专题08有理数乘方及混合运算（3大考点11种题型）

专题08有理数乘方及混合运算（3大考点+11种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：乘方考点二：有理数的混合运算考点三：科学记数法题型一：有理数幂的概念理解题型二：有理数的乘方运算题型三：有理数乘方逆运算题型四：乘方运算的符号规律题型五：乘方的应用题型六：有理数四则混合运算题型七：有理数四则混合运算的实际应用题型八：算“24”点题型九：含乘方的有理数混合运算题型十：用科学记数法表示绝对值大于1的数题型十一：将用科学记数法表示的数变回原数考点一：乘方（1）一般地，我们把n个相同因数a相乘，记作，即．（2）定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的运算结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数．读作a的n次方（“2次方”又可以读作“平方”，“3次方”又可以读作“立方”）．（3）读法：读作a的n次方，看作运算结果时，读作a的n次幂．（4）特别地：，，（n为正整数）正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．考点二：有理数的混合运算（1）运算顺序：先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号．（2）去括号：括号前带负号，去括号后括号内各项要变号，即，．（3）各种运算定律和运算法则都适用于有理数运算．考点三：科学记数法把一个数写成（其中，是正整数），这种形式的记数方法叫做科学记数法．题型一：有理数幂的概念理解【例1】．（2022下·上海徐汇·六年级位育中学校考期中）的底数是．【答案】6【分析】根据幂的定义解答即可：在中，a叫底数，n叫做指数；【详解】解：的底数是6，故答案为：6．【点睛】本题考查了与两者的区别：的底数是a，表示n个a相乘的积；底数是a，表示n个a相乘的积的相反数．【变式1】．（2022下·上海杨浦·六年级统考期中）5.24中底数是，乘方结果的符号为．【答案】5.2负号【分析】利用乘方的意义判断即可得到结果．【详解】解：5.24中底数是5.2，乘方结果的符号为负号，故答案为：5.2，负号．【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．【变式2】．（2023下·上海宝山·六年级校考期中）底数是，指数是的幂可写成．【答案】【分析】根据幂的书写规则即可求解．【详解】解：底数为，指数为2，得，故答案为：．【点睛】本题考查了幂的概念，关键是注意分数为底时，需要把底数加括号．【变式3】．（2021下·上海奉贤·六年级校考期中）2014个相乘用幂的形式可表示为．【答案】【分析】根据幂的定义知道是底数，指数是2014，由此即可表示2014个相乘．【详解】解：2014个相乘可以表示为．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点为：个因数的积这个因数的次幂．一个负数的偶次幂通常情况下写成它相反数的偶次幂．【变式4】．（2021下·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）写成乘方的形式是，结果是．【答案】/【分析】根据有理数的乘方的定义，以及乘方的运算法则进行计算即可求解．【详解】解：写成乘方的形式是，故答案为：，．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．题型二：有理数的乘方运算【例2】．（2021下·上海徐汇·六年级上海市西南模范中学校考期中）．【答案】16【详解】．故答案为：16．【点睛】此题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方运算法则．【变式1】．（2021下·上海松江·六年级校考阶段练习）计算：．【答案】【分析】根据有理数的乘方法则求解即可．【详解】解：；故答案为：4．【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，属于应知应会题目，熟知乘方运算法则是关键．【变式2】．（2021下·上海宝山·六年级校考期中）计算：．【答案】【分析】根据有理数乘法以及乘法运算法则求解即可．【详解】解：故答案为：【点睛】此题考查了有理数的乘方以及乘法运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．【变式3】．（2021下·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）列式计算：的相反数与它的倒数的积的2021次幂是多少？【答案】【分析】根据题意列出算式，进行计算即可求解．【详解】解：【点睛】本题考查了相反数，倒数，有理数的乘方，根据题意列出算式是解题的关键．【变式4】．（2021下·上海青浦·六年级校联考期末）计算：．【答案】【分析】根据有理数的乘方，绝对值的性质进行求解即可；【详解】解：原式==．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．【变式5】．（2023下·上海黄浦·六年级统考期中）已知x、y为有理数，且，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)16(2)(3)6【分析】由非负数的性质可求得，，再代入（1）（2）（3）中的式子运算即可．【详解】（1）解：，，，解得：，，∴；（2）；（3）．【点睛】本题主要考查实数的运算，解答的关键是由非负数性质求得，．题型三：有理数乘方逆运算【例3】．（2023上·广东汕尾·七年级校考期中）满足等式的x的值为．【答案】【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据进行求解是解题的关键．【详解】解：∵，∴满足等式的x的值为，故答案为：．【变式1】．（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）若，则．【答案】【分析】本题考查的是乘方运算的逆运算，由，可得答案，掌握乘方运算的含义是解本题的关键．【详解】解：∵，∴，故答案为：【变式2】．（2022下·上海杨浦·七年级校考期末）如果一个数的平方是，那么这个数是．【答案】【分析】根据有理数的乘方运算即可求出答案．【详解】解：，这个数是，故答案为：．【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算，本题属于基础题型．【变式3】．（2023上·湖北恩施·七年级校联考期中）若a的平方是4，则a的值是．【答案】【分析】根据的平方的结果为4进行求解即可．【详解】解：∵，∴a的值是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，熟知的平方的结果为4是解题的关键．题型四：乘方运算的符号规律【例4】．（2023上·河南信阳·七年级统考期中）在，，，0中，非负数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解．【详解】解：∵，，，∴，，，0中，只有0是非负数．故选：A．【变式1】．（2023下·上海·六年级专题练习）任何一个有理数的偶次幂必是（）A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数【答案】D【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断．【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0，故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数．故选：D．【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握．【变式2】．（2023上·河南漯河·七年级校考阶段练习）如果一个数的15次幂是负数，那么这个数的2021次幂是．（填“正数”或“负数”）【答案】负数【分析】根据一个数的15次幂是负数，得到这个数为负数，进而得到这个数的2021次幂也是负数．【详解】解：因为正数的奇次幂是正数，负数的奇次幂是负数，故一个数的15次幂是负数，可知这个数为负数，所以这个数的2021次幂还是负数；故答案为：负数．【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟练掌握正数的奇次幂是正数，负数的奇次幂是负数，是解题的关键．【变式3】．（2023上·河南漯河·七年级校考阶段练习）当整数为时，；若是正整数，则．【答案】奇数0【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案．【详解】解：当整数为奇数时，；当整数为奇数时，则为偶数，∴，当整数为偶数时，则为奇数，；故答案为：奇数，0【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键．【变式4】．（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级统考期中）已知有理数n、m满足，则．【答案】【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，依题意得，，再代入原式即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键．【详解】解：依题意得：，即：，，即：，，故答案为：．题型五：乘方的应用【例5】．（2023上·浙江宁波·七年级统考期中）某种霉菌的生长速度是每天增加1倍，若经过14天，霉菌能长满整个缸面，请问长满半个缸面所用的时间是（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根据题意运用乘方的定义进行求解．此题考查了乘方定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．【详解】解：由题意得，该霉菌第14天生长面积是第13天的2倍，∴长满半个缸面所用时间是13天.故答案为：D.【变式1】．（2021上·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是下部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，受此启发，则．【答案】【分析】本题考查了有理数的乘方的应用；根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，进而即可求解．【详解】解：由题意可知，部分①面积是，部分②面积是，部分③面积是，…，则阴影部分的面积是，阴影部分的面积是；∴．故答案为：．【变式2】．（2021下·上海杨浦·六年级校考期末）若，则，．【答案】12【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求解即可．【详解】解：∵，∴a1=0，3ab1=0，解得a=1，b=2，故答案为：1，2．【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．【变式3】．（2022下·上海徐汇·六年级位育中学校考期中）若，那么=；【答案】1【分析】根据平方的非负性，绝对值的非负性，求出a，b的值即可；【详解】解：由题意得：a2=0，a=2；b+=0，b=；∴a+3b=2+（1）=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了非负代数式的和：如果几个非负代数式的和为零，那么每个代数式都等于零．【变式4】．（2023上·山东淄博·六年级统考期中）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的表示十进制中的．【答案】【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答．【详解】解：；故答案为：．题型六：有理数四则混合运算【例6】．（2021下·上海徐汇·六年级上海市西南模范中学校考期中）．【答案】0【分析】先计算括号内的减法运算，再计算乘法运算即可．【详解】解：；故答案为：0【点睛】本题考查的是有理数的四则混合运算，熟记运算顺序是解本题的关键．【变式1】．（2021下·上海浦东新·六年级上海中学东校校考期中）已知表示两个有理数，规定一种新运算“*”为：，那么的值为．【答案】22【分析】直接根据新运算法则列式求解即可．【详解】解：．故答案为：22．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新运算法则是解答的关键．【变式2】．（2021下·上海嘉定·六年级校考阶段练习）计算：．【答案】【分析】根据有理数的混合运算法则即可求解．【详解】解：原式．【点睛】本题考查有理数的混合运算．提取公因数是本题的简便计算方法．【变式3】．（2021下·上海长宁·六年级上海市延安初级中学校考期中）计算：．【答案】【分析】根据有理数的四则运算法则，进行计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查有理数的四则混合运算．熟练掌握运算法则和运算顺序，正确的计算，是解题的关键．题型七：有理数四则混合运算的实际应用【例7】．（2023下·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中）四大发明之一的黑火药，它所用原料硝酸钾、硫磺、木炭的重量比为．要配制这种火药180千克，则需硫磺千克【答案】18【分析】用火药的总总量乘以硫磺所占比例即可．【详解】解：，故答案为：18．【点睛】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，解题的关键是根据题意，得出硫磺所占比例．【变式1】．（2021下·上海徐汇·六年级校考期中）如图，初次见面通常以握手示礼．我们可以用点来表示每个人，连接两点的线段数量表示握手的次数．如果握手的人数是9，那么握手的总次数是．握手图标握手人数握手次数21

3346【答案】36【分析】设握手次，根据图表中给出的类比规律，可知当有个人时，握手次数为，根据此规律可求出握手次数．【详解】解：设握手次，则，．故握手的总次数是36次．故答案为：36．【点睛】本题考查理解题意的能力，解题的关键是根据图表给的信息找出握手总次数和人数的关系式，从而可列出方程求解．【变式2】．（2021下·上海杨浦·六年级校考期中）请你利用加减乘除将数字，，，连接起来使得运算的结果为：（数字的顺序由你自己来定）【答案】【分析】根据有理数的运算法则求解即可．【详解】根据题意可得．故答案为：．【点睛】本题主要考查有理数的运算，牢记有理数加减乘除的运算法则是解题的关键．题型八：算“24”点【例8】．（2023下·上海·六年级专题练习）“巧算24点”是一种数学游戏，游戏方式简单易学，能健脑益智．比如给出四个数字3、8、8、9，就可用加、减、乘、除（可加括号）把这四个数算成24，而且每个数字必须用一次且只能用一次，那么算式是或者，下面给出数字1、3、4、6，请你用加减乘除列出算式，算出24，此算式是．【答案】【分析】根据加减乘除运算法则列出算式，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式1】．（2023下·上海徐汇·六年级上海市西南位育中学校考阶段练习）对1，3，5，5四个数进行“加、减、乘、除、乘方”混合运算（每个数只能使用一次），其计算结果为24，请列出算式：（填一个算式即可）【答案】（答案不唯一）【分析】结合所给数字及结果的特点，利用“加、减、乘、除、乘方”进行尝试，即可得出答案．【详解】解：，或，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．【变式2】．（2023下·上海·六年级专题练习）乐乐有5张写着以下数字的卡片．请你按要求抽出卡片，解决下列问题．(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相乘的积最大，求出最大值；(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，求出最小值；(3)从中取出4张卡片．用学过的运算方法，使计算结果为24，请写出一种符合要求的运算式子．（注：每个数字只能用一次）【答案】(1)15(2)(3)见解析【分析】（1）找出两张卡片，使其积最大即可；（2）找出两张卡片，使其商最小即可；（3）找出四张卡片，利用24点游戏规律列出算式即可．【详解】（1）解：抽取的2张卡片是、，乘积的最大值为15．（2）抽取的2张卡片是、1，商的最小值．（3）抽取的4张卡片是、1、3、4，算式为或（答案不唯一）．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式3】．（2023下·上海·六年级专题练习）现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．

(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．(3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．(4)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．(5)从中取出4张卡片，使这4张卡片上的数字运算结果为24．写出两个不同的等式，分别为，．【答案】(1)9(2)11(3)6(4)90(5)，【详解】（1）解：这五个数中，最小的两个数是3和6，所以要使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为．故答案为：9；（2）解：这五个数中，最小的两个数是6，最大的数是5，所以要使这2张卡片上数字的差最大，则差的最大值为．故答案为：11；（3）解：取出6和1，相除得．所以商的最大值为6；故答案为：6（4）解：取出6，3,5，则乘积的最大值为．故答案为：90；（5）解：，．故答案为：，．【点睛】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键．题型九：含乘方的有理数混合运算【例9】．（2021下·上海松江·六年级校考阶段练习）计算：．【答案】7【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加法，注意符号．【详解】解：．【点睛】此题考查有理数的混合运算，注意运算的顺序和符号的判定．【变式1】．（2021下·上海闵行·六年级上海上师初级中学校考期中）计算：.【答案】【分析】先算乘方，再根据有理数的混合运算法则即可求解．【详解】解：原式【点睛】本题考查有理数的混合运算．利用乘方分配律可以使本题计算更简单．【变式2】．（2021下·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）．【答案】【分析】先运算乘方，然后运算括号，再运算乘除，最后加减解题．【详解】解：原式．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．【变式3】．（2023下·上海·六年级专题练习）计算：．【答案】【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．【详解】解：＝＝＝＝．【变式4】．（2021下·上海松江·六年级校考阶段练习）计算：．【答案】【分析】先根据平方运算、有理数乘法运算、绝对值运算、立方运算及有理数除法运算分别计算后，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案．【详解】解：．【点睛】本题考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．【变式5】．（2022下·上海杨浦·六年级校考期末）计算：．【答案】【分析】先乘方，再乘法，去绝对值，最后加减运算．【详解】解：．【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，关键是根据有理数混合运算的顺序，先乘方，再乘除，去绝对值，进行加减运算，计算过程中注意正负符号的变化．【变式6】．（2021下·上海徐汇·六年级上海市西南模范中学校考期中）要求的值等于多少，直接求非常困难，因为是一个非常大的数．因此，我们可以用方程的方法来做．设，则有，即，作简单的变形：，则．请你在理解基础上，模仿上述方法求下式的值：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，则有，依照例题求解即可；（2）设，则有，依照例题求解即可．【详解】（1）设则有，即，作简单的变形：，则∴；（2）设则有，即，作简单的变形：则∴．【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，有理数的乘方运算，解题的关键是仿照例子计算．本题属于基础题，难度不大．题型十：用科学记数法表示绝对值大于1的数【例10】．（2021下·上海·六年级校考阶段练习）青浦区第六次全国人口普查主要数据显示，全区镇街道（含青东农场）常住人口约为万人．人口数用科学记数法表示为（

）A．人 B．人 C．人 D．人【答案】C【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．【详解】解：万人用科学记数法表示为人，故选：C．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．【变式】．（2021下·上海松江·六年级校考阶段练习）用科学记数法表示：上海的面积约为平方千米平方千米．【答案】【分析】根据题意，运用科学记数法的表示方法可直接得出答案，要注意绝对值大于1的数字科学记数法的表示形式为：，其中，n为正整数．【详解】解：上海的面积约为平方千米平方千米．故答案为：．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，属于基础题，正确确定中和的值是解决本题的关键．题型十一：将用科学记数法表示的数变回原数【例11】．（2024上·河北石家庄·七年级校联考期末）的整数位数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本题主要考查了把科学计数法表示的数边为原数，根据，可以的整数位数是6，据此可得答案．【详解】解：，这是一个六位数，整数位数是6，故选B．【变式1】．（2024上·河北廊坊·七年级校考阶段练习）一个整数用科学记数法表示为，那么原数中“0”的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题主要考查科学记数法与原数的转化，将科学记数法表示的数转化为原数，即可求出0的个数．【详解】解：∴原数中有5个．故选：C．【变式2】．（2021下·上海嘉定·六年级校考期中）用科学记数法表示的数有个整数位．【答案】【分析】科学记数法表示的数的整数位数比多1，是位．【详解】解：用科学记数法表示的数的原数的整数位数是，故答案为：．【点睛】本题是考查把科学记数法表示的数还原．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．一、单选题1．（2023上·甘肃定西·七年级统考期末）世界文化遗产长城总长约米，将数用科学记数法可表示为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，∴用科学记数法表示为，故选：B．2．（2021下·上海松江·六年级校考阶段练习）若，则下列结论中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据有理数的乘方运算法则求解即可．【详解】∵，A、，选项成立，不符合题意；B、，选项不成立，符合题意；C、，选项成立，不符合题意；D、，选项成立，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方运算法则．3．（2023上·四川宜宾·七年级校考阶段练习）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果．若输入的值为，则输出的结果为()A．6 B．7 C．10 D．12【答案】B【分析】此题考查了有理数的混合运算，把代入程序中计算，判断结果与0的大小，以此类推，得到结果大于0，输出即可．【详解】解：把代入运算程序得：，把代入运算程序得：，故输出的结果为7．故选：B．4．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）在，，，，，中，是非负数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据绝对值、相反数、乘方的定义逐个计算即可．【详解】解：，，，，，；故非负数有：，，，，故选：D．【点睛】本题考查有理数的乘方，正数与负数，相反数，绝对值，掌握以上知识点是解题的关键．5．（2023上·辽宁抚顺·七年级统考期末）下列各组数互为相反数的是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】此题考查了有理数的乘方，相反数，以及绝对值，各项中两式计算得到结果，即可作出判断．【详解】A、，，不互为相反数；B、，不互为相反数；C、，不互为相反数；D、，，互为相反数，故选：D．6．（2021下·上海闵行·六年级校考期中），0，，，，，中是负数的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先化简，再根据负数的定义解答即可．【详解】解：∵是正数，0既不是正数也不是负数，是负数，是正数，，是负数，当时，既不是正数也不是负数．故选C．【点睛】本题考查的是负数概念，绝对值的意义，乘方的意义，掌握在正数前面加负号“－”，叫做负数是解题的关键．二、填空题7．（2024上·河北保定·七年级校联考期中）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入“”，“”，“”，“”中的某一个（可重复使用），然后计算结果，若，则□内填写的符号为；【答案】×【分析】本题考查了有理数四则混合运算，分别将“”，“”，“”，“”代入计算即可求解．【详解】解：∵，，，∴□内填写的符号为：×，故答案为：×8．（2023上·湖北荆州·七年级校联考阶段练习）定义一种新运算“☆”，规则如下：．例如：，则的值为．【答案】【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算．根据新定义运算法则，计算即可．【详解】解：，，故答案为：．9．（2021下·上海徐汇·六年级校考期中）如图，数轴上表示三个数的点的位置，用“<”、“>”或“=”比较大小：．

【答案】<【分析】由数轴得出，然后根据有理数的运算法则进行判断．【详解】解：由数轴得：，∴，，∴，故答案为：<．【点睛】本题考查了数轴，有理数的运算，熟练掌握运算法则，判断出式子的正负是解题的关键．10．（2021下·上海松江·六年级校考阶段练习）若，则．【答案】【分析】先根据非负数的性质求出x、y，再代值计算即可．【详解】解：因为，所以，，则，，则．故答案为：．【点睛】本题考查了非负数的性质、乘方运算和代数式求值，正确求出x、y的值是解题的关键．11．（2023上·吉林四平·七年级统考期末）2023年杭州举办了第19届亚运会，杭州亚运会售出约3050000张门票，3050000这个数据用科学记数法表示为．【答案】【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．【详解】解：3050000这个数据用科学记数法表示为，故答案为：．12．（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）计算．【答案】【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算括号内的乘法，再进行乘方运算，再把两个幂相加即可得到结果，掌握有理数的乘方运算是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．13．（2023上·河南南阳·七年级统考阶段练习）比较大小：（填“”“”或“”）【答案】【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数乘方计算，绝对值的求解，先算出绝对值的大小，再计算乘法，最后进行比较即可．【详解】解：，，，故答案为：．14．（2023上·吉林松原·七年级统考期末）定义一种新运算▽：对任意有理数a、b都有，如，则．【答案】2019【分析】本题考查了有理数的乘方以及有理数的减法运算，正确理解新定义运算法则是解题关键．先计算括号内，再计算括号外即可．【详解】解：，则原式，故答案为：2019．15．（2023下·上海松江·六年级统考期中）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出y的值为．

【答案】【分析】将代入求出结果即可．【详解】解：把代入得：，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，准确计算．16．（2022下·上海杨浦·六年级校考期末）已知、表示两个有理数，规定新运算“”为：（其中为有理数），如果，那么的值为．【答案】【分析】根据、表示两个有理数，（其中为有理数），把，代入，解答即可．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解答本题关键为，把其代入求解即可．三、解答题17．（2021下·上海·六年级校考阶段练习）计算：．【答案】【详解】原式．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．18．（2021下·上海·六年级校考期中）计算：．【答案】【分析】首先根据乘方运算法则、绝对值的性质以及有理数除法法则进行运算，然后再相加减即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．19．（2023上·湖南长沙·七年级雨花外国语学校校联考阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)5(2)【分析】本题考查有理数的运算，乘法分配律；（1）运用乘法分配律展开，进一步运用有理数的乘法法则、加减法法则处理；（2）运用有理数的乘方法则、乘法、除法法则运算处理；【详解】（1）解：（2）解：20．（2021下·上海宝山·六年级统考期中）计算：．【答案】【分析】先计算乘方和括号内运算、除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加法即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．21．（2021下·上海·六年级校考阶段