专题12解直角三角形（全章分层练习）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.2解直角三角形（全章分层练习）（基础练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2019·天津·统考一模）化简（

）A． B． C． D．2．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）若锐角满足，则（）A． B． C． D．3．（2019·浙江杭州·九年级）若为锐角，且，则（

）A．0°<<30° B．30°<<45°C．45°<<60° D．60°<<90°4．（2018下·九年级单元测试）等腰三角形的一腰长为6cm，底边长为6cm，则其底角为（）A．30° B．60° C．90° D．120°5．（2022下·海南海口·八年级统考期末）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截是一个轴对称图形，其示意图如图2，若，，则的长为（）A． B． C． D．6．（2018上·海南海口·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的面积为（）A．6 B．12 C．12 D．247．（2015上·黑龙江哈尔滨·九年级阶段练习）如图，某游乐场有一个长的跷跷板，的支撑柱垂直地面于点，为的中点，当的一端着地时，，则支撑柱的长可表示为（

）A． B． C． D．8．（2019上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）已知为锐角，且，则等于（

）A． B． C． D．9．（2023·河南新乡·统考一模）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，其中，且，则矩形的面积为（

）A．80 B．64 C．36 D．1810．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）汽车在沿坡比为的斜坡上前进150米，则汽车上升的高度为（

）A．75米 B．米 C．米 D．150米填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2016上·江苏盐城·九年级阶段练习）计算的结果．12．（2020上·江苏苏州·九年级统考期中）在中，，，，则．13．（2022上·山东泰安·九年级校考阶段练习）锐角中，，则的形状是.14．（2022下·九年级单元测试）如图，在中，．

15．（2022上·北京昌平·九年级统考期末）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为海里．16．（2023·河南信阳·校考三模）已知点，，，平分，交于点E，则直线对应的函数表达式是．17．（2019上·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校考期中）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是（，结果保留整数）18．（2023上·安徽滁州·九年级统考期末）如图，点A在轴的正半轴上，抛物线与直线在第一象限内的交点为，则的值为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·四川成都·校考三模）（1）计算： （2）化简：．20．（8分）（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）先化简，再求代数式（）÷的值，其中.21．（10分）（2023上·河南南阳·九年级校考期末）如图，在中，，，是边上一点，于点，，，求的长．22．（10分）（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）如图：已知一次函数图像与x轴、y轴分别交于点A、点B．，．

（1）求直线的解析式；（2）若点C在x轴上方的直线上，的面积为15，求．23．（10分）（2019下·全国·九年级统考期末）我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船观测到，同时，巡逻船观测到，，两巡逻船相距海里，求此时巡逻船与落水人之间的距离是多少海里？（结果精确到海里．参考数据：，，，）24．（12分）（2017·安徽六安·统考一模）综合与实践[问题情境]学习完《解直角三角形的应用》后，同学们对如何建立解直角三角形的模型测量物体的实际高度产生了浓厚的兴趣，数学老师决定开展一次主题为《测量学校旗杆高度》的数学实践活动，并为各小组准备了卷尺、测角仪等工具，要求各小组建立测高模型并测量学校旗杆的高度．[问题探究]第一小组的同学经过讨论，制定出了如下测量实施方案：第一步，建立测高模型，画出测量示意图（如图1），明确需要测量的数据和测量方法：用卷尺测量测角仪的高度和测角仪底部与旗杆底部之间的距离，用测角仪测量旗杆顶端的仰角；第二步，进行组员分工，制作测量数据记录表；第三步，选择不同的位置测量三次，依次记录测量数据；第四步，整理数据，计算旗杆的高，撰写研究报告．如表是该组同学研究报告中的数据记录和计算结果：测量组别的长（米）的长（米）仰角计算的高（米）位置1位置2位置3平均值研究结论：旗杆的高为米（1）表中的值为；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是．（2）该测量模型中，若，仰角为，用含的代数式表示旗杆的高度为．[拓展应用]（3）第二小组同学设计的是另外一种测量方案，他们画出的测量示意图如图2，测量时，固定测角仪的高度为m，先在点C处测得旗杆顶端B的仰角，然后朝旗杆方向前进m到达点H处，再次测得旗杆顶端B的仰角，请你帮他们求出旗杆的高度（结果保留根号）．参考答案：1．A【分析】利用＝a（a≥0）、tan30°=计算即可．解：∵tan30°=＜1，∴原式=1tan30°=．故答案选A.【点拨】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式等考点的运算．2．C【分析】先根据得到，则．解：∵，∴，∴，故选C．【点拨】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角度，求特殊角的三角函数值，熟知30度和60度的三角函数值是解题的关键．3．D【分析】首先根据锐角余弦函数值，随角度的增大而减小，然后根据特殊角的三角函数值，确定在哪两个特殊值之间即可．解：∵cos60°=，cos90°=0，∵0＜＜，∴cos90°＜cosA＜cos60°，∴60°＜A＜90°．故选D．【点拨】本题考查了余弦函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．4．A解：如图，作AD⊥BC于D点，则BD=DC=．∵AC=6，∴cos∠C=，∴∠C=30°．故选A．5．B【分析】作于点F，根据等腰三角形的性质可得，然后利用锐角三角函数即可解决问题解：作于点F，如图，∵，，∴，，∴，∴，故选B．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．6．C【分析】过A做的高，然后根据的三角函数值求出高，进而求出面积。解：过A点作AE⊥BC，垂足为E，，∴，在中，，∵，∴，∴平行四边形的面积，．故选C．【点拨】本题考查了利用三角函数求线段长度，构造直角三角形，并掌握特殊角三角函数值是解题的关键．7．C【分析】根据题意得出，在中，，，即可求解．解：∵为的中点，，∴，在中，，∴，故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．8．B【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．解：由，得：∴α10°=45°，∴α=55°，故选B．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．9．A【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可．解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴设，，则，，∴，∵，∴，∵，，∴，即，∴解得：，负值舍去，∴，，∴矩形的面积．故选：A．【点拨】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，三角形函数的运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．10．A【分析】首先根据题意作图，然后根据汽车在沿坡比为的斜坡上前进，即可求出∠B的度数，再根据在直角三角形中，30°所对的斜边等于直角边的2倍即可得到答案．解：根据题意作图，∵汽车在沿坡比为的斜坡上前进，∴AE∶AB=，∴，∴∠B=30°，在直角三角形ABE中，（米），故选A．【点拨】本题主要考查了坡角坡度问题，涉及的知识点有含30°角的直角三角形的性质、特殊三角函数值，解题的关键是能正确画出辅助图．11．【分析】根据特殊角的三角函数值及二次根式的性质化简计算即可.解：原式=

=故答案为：【点拨】本题是一道基础计算题，主要考查了特殊角的三角函数值及二次根式加减，熟练掌握上述知识点是解题的关键.12．10【分析】根据正弦的定义列式计算，即可得到答案．解：如图，∵，，∴sinA=，即，∴AB=10．故答案为：10．【点拨】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦是解题的关键．13．等边三角形【分析】根据特殊角的三角函数判断和的大小，再断三角形的形状即可．解：∵，∴，，又∵，，∴，，∴，∴，∴的形状是等边三角形，故答案为：等边三角形．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和等边三角形的判定，根据已知角的三角函数值判断出角的大小是解答本题的关键．14．【分析】先根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值．解：∵，，∴，，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．15．20【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．解：如图，过点A作AC⊥BD，依题意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20（海里）∴AC=BC=ABsin45°=10（海里）在Rt△ACD中，∠ADC=90°60°=30°∴AD=2AC=20（海里）故答案为：20．【点拨】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．16．/【分析】先求E点坐标，再求直线解析式．解：根据勾股定理可得：，，，∴，∴．∵平分，∴．

∵，∴，则，∴．设直线的解析式是，根据题意得：，解得：，则直线对应的函数表达式是：．【点拨】本题主要考查了待定系数法求函数解析式和点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要把点的坐标有机的和图形结合起来求解．17．20【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得．解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，由题意得：，，，在中，，，在中，，，在中，，即这架无人机的飞行高度大约是，故答案为：20．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．18．【分析】把代入求出点的坐标为，根据即可求出结果．解：当时，，解得，舍去，点的坐标为，．故答案为：．【点拨】本题主要考查了求一个角的正切值，一次二次函数值求自变量的值，解题的关键是求出点B的坐标．19．（1）；（2）【分析】（1）根据锐角三角函数、零指数幂、绝对值、二次根式的加减的运算法则求解即可．（2）根据完全平方公式、分式的运算性质求解即可．解：（1）原式．（2）原式．【点拨】本题主要考查锐角三角函数、零指数幂、绝对值、二次根式的加减、分式的混合运算等，牢记分式的基本性质是解题的关键．20．，【分析】先通分计算括号内的，将除法变成乘法，再约分化成最简，然后计算x的值，最后代入计算即可．解：．∵，∴．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，理解分式的运算法则是解题的关键．21．【分析】根据题意得，根据，求得，在在中，，得出，进而即可求解．解：∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴．【点拨】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．22．（1）；（2）【分析】（1）利用求出，再利用待定系数法求的解析式；（2）过点C作轴于点H，根据的面积求出，再根据一次函数的性质求出，则．（1）解：，点B在y轴正半轴上，，，，点A在x轴的负半轴上，，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得，直线的解析式为，（2）解：如图，过点C作轴于点H，则，

，，点C的纵坐标为5，点C在直线上，将代入，得，解得点C的横坐标为4，即，，，，．【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，解直角三角形，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形．23．52海里【分析】过点作，垂足为．设海里，在中，可得AC=，在中，可得，再根据，可解得x的值，最后根据可得出答案．解：如图，过点作，垂足为，设海里．在中，，在中，，，，解得．海里，（海里）．巡逻船与落水人的距离约为海里．【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，找到合适的直角三角形是解题的关键．24．（1）；减小误差；（2）；（3）旗杆的高度为m【分析】（1）表中n的值为三次测量的平均值：；该小组选择不同的位置测量三次，再以