在离地到6m处撕裂所，大树顶部落在离大树底部8m处，则大树折断之前的高度是（）A．10m B．14m C．16m D．18cm【答案】C【解答】解：如图，AB＝6m，AC＝8m，∠BAC＝90°，根据勾股定理，BC＝（m），所以大树折断之前的高度为：BC+AB＝10+6＝16（m）．故选：C．26.（2022秋•井研县期末）为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地AB＝2.1米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（）A．1.2米 B．1.3米 C．1.4米 D．1.5米【答案】B【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.1米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，∴AE＝AB﹣BE＝2.1﹣1.6＝0.5（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.3（米），故选：B．27．（2023秋•锦江区校级期中）如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（）A．m B．4m C．m D．6m【答案】A【解答】解：如图，由题意可知，大树高AC＝6m，小树高为BD＝2m，过B点作BE⊥AC于点E，连接AB，则四边形EBDC是矩形，∴EC＝BD＝2m，EB＝CD＝5m，∴AE＝AC﹣EC＝6﹣2＝4（m），在Rt△AEB中，AB＝＝＝（m），即小鸟至少飞行m，故选：A．28．（2023秋•微山县期中）某同学与爸妈在公园里荡秋千．如图，她坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.8m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.2m和1.4m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住这个同学时，她距离地面的高度是（）A．1m B．1.6m C．1.2m D．1.4m【答案】A【解答】解：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．∴∠COE＝∠OBD，在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE＝OD，OE＝BD，∵BD、CE分别为1.2m和1.4m，∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.4﹣1.2＝0.2（m），∵AD＝0.8m，∴AE＝AD+DE＝1（m），答：爸爸是在距离地面1m的地方接住小丽的．故选：A．29．（2022秋•宽城区校级期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9BC2＝9∴CH2+BH2＝BC2∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路（2）设AC＝x在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2解这个方程，得x＝2.5，答：原来的路线AC的长为2.5千米．30．（2022秋•威海期末）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为8米；（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的松松身高1.6米．（1）求风筝的高度CE．（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，所以，CD＝15（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6（米），答：风筝的高度CE为16.6米；（2）由题意得，CM＝9，∴DM＝6，∴BM＝＝＝10（米），∴BC﹣BM＝7（米），∴他应该往回收线7米．31．（2023秋•滕州市期中）如图，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO＝20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，AO⊥BO，设OB的长度为x米．（1）求OB的长度；（2）若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，试判断云梯的底部B是否也外移了5米？请说明理由．【答案】（1）15米；（2）云梯的底部B也外移了5米，理由见解析．【解答】解：（1）由题意知，AB＝（x+10）米，在Rt△AOB中，由勾股定理得，OB2+OA2＝AB2，即x2+202＝（x+10）2，解得x＝15，∴OB的长度为15米；（2）云梯的底部B也外移了5米，理由如下：由题意知，OC＝AO﹣AC＝20﹣5＝15（米），CD＝AB＝25米，在Rt△OCD中，由勾股定理得，OC2+OD2＝CD2，即152+OD2＝252，解得OD＝20米（负值舍去），∴BD＝20﹣15＝5（米），∴云梯的底部B也外移了5米．32．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？【答案】（1）（25﹣）米；（2）该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．【解答】解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，∴（米），∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），∴（米），∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米，答：此人需向右移动的距离为（）米．（2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），且此人以0.5米每秒的速度收绳，∴收绳时间，答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．33．（2023秋•高碑店市期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．（2）若台风中心的移动速度为25km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？【答案】（1）会受到台风的影响，理由见解析；（2）台风影响该农场持续时间为5.6h．【解答】解：（1）会受到台风的影响．理由：如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D．图1因为在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB＝400km，AC＝300km，所以BC＝＝＝500（km），因为AD⊥BC，所以，所以AD＝＝＝240（km）．因为AD＜250km，所以农场A会受到台风的影响．（2）如图2，假设台风在线段EF上移动时，会对农场A造成影响，图2所以AE＝AF＝250km，AD＝240km，由勾股定理，可得，因为台风的速度是25km/h，所以受台风影响的时间为140÷25＝5.6（h）．答：台风影响该农场持续时间为5.6h．过关检测一．选择题（共10小题）1．（2022秋•长安区校级期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长．其中能构成直角三角形的是（）A．，2， B．2，3，4 C．6，7，8 D．1，，【答案】D【解答】解：A、（）2+（2）2≠（）2，故不是直角三角形，不合题意；B、∵22+32≠42，故不是直角三角形，不合题意；C、62+72≠82，故不是直角三角形，不合题意；D、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，符合题意；故选：D．2．（2023春•铜仁市期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为2m（m≥3，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（）A．14 B．16 C．35 D．37【答案】C【解答】解：依题意，设斜边为x，则股为x﹣2，∴122+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝37，∴股为x﹣2＝37﹣2＝35，故选：C．3．（2022秋•罗湖区校级期末）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝6，b＝8，c＝10【答案】C【解答】解：A、∵b2＝（a+c）（a﹣c），∴b2＝a2﹣c2，∴c2+b2＝a2，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，∴∠C＝5×15°＝75°，∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D、∵62+82＝102，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．4．（2022秋•城关区校级期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．64【答案】D【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．5．（2022秋•新泰市期末）下列各组数中，是勾股数的（）A．4，5，6 B．1，2，3 C．1.5，2，2.5 D．9，40，41【答案】D【解答】解：A．42+52＝41≠62＝36，故不是勾股数；B．12+22＝5≠32＝9，故不是勾股数；C．存在小数，故不是勾股数；D．92+402＝1681＝412，故是勾股数；故选：D．6．（2023春•雁塔区校级期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：如图所示：S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC，∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4即×4×4＝×5×BD，解得：BD＝．故选：C．7．（2023秋•京口区期中）我们在学习勾股定理的第二课时时，如图图形可以用来验证勾股定理的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：图1和图3：∵S梯形＝×（a+b）（a+b），S梯形＝ab+ab+c2，∴×（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，∴a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，∴a2+b2＝c2，故图1和图3都可以验证勾股定理；图2：图形的总面积可以表示为：c2+2×12ab＝c2+ab，也可以表示为：a2+b2+2×12ab＝a2+b2+ab，∴c2+ab＝a2+b2+ab，∴a2+b2＝c2．故图2可以验证勾股定理；图4不可以验证勾股定理．综上，图1、图2和图3可以验证勾股定理，共3个．故选：C．8．（2023秋•平遥县期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（）A．144 B．49 C．64 D．25【答案】B【解答】解：由题意可得：小正方形的边长＝﹣5＝7，∴小正方形的面积为7×7＝49，故选：B．9．（2023秋•太和区期中）如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，故选：C．10．（2023秋•揭东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则S△ACP：：S△BCP等于（）A．4：3 B．16：9 C．5：3 D．5：4【答案】A【解答】解：如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N，由题可得，∠BCG＝45°，CP⊥CG，∴∠BCP＝45°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACP＝45°，即CP平分∠ACB，又∵PM⊥BC，PN⊥AC，∴PM＝PN，∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1＝16，S2＝25，∴正方形BCFG的面积＝25﹣16＝9，∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为16：9，∴AC：BC＝4：3，∴，即S△ACP：S△BCP等于4：3．故选：A．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•亭湖区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到AB的距离是．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，∵BC＝4，AC＝3，∴AB＝＝5，设AB边上的高为h，则S△ABC＝AC•BC＝AB•h，∴h＝，故答案为：12．（2023春•康县期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞10米．【答案】10．【解答】解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝15米，CD＝9米，BD为两树距离8米，过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝8米，AE＝AB﹣CD＝6米，在直角三角形AEC中，AC＝＝＝10（米），答：小鸟至少要飞10米．故答案为：10．13．（2023秋•鹤山市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝8，则AD＝6．【答案】见试题解答内容【解答】解：Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，∴BC＝AB＝4，在Rt△BCD中，∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，∴BD＝BC＝2．∴AD＝AB﹣BD＝6，故答案为：6．14．（2023春•定州市期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．则滑道AC的长度为8.5m．【答案】8.5．【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，由题意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣1）2+42＝x2，解得x＝8.5，∴AC＝8.5m．故答案为：8.5．15．（2023秋•阜宁县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，∴BC＝4cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，∴t＝4÷2＝2s．②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴52+[32+（2t﹣4）2]