专题928正方形（分层练习）（提升练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.28正方形（分层练习）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023下·重庆荣昌·八年级统考期末）下列命题：①对角线相等的菱形是正方形；②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形；其中是真命题的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个2．（2022下·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，在正方形中，点F为上的一点，与交于点E．若，则等于（

）A． B． C． D．3．（2023上·广东茂名·九年级统考期中）如图，是正方形的对角线，E是上的点，，将沿折叠，使点B落在点F处，则（

）A． B． C． D．4．（2021下·浙江衢州·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（）A．2 B． C． D．5．（2024上·广东清远·九年级统考期末）如图，正方形的边长为8，E为边上一点，连接，，取中点F，连接，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（2023下·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考阶段练习）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．则的值为（

）

A．4 B． C． D．不确定7．（2023下·湖南湘西·八年级校联考期中）如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（

）

A．6 B． C．12 D．8．（2021下·河北廊坊·八年级期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一点且CE=3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿ABBCCDDA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（

）A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.59．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，，AF与相交于点O，连接，若，则与之间的数量关系正确的是（

）A． B． C． D．10．（2021·浙江温州·统考中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（

）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023下·江苏南京·八年级南京钟英中学校考阶段练习）如图，同一平面内的四条平行直线、、、分别过正方形的四个顶点、、、，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，则该正方形的面积是．12．（2021上·福建漳州·九年级统考期末）若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为．13．（2022下·山东济宁·八年级校考期末）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件，则四边形AEDF是矩形；若添加条件，则四边形AEDF是菱形；若添加条件，则四边形AEDF是正方形．14．（2022下·山西朔州·八年级统考期中）如图，直线经过正方形的顶点，分别过点、作于点，于点，若，，则的长为．15．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．16．（2013·河南·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为17．（2022上·广东佛山·九年级统考期末）如图，正方形ABCD内有一等边三角形BCE，直线DE交AB于点H，过点E作直线GF⊥DH交BC于点G，交AD于点F．以下结论：①∠CEG＝15°；②AF＝DF；③BH＝3AH；④BE＝HE+GE；正确的有．（填序号）18．（2021下·天津·八年级耀华中学校考期中）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．（1）求证：；（2）若，，求的长．20．（8分）（2022·新疆·统考中考真题）如图，在巾，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．（1）当时，___________；（2）探究与之间的数量关系，并给出证明；（3）设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．21．（10分）（2022上·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考期中）如图，在四边形中，，，，点，分别是，的中点．（1）求证：（2）求证：四边形是菱形（3）给三角形添加一个条件_________，使得四边形是正方形，并证明你的结论．22．（10分）（2022·黑龙江绥化·校考一模）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点．DF，EG的延长线相交于点H，连接AH，CH，BF，BG．（1）求证：四边形FBGH是菱形；（2）判断四边形ABCH的形状，并证明你的结论；（3）若DF＝，求AB的长．23．（10分）（2022下·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F，（1）判断BD与CG的数量关系，并证明；（2）求证：；（3）若，求AE的值．24．（12分）（2023·四川成都·统考一模）如图，在四边形中，且，对角线和相交于点O，且，过点B作，交于点E，连结．（1）求证：；（2）试探究四边形的形状，并说明理由；（3）若，，，求四边形的面积．参考答案：1．A【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．解：对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意．真命题有个，故选A．【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度中等．2．A【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理；先证明，求出，再在中利用三角形内角和定理可求度数．解：∵四边形是正方形，∴，，，又∵，∴．∴，∴，故选：A．3．B【分析】本题考查了正方形的折叠问题及勾股定理，熟练掌握正方形的性质，在中，利用勾股定理求得x的值是解题的关键．解：设，四边形是正方形，且是对角线，，，，是由沿折叠得到，且，，，，，在中，，，解得：或（舍去），，故选B．4．D【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解．解：分别取的中点为，连接，分别是的中点，，又，，四边形是正方形，，故选：D．【点拨】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形．5．C【分析】本题主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，根据题意求出，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，故可得答案．解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴∴；在中，，∵点F是的中点，∴是斜边上的中线，∴，故选：C．6．A【分析】如图，作，于点M，N，则．点E是正方形对角线上的点，证明，得出，进而证明，得出，根据即可求解；解：如图，作，于点M，N，则．

点E是正方形对角线上的点，∴．∵，∴，∴，即．在和中，∴，∴．∵四边形是矩形，∴矩形是正方形，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，∴．故选：A．【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键．7．B【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，即可得到的最小值为，再解直角三角形即可解答．解：作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如图：

由对称性可得，，当，，三点共线，且时，即点在点处，点在点处时，的值最小．，，，，，，，．故选：B．【点拨】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线．8．D【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BM=2t4=3和AM=162t=3即可求得．解：如图，当点M在BC上时，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM=CE，由题意得：BM′=2t4=3，所以t=3.5（秒）；当点M在AD上时，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″=CE，由题意得：AM″=162t=3，解得t=6.5（秒）．所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．故选：D．【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是掌握正方形的性质．9．A【分析】过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案．解：过点O作OM⊥BC于点M，，四边形ABCD是矩形，，∴∠AEF=180°∠BAD=90°，，∴四边形ABFE是矩形，又∵AB=AE，四边形ABFE是正方形，，EF=BF，，，，EF=2CF，由勾股定理得，，故选：A．【点拨】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．10．C【分析】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案．解：如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，∵，∴BE=PE=PC=PF=DF，∵∠CFD=∠BPC，∴DF//EH，∴PH为△CFQ的中位线，∴PH=QF，CH=HQ，∵四边形EPFN是正方形，∴∠EFN=45°，∵GD⊥DF，∴△FDG是等腰直角三角形，∴DG=FD=PC，∵∠GDQ=∠CPH=90°，∴DG//CF，∴∠DGQ=∠PCH，在△DGQ和△PCH中，，∴△DGQ≌△PCH，∴PH=DQ，CH=GQ，∴PH=DF=BE，CG=3CH，∴BH=BE+PE+PH=，在Rt△PCH中，CH==，∴CG=BE，∴．故选：C．【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．11．5【分析】过作，交于点，交于点，根据平行线的性质，得出，再根据正方形的性质，结合角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的面积公式，结合二次根式的性质计算即可．解：过作，交于点，交于点，，，，，，四边形是正方形，，，，又，，在和中，，，，，在中，，．【点拨】本题考查了平行线之间距离、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．12．8【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．解：∵正方形的一条对角线的长为4，∴这个正方形的面积=×4²=8．故答案为：8．【点拨】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键．13．∠BAC＝90°AD平分∠BAC∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一）【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件．解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，∴四边形AEDF为平行四边形，∴当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是矩形；当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形；∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四边形AEDF是正方形．,∠BAC＝90°，故答案为∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC．【点拨】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．也考查了菱形和矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．14．9【分析】利用同角的余角相等，证得，根据垂直定义，得，结合已知，证得，进而证得，，据此可求出，问题得解．解：∵四边形是正方形，∴，，∴∵∴∴∵，∴在和中∵∴∴，∴故答案为：9【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，正确寻找全等三角形，学会利用同角的余角相等是解本题的关键．15．135【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解．解：∵四边形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠BAC＝45°∴∠2+∠BCP＝45°∵∠1＝∠2∴∠1+∠BCP＝45°∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP∴∠BPC＝135°故答案为：135．【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．16．3或【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=53=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4x）2，解得，∴BE=；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为或3．故答案为：或3．【点拨】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质．17．①【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，可得，可求，故①正确；由““可证，可得，可证，由线段垂直平分线的性质可得，故②错误；设，由等边三角形的性质和三角形中位线定理分别求出，的长，可判断③，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，可证，由三角形三边关系可判断④，即可求解．解：四边形是正方形，，，是等边三角形，，，，，，，故①正确；如图，连接，过点作直线于，交于，连接，，，又，，，，，，，，又，，，，故②错误；设，，，四边形是矩形，，，，是等边三角形，，，，，，又，，，，故③错误；如图，连接，，，，，点，点，点，点四点共圆，，，，，，，故④错误；故答案为：①．【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．18．【分析】首先通过SAS判定，得出，因为,,得出是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且为最小值，我们可以得出EC=，作辅助线，过点E作交CB的延长线于F，由题意求出，设正方形的边长为x，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为．解：∵为正三角形，∴，∴∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∴．在和中，∴（SAS）∴在中，又∵，∴为等边三角形，∴．∵AM+BM+CM最小值为．∴EN+MN+CM的最小值为即CE=．过点E作交CB的延长线于F，可得．设正方形的边长为x，则BF=，．在，∵，∴解得（负值舍去）．∴正方形的边长为．故答案为：．【点拨】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键．19．（1）见详解；（2）【分析】（1）先证明四边形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用MN⊥BE证得∠MBO=∠OMF，结合∠A=90°=∠NFM即可证明；（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根据垂直平分线的性质可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=ABBM=8ME，在Rt△AME中，，可得，解得：，即有，再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO，则NO可求．解：（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，，∵，∠A=∠D=90°，，∴四边形ADFM是矩形，∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，∵MN是BE的垂直平分线，∴MN⊥BE，∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，∴∠MBO=∠OMF，∵，∴△ABE≌△FMN；（2）连接ME，如图，∵AB=8，AE=6，∴在Rt△ABE中，，∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，∵MN是BE的垂直平分线，∴BO=OE==5，BM=ME，∴AM=ABBM=8ME，∴在Rt△AME中，，∴，解得：，∴，∴在Rt△BMO中，，∴，∴ON=MNMO=．即NO的长为：．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键．20．（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先由折叠的性质可得，再由等腰三角形的性质可求解；（2）首先由折叠的性质可得，，再由等腰三角形的性质可得，，最后根据角度关系即可求解；（3）首先由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，最后根据面积和差关系可求解．解：（1），，，，将沿折叠得到，，，∴△ABE是等边三角形，，故答案为：60；（2），理由如下：将沿折叠得到，，，，，，，，；（3）如图，连接，，点是的中点，，，，，，，，，，．

【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质并能够灵活运用．21．（1）见分析；（2）见分析；（3），理由见分析【分析】（1）根据全等三角形的判定解答即可；（2）证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，推出邻边相等即可证明；（3）当，有是的中点，由等腰三角形的性质，，即，根据正方形的判定解答即可．解：（1）证明：，，，，，；（2）证明：由（1），，，四边形是平行四边形，，点，分别是，的中点，，，，四边形是平行四边形．，点是的中点，，平行四边形是菱形；（3）解：当时，四边形是正方形，理由：由（2）知四边形是菱形，，点是的中点，，即，菱形是正方形．故答案为：.【点拨】本题考查正方形的判定、菱形的判定及性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答．22．（1）见分析；（2）四边形ABCH是正方形，理由见分析；（3）AB=6．【分析】（1）由DF是△ABG的中位线，则DF∥BG，同理EG∥BF，得四边形FBGH为平行四边形，再利用SAS证明△ABF≌△CBG，得BF=BG，从而证明结论；（2）连接BH交AC于点O，由（1）知，四边形ABCH是菱形，再根据AB=CB，可知四边形ABCH是正方形；（3）由菱形的性质可知FH=BG=2，则DH=DF+FH=+2=3，设AD=x，则AB=2x，利用勾股定理即可解决问题．解：（1）证明：∵点F、G是边AC的三等分点，∴AF=FG=GC，又∵D为AB中点，∴DF是△ABG的中位线，∴DF∥BG，同理EG∥BF，∴四边形FBGH为平行四边形，∵∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BAF=∠BCG=45°，在△ABF和△CBG中，∴△ABF≌△CBG（SAS），∴BF=BG，∴四边形FBGH是菱形；（2）解：四边形ABCH是正方形，理由如下：如图，连接BH交AC于点O，∵四边形FBGH是菱形，∴OF=OG，OB=OH，