奇偶性-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）（解析版）公开课教学设计课件资料

3.2.2奇偶性

0知识归纳

函数的奇偶性

奇偶性偶函数奇函数

条件设函数/X)的定义域为/,如果□%口/,都有一%□/

结论—=网/(—x)=一/(x)

图象特点关于谢对称关于原点对称

?［思考］具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？

【提示】定义域关于原点对称.

Q考点讲解

考点1:函数奇偶性的判断

［例1］(2021•全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)=2x4+3x2；(2)/(x)=x2-2x.

(3)/(x)=x2+l；(4)=

厂+1

【答窠】(1)偶函数；(2)非奇非偶函数.(3)偶函数：(4)奇函数

【解析】(1)函数〃力=2/+3/的定义域为R,

/(-X)=2(-x)4+3(-x)?=2x4+3x2=/(^),所以，函数f(x)为偶函数;

(2)函数/(力=/-2%的定义域为R,

/(-X)=(-X)2-2(-X)=X2+2X,则/(-A)*f(x)且〃一x),

所以，函数/(X)为非奇非偶函数.

(3)定义域为凡vf(-x)=(-x)2+1=+1=/(x),

+1为偶函数.

(4)定义域为凡匕缶=合=一/(幻，

••/*）=07为奇函数.

x+\

【方法技巧】

判断函数奇偶性的两种方法

L定义法：

2.图象法:

【变式训练】

1.下列函数中，是偶函数的有.（填序号）

□肥）=3；q/（x）=k|+l；口/）=己；q/[x）=x+*□/（x）=x2,XD[—1,2].

【答案】□□

【解析】对于口，火一.丫）=一/=一危），贝J为奇函数；

对于□,人一刈=|一%|+1=网+1,则为偶函数；

对于口，定义域为“冲0},关于原点对称，/（一劝=「与=己=/（幻，则为偶函数;

对于□,定义域为{X-0},关于原点对称，火一%）=—x—（=一/），则为奇函数：

对于口，定义域为[-1,2],不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数.

2.判断下列函数的奇偶性：

（1）,心）=/+r（2）/）=4]_/+正_1；

X—1»x<0,

2/+2x

（3）次%）=一《+]；（4）加）=2x=0,

、x+l,x>0.

【解析】（1）函数的定义域为R,关于原点对称.

又火一幻=（一工）3+（一》）=_（/+彳）=一外）,

因此函数/（X）是奇函数.

1—x2>0,

(2)由《得x2=l,即x=±L

因此函数的定义域为关于原点对称.

又/U)=A—1)=一火-1)=0,所以应。既是奇函数又是偶函数.

(3)函数及)的定义域是(一8,-1)□(-1,+oo),

不关于原点对称，所以.危)既不是奇函数也不是偶函数.

(4)函数外)的定义域为R,关于原点对称.

-x-1,-x<0»

y(—x)=<o,—x=o,

x+1,—x>0,

—(x+1),x>0,

艮］｛―4)=«0,x=0,

(x—1),x<0.

于是有人-x)=—J(x).

所以加)为奇函数.

3.(2021・江苏高一期末)(多选)下列说法正确的是()

A.若定义在R上的函数/(“满足/(—1)=/(1),则/(可是偶函数

B.若定义在R上的函数/(“满足则/(6不是偶函数

C.若定义在R上的函数“X)满足则“X)在R上是增函数

D.若定义在R上的函数“X)满足则“X)在R上不是减函数

【答案】BD

【解析】对于A选项，取函数“力=1任一1),则==

函数〃力的定义域为R，/(-x)=-x(x2-l)=-/(x),此时，函数/(力为奇函数，A选项错误:

对于B选项，若函数“X)为定义在R上的偶函数，对任意的xcR，必有〃r)=/(x),

因为〃T)工”1)，所以，“力不是偶函数，B选项正确；

对于C选项，取函数f(x)=f+x,则=41)=2,/(-1)</(1),

但函数/(力=/+式在R上不单调，C选项错误；

对于D选项，假设函数f(x)是定义在H上的减函数，则这与题设矛盾,

假设不成立，所以，函数/（可在R上不是减函数，D选项正确.

故选：BD.

考点2：奇偶函数的图象问题

【例2】已知奇函数次的的定义域为［-5,5］,且在区间［0,5］上的图象如图所示.

U）画出在区间［-5,0］上的图象；

：2）写出使｛x）＜0的x的取值集合.

【解析】（1）因为函数./（X）是奇函数，所以y=/（x）在［-5,5］上的图象关于原点对称.

由y=/（x）在［0,5］上的图象，可知它在［-5,0］上的图象，如图所示.

（2）由图象知，使函数值产0的x的取值集合为（一2,0）（2,5）.y

一j_

-5-2\>0

【变式训练】

（变条件）将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题.

【解析】（1）如图所示

（2）由（1）可知，使函数值尸0的x的取值集合为（一5,-2）0（2,5）.

【方法技巧】

巧用奇、偶函数的图象求解问题

L依据：奇函数□图象关于原点对称.偶函数□图象关于y轴对称.

2.求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.

【变式训练】

1.如图是函数在区间［0,+8）上的图象，请据此在该坐标系中补全函数危）在定义域内的图象,

请说明你的作图依据.

y

111111111

~~?-t-t-tj

【解析】因为大x）=*y所以4）的定义域为R.又对任意xEJR,都有人一%）=1

=袋),

(-x)2+lf+1

所以心0为偶函数.所以4r）的图象关于y轴对称，其图象如图所示.

2.定义在[-3,-1][1,3]上的函数人x）是奇函数，其部分图象如图所示.

y*

-3-2-10123

3）请在坐标系中补全函数.火功的图象；

⑵比较火1）与火3）的大小.

【解析】（1）由于儿丫）是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示.

⑵观察图象，知人3）守（1）.

考点3：利用函数的奇偶性求值

探究问题

1.对于定义域内的任意x,若火一%）+九0=0,则函数./（x）是否具有奇偶性？若人一口一儿丫）=0呢?

【解析】由人—%）+以）=0得人一冷=一左），

儿，）为奇函数.

由火一幻一/(%)=0得./(-x)=/(x)，U/(x)为偶函数.

2.若＜x)是奇函数且在x=0处有定义，则40)的值可求吗？若/)为偶函数呢？

【解析】若")为奇函数，则｛0)=0：若左)为偶函数，无法求出义0)的值.

【例3】(1)若函数人工)=打2+灰+3。+6是偶函数，定义域为口一1,20，则。=,b=；

12)已知於)=N—川+以+2,若人一3)=—3,则次3)=.

【答案】(1)10(2)7

【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以。-1=一2°,解得。=g.

又函数｛x)=++bx+b+l为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得5=0.

⑵令时)=/一〃/+川+炉，则g(x)是奇函数，

4—3)=兼-3)+2=一跃3)+2,又大-3)=—3,

「以3)=5.又人3)=茉3)+2,所以43)=5+2=7.

【方法技巧】

利庄奇偶性求参数的常见类型及策略

L定义域含参数：奇、偶函数人r)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称，利用〃+6=0求参数.

2.解析式含参数：根据火-x)=-/(x)或人一好寸刈列式，比较系数即可求解.

【变式训练】

1.(2021•上海市川沙中学高一期末)若函数/(x)=(x—2)(x+〃7)为偶函数，则m=.

【答案】2

【解析】f(x)=(x-2)(x+m)=x1+(m-2)x-2in

因为函数/a)=(x-2)(x+，〃)为偶函数，所以怙2=0,解得加=2.

也可用/1⑴=〃-1),解出m=2.故答案为:2

2.若/(x)=(x+a)(x—4)为偶函数，则实数。=.

【答案】4

【解析】法一：-)=(工+。)。-4)=/+(a—4)x—4a,/(—x)=(—x+a)(—x—4)=/一(白一4)x—4a,两式恒

相等，则a—4=0,即4=4.

法二：儿:)=(r+a)(x—4)=f+(a—4)r—4a,要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0,即a

—4=0,则a=4.

法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如段)=。/+。的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平

方差公式，则a=4.

3.(2021•浙江高一期末)已知/(x)是定义在R上的奇函数，且当工之0时，〃工)=/+办+。-1,则/(一1)二

【答案】-2

【解析】因为/(力是定义在R上的奇函数,

所以〃0)=。-1=0,解得。=1,

因为当xNO时,/(x)=x*2+x,

所以“1)=2,

/(-1)=-/0)=-2,

故答案为：-2

考点4：用奇偶性求解析式

【例4】(1)函数./(4)是定义域为R的奇函数，当*>0时，共0=一%+1,求共丫)的解析式;

[2)设兀0是偶函数，以乃是奇函数，且-)+g(x)==，求函数/(、)，盛工)的解析式.

_______________,当40

[分析](1)设x〈0,则一x>0|/(0=_»+]

奇函数寄函数分段函数

求Xr)|------»|得力。时危)的解析式|由叶质|火。)=。|----->|危)的解析式|

-------------।用一X代式中X|------------------------------।奇偶性।-----------------口解方程组

(2)yw+g(x)=£77--------^—x)+g(—x)=Y]--------------->得ZW—g(x)=—RY------->

得AM，gW

的解析式

【解析】⑴设x<0,则一x>0,

4—%)=-(—x)+l=x+l，

又□函数以)是定义域为R的奇函数,

匚_/(一彳)=-/。:)=彳+1,

匚当x<0时，危)=一“一1.

又x=0时，<0)=0,

—X—1»x<0>

所以yw=0,x=。，

—x+l,x>0.

(2)二府)是偶函数，鼠乃是奇函数,

L/(-x)=/(x),g(-x)=-g(x).

由贝力+》)=言7，口

用一X代替X得/(—x)+g(—x)=,

(□+□尸2,得大、)=吉：

(口一口尸2,得其r)=±.

【变式训练】

把本例(2)的条件%x)是偶函数，趴x)是奇函数”改为7(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求火x),以x)的解

析式.

【解析】巩工)是奇函数，g(x)是偶函数，

口/(一%)=—/)，g(_x)=g(x)，

又｛x)+©x)=Frp口

用一X代替上式中的X,得

._x)+g(_x)=_1_],

即./w-ga)=*[Q

联立□□得

X1

危尸WTg尸目.

【方法技巧】

利用函数奇偶性求解析式的方法

1,“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，X就应在哪个区间上设.

2.要利用已知区间的解析式进行代入.

3.利用风。的奇偶性写出一人外或人一x),从而解出义x).

提醒：若函数人外的定义域内含0且为奇函数，则必有/(0)=0,但若为偶函数，未必有/(0)=0.

【变式训练】

1.已知函数y=/(x)为奇函数，且当x>0时，­)=/-2工+3,则当正0时，段)的解析式是()

A.火力=—f+2x—3B.j(x)=—x1—2x—3

C./)=%2—2r+3D.f(x)=—x2—2x-^3

【答案】B

【解析】若x〈0,则一40,因为当它0时，外)=/一法+3,所以次-x)=/+2x+3,因为函数")是奇函

数，所以大一/(x),所以y(x)=­X?—2r—3,所以x<0时，4》)=-x2—2x—3.故选B.

2.(2020•宁夏大学附属中学高一期中)己知/")是定义在H上的奇函数，xNO时，/(x)=f+2x,则

在，/<0上/(力的表达式是()

A.f(x)=-x1+2xB.f[x)=-JC-2x

C.f(x)=x2-2xD./(x)=x2+2x

【答案】A

【解析】因为xNO时，〃x)=f+2x,

设x<0,则-x>0,

所以/(一力=/一2%，

又因为外工)是定义在R上的奇函数，

所以/(力=-/(-X)=-X2+2X,

故选：A.

3.(2021•湖南省长沙县第九中学高一期末)已知函数〃力是定义在R上的奇函数，当/K)时，

/(x)=x(l+x).则函数的解析式为.

A(1+A)A>0

【答窠】/U)=

MDx<0

【解析】设XV0,「T>0,

所以/(—X)=T(l-X)=T+k，

因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,

所以-/(x)=-x+a

所以/(x)=_f+x=x(I).

Ml+x)x>0

所以函数的解析式为/*)=

x(l-x)x<0

fx（l+x）x＞0

故答案为：/*）=，A

［Ml-x）x＜0

考点5：函数单调性和奇偶性的综合问题

探究问题

1.如果奇函数/（x）在区间（。，6）上单调递增，那么大x）在（一瓦一〃）上的单调性如何？

如果偶函数｛x）在区间（。，6）上单调递减，那么火x）在（一4一0）上的单调性如何？

【解析】如果奇函数危）在区间（4,力上单调递增，那么人力在（一儿一。）上单调递增；如果偶函数｛X）

在区间（。，6）上单调递减，那么y（x）在（一4一a）上单调递增.

2.你能否把上述问题所得出的结论月一句话概括出来？

【解析】奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.

3.若偶函数人力在（-8,0）上单调递增，那么43）和人一2）的大小关系如何？若/（。）况6）,你能得到什

么结论？

【解析】人一2）X3），若曲）刁⑼,则a|v同.

角度一比较大小问题

【例5】（2022・广东珠海•高一期末）已知/（"是R上的偶函数，在（-8,0］上单调递增，且八2）=0,则下

列不等式成立的是（）

A.0＜/（1）＜/（5）＜/（-3）B./（5）＜/（-3）＜0＜/（1）

C./（-3）＜/（-1）＜0＜/（1）D./（-3）＜0＜/（1）＜/（5）

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可.

【详解】

因为是R上的偶函数，在（-％0］上卑调递增，

所以〃力在（。,m）上单调递减，/（-3）=/（3）.

又因为“2）=0,

因为Iv2＜3v5,在（0,+oo］上单调递减，

所以/（1）＞〃2）＞〃3）＞〃5）,

BP/（5）＜/（-3）＜O＜/（l）.

故选：B.

【方法技巧】

比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上.

1.在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；

2.不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较

大小.

【变式训练】

1.(2021年广东)已知偶函数f(x)在区间［0,+8)上单调递增，则下列关系式成立的是()

A./(-9</(-3)v/(4)B./(-3)/(4)

C./(-3)</(4)</^-1jD./(4)</|^-1)</(-3)

【答案】B

【解析】因为/(x)为偶函数，所以〃-3)=〃3),/卜£|=/6)，

又因为3<g<4旦/(x)在［0,-)上单调递增，所以

所以-£|<f(4),故选：B.

2.(2021年广西)/⑶是定义在［-6,6］上的偶函数，且八0)</(6),则下列各式一定成立的是()

A./(0)</(-6)B./(-3)>/(1)C./(2)</(3)D./(-1)>/(0)

【答案】A

【解析】由f(x)是定义在［-6,6］上的偶函数，所以f(-6)=f(6),由/(0)</(6),则八0)</(-6),

其它的不能确定，故选：A

3.(2021•吉林高一期末)设偶函数/(X)的定义域为R,当工«0,y)时，/(»是增函数，则/(一2),〃4),

/(-3)的大小关系是()

A./W>/(-3)>/(-2)B.〃乃)>/(-2)>/(-3)

C.。乃)</(-3)</(-2)D./W</(-2)</(-3)

【答案】A

【解析】因为函数是偶函数，所以"-3)=/(3),/(-2)=/(2),

因为力4。,”)时,/(x)是增函数，所以〃乃>/(3)>八2),所以〃乃)>/(-3)>/(-2).故选:A

角度二解不等式问题

【例6】已知定义在［-2,2］上的奇函数火x)在区间［0,2］上是减函数，若01一加％机)，求实数m的取

值范围.

【解析】因为")在区间［—2,2］上为奇函数，且在区间［0,2］上是减函数，所以火x)在［—2,2］上为减函

数.

—2<1—w<2,

又川一⑼勺(⑼，所以，—2<w?<2,

J-ni>mf

一干2,解得舄.

m<2-

故实数的取值范围是一Km*.

【方法技巧】

解有关奇函数4x)的不等式火〃)+人与<0,先将人〃)+大力vO变形为火〃)<一/(力)=人一与，再利用人工)的单

调性去掉»二化为关于4,〃的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.，由于偶函数在关于原点对称的两个

区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质火X)=A⑼=逐一⑼将大式0)中的虱力全部化到同一个单

调区间内，再利用单调性去掉符号/,使不等式得解.

【针对训练】

1.函数危)是定义在实数集上的偶函数，且在［0,+8)上是增函数，义3)勺(2。+1),则a的取值范围是()

A.。>1B.a<-2

C.或2D.—\<a<2

【答案】C

【解析】因为函数义x)在实数集上是偶函数，且角3)依2a+l),所以<3)矶2a+l|),又函数Jx)在［0,+oo)

上是增函数，所以3V|2a+l|,解之得或av—2.故选C.

2.(2021・辽宁高一期末)奇函数/⑶在(0,+8)内单调递减且f(2)=0,则不等式(x+l)/(x)<0的解集为

()

A.(^o-2)U(-L0)U(2,+oo)B.(-2,-1)U(2,小)

C.(f,—2)U(Z”)D.(—，-2)U(-LO)U(O,2)

【答案】A

【解析】因为函数/⑶在(。，+8)上单调递减，/(2)=0,

所以当xe©2)时，f(x)>0,当xe(2,+8),f(x)<0,

又因为八幻是奇函数，图象关于原点对称，

所以/㈤在(-8,0)上单调递减，/(-2)=0,

所以当xe（-2,0）时，/（-r）＜0,当“£（一»,-2）时，/（x）＞0,

大致图象如下，

故选：A.

3.（2021•福建高一期末）若定义在R的奇函数/（同在（-8,0］单调递减，则不等式“力+/（工-2）20的解

集为〔）

A.（-oo,2］B.（-00,1］C.D.［2,-HO）

【答案】B

【解析】□/*）是奇函数，在（-8,0］上递减，则解力在［0,+00）上递减,

/（X）在R上是减函数，

又由/㈤是奇函数，则不等式/（力+/5―2）20可化为，*-2）2/（一幻，

□x—2^—x,x41.

故选：B.

0知识小结

1.奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数4刈定义域内的每一个值X，都有逐-x）=一/（x）（或人一x）=/（x））,

才能说心）是奇函数（或偶函数）.

2.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函

数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.

3.具有奇偶性的函数的单调性的特点

⑴奇函数在⑷句和［一儿一句上具有相同的单调性.

⑵偶函数在口，6］和［一瓦一封上具有相反的单调性.

4.利用函数奇偶性求函数解析式的美键是利用奇偶函数的关系式.4-x）=-/（x）或y（—x）=/（x）,但要注

意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为X,然后把X转化为一式另一个已知区间上的解析式中

的变量），通过适当推导，求得所求区间上的解析式.

5.偶函数的一个重要性质：火田）=危），它能使自变量化归到[0,+8）上，避免分类讨论.

rfi巩固提升

1.设火X）是定义在R上的奇函数，巨当烂0时，儿:）=好一5,则｛1）=（）

A.•2

C.1D，5

3

【解析】A因为"）是定义在R上的奇函数，所以川）=一次-1）=一方

2.若函数｛x）（/（x）和）为奇函数，则必有（）

A."次一外＞0B.y(xM-x)<o

c.y（x）＜A-x）D.Ax)>A-x)

【解析】B/（》）为奇函数，

□X-x）=-y（x）,

又火工）知，

□W（-^）=-[/«]2＜0.

3.函数Xx）=2x-5的图象关于（

A.»轴对称B.直线y=-x对称

C.直线y=x对称D.坐标原点对称

【解析】D函数的定义域为（-8,0)0(0,+oo),

则｛―劝=_次+:=—(2x-^)=

则函数大幻是奇函数，则函数yu）=2x-：的图象关于坐标原点对称.故选D.

4.下列函数为奇函数的是（）

A.y=~\x\B.y=2-x

C.产&D.y=­f+8

【解析】CA、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇北偶，而C项中函数为奇函数.

5.下列说法中错误的个数为（）

图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；□图象关于y轴对称的函数是偶函数；

—奇函数的图象一定过坐标原点；I偶函数的图象一定与y轴相交.

A.4B.3

C.2D.1

【解析】C由奇函数、偶函数的性质，知□□说法正确；对于口，如.©=!，"□（—8,0）0（0,+8）,

它是奇函数，但它的图象不过原点，所以□说法错误；对于口，如外）=已，工口（-8,0）0（0,+8）,它是偶

函数，但它的图象不与7轴相交，所以口说法错误.故选C.

6.已知人外是偶函数，且在区间［0,+8）上是增函数，则大一0.5）,/-I）,人0）的大小关系是（）

A.^-o.5）＜y（o）＜y（-i）

B./(-1)<7(-0.5)<X0)

C.^0)<7(-0.5)</(-1)

D.x-i)<y(o)<y(-o.5)

【解析】C□函数小）为偶函数，匚火一0.5）=/（0.5）,又匚加）在区间［0,+8）上是增函数,

□{0）＜述0.5）〈人1）,即40）〈人一0.5）〈火一1），故选C.

7.若函数加:）="+（2+〃•+1是偶函数，则函数＜x）的单调递增区间为（）

A.(—co,0]B.[0,+8)

C.(—co,+oo)D.[1,+oo)

【解析】A因为函数为偶函数，所以。+2=0,。=-2,即该函数4r）=-2?+1,所以函数在（一8,

0］上单调递增.

8.一个偶函数定义在区间［-7,7］上，它在［0,7］上的图象如图，下列说法正确的是（）

A.这个函数仅有一个单调增区间

B.这个函数有两个单调减区间

C.这个函数在其定义域内有最大值是7

D.这个函数在其定义域内有最小值是一7

【解析】C根据偶函数在［0,7］上的图象及其对称性，作出函数在［-7,7］上的图

象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定

义域内最小值不是一7.故选C.

9.偶函数人防在(0,+8)内的最小值为2019,则加)在(一8,0)上的最小值为.

【解析】2019由于偶函数的图象关于)，轴对称，

所以危)在对称区间内的最值相等.

又当％□((),+8)时，/(X)min=2019,

故当直口(一8,0)时，/X)min=2019.

10.若｛x)=(/n-1)/+6蛆+2是偶函数，则火0),次1),人一2)从小到大的排列是.

【解析】人一2)勺(1)饮0)当机=1时，儿:)=6x+2不合题意；

当〃靖1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，口小=0,

匚<工)=一炉+2，

Mx)在(一8,0)上递增，在(0,+8)上递减.

又(Xl<2,□｛0)次1)次2)=H-2)・

11.已知人力=炉+2%，则/(〃)+/(-&)的值为.

【解析】0—X)=—X3—2x=—/(X),

匚应—制+用。=0，

')+/(—。)=0.

12.若函数次》)=(〃?-1"2+地-2)X+(加2-7m+12)为偶函数，则〃?的值是.

【解析】2次0为偶函数，故〃［-2=0,口zn=2.

13.设危)是定义在R上的奇函数，当x>0时，危)=/+1,则火-2)+<0)=.

【解析】一5由题意知人—2)=一｛2)=—(22+1)=-5,火0)=0,匚贝-2)+<0)=—5.

14.设函数火x)="管@为奇函数，则。=.

【解析】-1□/(%)为奇函数，o/(-x)=-7(x),

x+l)(~x+t?)(x+1)(X+Q)

RJ-----------------------.

~XX

显然；#0,整理得r—(a+l)x+a=r+(a+l)x+a,故〃+l=0,得。=-1.

15.设奇函数人助的定义域为［-6,6］,当x」0,6］时大x)的图象如图所示，不等式及)<0的解集用区间表

示为.

【解析】［-6,-3)U(0,3)由/(x)在［0,6］上的图象知，满足/(x)v0的不等式的解集为(0,3).又/(%)为奇

函数，图象关于原点对称，所以在［-6,0)上，不等式的解集为［-6,-3).综上可知，不等式./(x)vo

的解集为［-6,-3)0(0,3).

1

16.已知函数<x)=1可是奇函数，且人1)=3,{2)=5,求a,b,c的值.

【解析1因为函数人工)=号?是奇函数,

所以人一》)=一兀0，

故圻生=—洋，即.加+1

b(—X)十COX-rC一辰+c6x+c'

所以一Z)x+c=—(bx+c),即c=-c,解得c=0.

所以")="专.而<1)=axl24-la+1

bxl1=3,

所以°+1=3/>.口

“22+14。+1

由｛2)=5,即"2五~=，

(7

7a=y

a=g,2

解口组成的方程组,得，故，Z>=|,

匕=|.

、c=0.

17.设定义在［-2,2］上的奇函数/)=1?+%3+也

［1)求b值：

⑵若火x)在［0,2］上单调递增，且火⑼十顺一1)>0,求实数6的取值范围.

【解析】(1)因为函数外)是定义在［-2,2］上的奇函数，

所以.火0)=0,解得6=0.

⑵因为函数.危)在［0,2］上是增函数，又因为犬0是奇函数，所以段)在［-2,2］上是单调递增的,

因为人加)+/(/??—1)>0,

所以火小-1)>-/(m)=/(一”)，

所以加一1>一加，□

又需要不等式处〃)+人机-1)>0

在函数.段)定义域范围内有意义.

一23燃2,

所以

-2<m—\<2

解二［得会机52,所以m的取值范围为Q，2.

提升训练

1.(2021•北京)已知函数/(x)对任意总有f(x+y)=〃H+/(y),且当x>0时，f(x)<0,

/(-1)=；,

(口)求证：函数f(x)是奇函数；

(口)利用函数的单调性定义证明，/(力在R上的单调递减；

(口)若不等式/W+X)-对于任意的xe恒成立，求实数〃，的取值范围.

【答案】①)见解析；(口)见解析；(口)川告

【解析】(口)令x=y=o,得/(析=C(O)+/(O),所以/(o)=o,

令〉=一次，得f(0)=/(%)+/(r),即O=/(X)+F(T),所以f(-x)=-/(x),

所以函数f(x)是R上的奇函数.

(口)任取与％2€&且%>工2，贝一/(.)=/(百)+/(-%2)=〃%一马)，

因为当x>0时，fM<0，而%>七，即芭一声,。，所以/(%-％2)<0，

所以〃百)<