专题936三角形的中位线（直通中考）（提升练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.36三角形的中位线（直通中考）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（

）

A．2 B． C．4 D．2．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或23．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（）

A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（）

A． B． C．2 D．5．（2019·湖南娄底·中考真题）顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（）A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形6．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（

）A． B． C． D．7．（2022·青海·统考中考真题）如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（

）A．5 B．4 C．6 D．88．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（

）A．3 B． C． D．9．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（

）A． B．3 C． D．410．（2021·浙江温州·统考中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（

）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为．

12．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为．

13．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为．14．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为．15．（2022·江苏扬州·统考中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则．16．（2021·江苏泰州·统考中考真题）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是．17．（2021·四川南充·统考中考真题）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，，则GH的长为．18．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在矩形中，连接，过点C作平分线的垂线，垂足为点E，且交于点F；过点C作平分线的垂线，垂足为点H，且交于点G，连接，若，，则线段的长度为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长．20．（8分）（2023·北京·统考中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

（1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；（2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．21．（10分）（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．（1）求证：四边形为平行四边形（2），求线段的长度．22．（10分）（2023·浙江·统考中考真题）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．

（1）用三角板分别取的中点，连接，画于点；（2）用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；（3）请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．23．（10分）（2023·黑龙江·统考中考真题）如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．24．（12分）（2023·山东东营·统考中考真题）（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．（2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．（3）用数学的语言表达．如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．参考答案：1．A【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．解：由作图可知垂直平分线段，垂直平分线段，∴，∴，∵，∴，∴．故选：A．【点拨】本题考查作图基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．D【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解．解：∵，∴，∵点D为的中点，∴，∵，∴，①当点E为的中点时，如图，

∴，②当点E为的四等分点时，如图所示：

∴，综上所述：或2；故选D．【点拨】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．3．A【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可.解：∵四边形是平行四边形，，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵是中点，∴；故选：A.【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键.4．B【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可．解：连接，，

∵点E，F分别是，的中点，∴四边形是矩形，∴M是的中点，在正方形中，，，∴，在中，由勾股定理得，，在中，M是的中点，N是的中点，∴是的中位线，∴．故选：B．【点拨】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．5．B【分析】根据中位线定理及菱形的对角线互相垂直可得结论．解：顺次连接菱形各边中点所得四边形必定是：矩形，理由如下：（如图）根据中位线定理可得：且，且，，∴，，∴四边形是平行四边形．又∵四边形是菱形，∴，则，∴四边形是矩形．故选：B．【点拨】本题考查了中点四边形，菱形的性质，此题实际上是矩形的判定和三角形的中位线定理的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，题目比较好，难度适中．6．C【分析】延长至，使得，连接，构造等边三角形，根据题意可得是的中位线，即可求解．解：如图，延长至，使得，连接，，,又，是等边三角形，，是边的中点，是边上一点，平分的周长，，，，，，即，是的中位线，．故选C．【点拨】本题考查了三角形中位线的性质与判定，等边三角形的性质，三角形中线的定义，构造等边三角形是解题的关键．7．A【分析】利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．解：在中，，，，．又为中线，．为中点，即点是的中点，是的中位线，则．故选：A．【点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的中线性质求出线段的长度是解题的关键．8．D【分析】取AC的中点M，连接EM设由中位线性质可得再根据，可得出从而得到FC的长，即可得到的结果．解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM，设∵点是中点，∴EM是的中位线，四边形是菱形，，∠AMD=90°，，∴DM=，∴AM=故选：D．【点拨】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键．9．D【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，∴BD＝AC＝AD＝4，故选：D．【点拨】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长．10．C【分析】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案．解：如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，∵，∴BE=PE=PC=PF=DF，∵∠CFD=∠BPC，∴DF//EH，∴PH为△CFQ的中位线，∴PH=QF，CH=HQ，∵四边形EPFN是正方形，∴∠EFN=45°，∵GD⊥DF，∴△FDG是等腰直角三角形，∴DG=FD=PC，∵∠GDQ=∠CPH=90°，∴DG//CF，∴∠DGQ=∠PCH，在△DGQ和△PCH中，，∴△DGQ≌△PCH，∴PH=DQ，CH=GQ，∴PH=DF=BE，CG=3CH，∴BH=BE+PE+PH=，在Rt△PCH中，CH==，∴CG=BE，∴．故选：C．【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．11．【分析】首先证明出是的中位线，得到，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点E和点C重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可．解：如图所示，连接，

∵M，N分别是的中点，∴是的中位线，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴当最大时，最大，此时最大，∵点E是上的动点，∴当点E和点C重合时，最大，即的长度，∴此时，∴，∴的最大值为．故答案为：．【点拨】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12．【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．解：的周长为32，．为DE的中点，．，，，，．四边形是正方形，，O为BD的中点，是的中位线，．故答案为：．【点拨】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．13．【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位线定理得FH＝AO＝，FHAO，然后求出OE、OH，由勾股定理可求解．解：如图，取OD的中点H，连接FH，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝AB＝1，BO＝＝DO，∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，∴FH＝AO＝，FHAO，∴FH⊥BD，∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，∴OE＝，OH＝，∴EH＝，∴EF＝，故答案为：．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．14．【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长．解：已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，∵OE=3，OA=4，∴根据勾股定理得，∵AE=BE，∴，在Rt△AOB中，即菱形的边长为，∵点F为的中点，点O为DB中点，∴．故答案为【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．15．6【分析】根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得MN是的中位线，最后由三角形的中位线求解．解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点，∴，．∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点，∴，，∴，∴．∵，∴MN是的中位线，∴，．∵，，∴．故答案为：6．【点拨】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．16．0＜S≤2【分析】过点M作ME⊥PN于E，根据三角形的中位线定理得出PM=PN=AB=CD=2，再根据三角形的面积公式得出S==ME，结合已知和垂线段最短得出S的范围；解：过点M作ME⊥PN于E，∵P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，AB＝CD＝4，∴PM=PN=AB=CD=2，∴△PMN的面积S==ME，∵AB与CD不平行，∴四边形ABCD不是平行四边形，∴M、N不重合，∴ME＞0，∵ME≤MP=2，∴0＜S≤2【点拨】本题考查了三角形的中位线定理以及三角形的面积，掌握三角形的中位线平行第三边，等于第三边的一半是解题的关键17．3【分析】根据直角三角形的性质和三角形中位线的性质，即可求解．解：∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，又∵点F是BE的中点，，∴BE=2AF=6，∵G，H分别是BC，CE的中点，∴GH是的中位线，∴GH=BE=×6=3，故答案是：3．【点拨】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，是解题的关键．18．【分析】先证明，可得CE=FE，BF=，同理：CH=GH，DG=，从而得HE=，再利用勾股定理得BD=，进而即可求解．解：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE=∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC=∠BEF=90°，又∵BE=BE，∴，∴CE=FE，BF=同理：CH=GH，DG=，∴HE是的中位线，∴HE=，∵在矩形中，，，∴BD=，∴GF=BF+DGBD=，∴=．【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出HE是的中位线，是解题的关键．19．【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出的长，再根据勾股定理求得的长，最后根据条件可知是的中位线，求得的长．解：∵，于点D，∴．

∵，∴．

∵于点D，∴，∴在中，．

∵，∴，

∵E为AB的中点，∴．【点拨】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．20．（1）见分析；（2），证明见分析【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．解：（1）证明：由旋转的性质得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中点；（2）；证明：如图2，延长到H使，连接，，∵，∴是的中位线，∴，，由旋转的性质得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，设，，则，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．21．（1）见分析；（2）【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形；（2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度．（1）解：∵点D、E分别为的中点，∴，∵点G、F分别为、的中点．∴，∴，∴四边形为平行四边形；（2）∵四边形为平行四边形，∴，∵∴，∵，∴．【点拨】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．22．（1）见分析；（2）见分析；（3）答案不唯一，见分析【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）方法一：将绕点D逆时针旋转到，将绕E点顺时针旋转到即可得出四边形；方法二：将绕E点顺时针旋转到，将绕点D逆时针旋转后再沿向右平移到，即可得出四边形；方法三：将绕点D逆时针旋转到，将绕E点顺时针旋转后沿向左平移到，即可得出四边形；（3）方法一：先证明点在同一直线上，根据为的中位线，得出且．证明且，得出四边形为平行四边形，根据，得出平行四边形为矩形．方法二：证明点在同一直线上，根据为的中位线，得出且，证明，得出且，证明四边形为平行四边形．方法三：证明点在同一直线上，根据为的中位线，得出且，证明且，得出四边形为平行四边形．（1）解：如图所示：

（2）解：方法一：四边形为所求作的四边形

方法二：四边形是所求的四边形．

方法三：四边形是所求的四边形．

（3）解：方法一（图1），

∵，∴点在同一直线上，∵点分别是的中点，∴为的中位线，∴且．∵，∴且，∴四边形为平行四边形．∵，，∴平行四边形为