专题25圆的有关计算与证明（共20道）（教师版）（02期）-2023年中考数学真题分类训练

专题25圆的有关计算与证明(20道)一、填空题1．(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则°．

【答案】66【分析】连接，则有，然后可得，则，进而问题可求解．【详解】解：连接，如图所示：

∵是的直径，且是的切线，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：66．【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角、弧之间的关系，熟练掌握切线的性质、圆周角、弧之间的关系是解题的关键．2．(2023·湖南常德·统考中考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，．(结果保留一位小数)【答案】0.1【分析】由已知求得与的值，代入得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，进而即可得解．【详解】∵，∴，∵C是弦的中点，D在上，，∴延长可得O在上，∴，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。弧长公式是关键．二、解答题3．(2023·辽宁盘锦·统考中考真题)如图，内接于，为的直径，延长到点G，使得，连接，过点C作，交于点F，交点于点D，过点D作．交的延长线于点E．

(1)求证：与相切．(2)若，，求的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】(1)连接，结合圆周角定理，根据，可得，再根据平行的性质，即有，进而可得，问题随之得证；(2)过C点作于点K，先证明四边形是平行四边形，即有，求出，即有，利用三角形函数有，同理，即可得，，进而有，再证明，可得，即可得，在中，有，问题随之得解．【详解】(1)连接，如图，

∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴半径，∴与相切；(2)过C点作于点K，如图，

∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴在，，同理，∵在中，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴．【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．4．(2023·江苏南通·统考中考真题)如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；(2)连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答．【详解】(1)证明：连接，

和底边相切于点，，，，，，，和都是等边三角形，，，，四边形是菱形；(2)解：连接交于点，

四边形是菱形，，，，在中，，，，图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，图中阴影部分的面积为．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．(2023·辽宁鞍山·统考中考真题)如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．

(1)求证：为的切线．(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)的半径为【分析】(1)连接，根据同角的补角相等，得到，等角的余角相等，得到，等边对等角，得到，推出，得到，即可得证；(2)连接，推出，利用锐角三角函数求出的长，设的半径为，证明，列出比例式进行求解即可．【详解】(1)证明：连接，

∵，，∴，∵为的直径，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，又为的半径，∴为的切线；(2)连接，则：，

∵为的直径，∴，∴，∴，在中，，，∴，设的半径为，则：，∵，∴，∴，即：，∴；∴的半径为．【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．6．(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．

(1)求证：是的切线．(2)若，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接，根据，得出．根据平分，得出，则．根据得出，进而得出，即可求证；(3)连接，过点O作于点F，通过证明为等边三角形，得出，．求出．最后根据即可求解．【详解】(1)解：连接，∵，∴．∵平分，∴，∴．∵，∴，∴，即，∴是的切线．(2)解：连接，过点O作于点F，∵，∴．∵，，∴为等边三角形，∴，．∵，，，∴．∴．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式．7．(2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题)已知内接于，为的直径，N为的中点，连接交于点H．

(1)如图①，求证；(2)如图②，点D在上，连接，，，交于点E，若，求证；(3)如图③，在(2)的条件下，点F在上，过点F作，交于点G．，过点F作，垂足为R，连接，，，点T在的延长线上，连接，过点T作，交的延长线于点M，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)连接，根据N为的中点，易证，再根据中位线定理得出结论；(2)连接，先证得，再根据得，根据即可得出结论；(3)连接，先证，再证四边形是矩形，过A作垂足为S，先证出，再能够证出从而，得到等腰直角，利用三角函数求出，再根据求出，最后用勾股定理求出答案即可．【详解】(1)证明：如图，连接，

为的中点，，，，，，是的中位线，；(2)证明：如图，连接，

设，，，，，，，，，

，；(3)解：连接，

，，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，是的直径，，四边形是矩形，，，过点A作垂足为S，，，，，，，，是的直径，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题是圆的综合题，考查圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、垂径定理、三角函数、勾股定理、圆周角定理等知识，构造辅助线解决问题是解题关键．8．(2023·江苏徐州·统考中考真题)两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边(阴影部分)，“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题(保留作图痕迹，不写作法)．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】(1)根据圆环面积可进行求解；(2)①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】(1)解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，∴它们的面积之比为；故答案为；(2)解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可

由作图可知满足比例关系为的关系；②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：

【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．9．(2023·辽宁·统考中考真题)如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．

(1)求证：EF与相切；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立；(2)设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解．【详解】(1)证明：连接，

∵，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵为半径，∴EF与相切；(2)解：设半径为x，则，∵，，∴，在中，，，∴，即，解得，经检验，是所列方程的解，∴半径为4，则，在中，，，，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．(2023·贵州·统考中考真题)如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．

(1)写出图中一个度数为的角：_______，图中与全等的三角形是_______；(2)求证：；(3)连接，，判断四边形的形状，并说明理由．【答案】(1)、、、；(2)证明见详解(3)四边形是菱形【分析】(1)根据外接圆得到是的角平分线，即可得到的角，根据垂径定理得到，即可得到答案；(2)根据(1)得到，根据垂径定理得到，即可得到证明；(3)连接，，结合得到，是等边三角形，从而得到，即可得到证明；【详解】(1)解：∵是等边三角形的外接圆，∴是的角平分线，，∴，∵是的直径，∴，∴，∴的角有：、、、，∵是的角平分线，∴，，在与中，∵，∴，故答案为：、、、，；(2)证明：∵，，∴；(3)解：连接，，∵，，∴，是等边三角形，∴，∴四边形是菱形．

【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．11．(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接，根据弦、弧、圆周角的关系可证，根据圆的性质得，证明，得到，根据切线的判定定理证明；(2)连接，，根据勾股定理得到的长，根据等弧对等弦得到，根据圆内接四边形对角互补得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：连接，

∵点C为的中点，∴，∴，∵，∴∴∴，∴，∵为半径，∴为切线；(2)解：连接，，

∵，∴，∵，，∴，∵D是的中点，∴，∴，∵为的直径，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的半径长为．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．(2023·吉林长春·统考中考真题)【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上(点P不与点A、C重合)，连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点E，使，连结，四边形是的内接四边形，．，．是等边三角形．，请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．【答案】感知：；探究：见解析；应用：【分析】感知：由圆周角定理即可求解；探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证；应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．【详解】感知：由圆周角定理可得，故答案为：；探究：证明：延长至点E，使，连结，四边形是的内接四边形，．，．是等边三角形．，，∴，，，是等边三角形，，，即；应用：延长至点E，使，连结，四边形是的内接四边形，．，．，，∴，，，是等腰直角三角形，，，即，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解．13．(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．

(1)求证：是的切线；(2)判断的形状，并说明理由；(3)当时，求的长．【答案】(1)见解析(2)是等腰三角形，理由见解析(3)【分析】(1)连接，根据圆周角定理得出，根据已知得出，根据得出，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得，即可得证；(2)根据题意得出，则，证明，得出，等量代换得出，即可得出结论；(3)根据，，设，则，等边对等角得出，则．【详解】(1)证明：如图所示，连接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵∴，即，又是的直径，∴是的切线；(2)∵，是的直径，∴，，∴，∵，，∵，∴，又，∴，∴是等腰三角形，(3)∵，，设，则，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．(2023·山东东营·统考中考真题)如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论；(2)如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答．【详解】(1)证明：如图：连接

∵，∴,∵，∴,∴,∴,∴。∵，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线．(2)解：如图：连接∵是的直径，∴,在中，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．15．(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．

(1)求证：是切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据垂径定理和圆周角定理可推出，利用已知条件进行等量转换即可求出，最后利用可证明，从而证明是切线．(2)根据互余的两个角相等，利用可求出，设参数表示出和，再根据勾股定理用参数表示出和，最后利用即可求出参数的值，从而求出长度，即可求的长．【详解】(1)解：连接，，如图所示，

，为的直径，，，，，，，，，，，是切线．(2)解：连接，如图所示，

由(1)得，，，，．，．设则，在中，，．在中，．，，．．，．．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，解题的关键在于利用参数表达线段长度．16．(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．

(1)求证：；(请用两种证法解答)(2)若，的半径为3，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】(1)证法一：连接，得到，因为，所以；证法二：连接，可得，则，根据，可得，即可得到结果；(2)连接，根据角度间的关系可以证得为直角三角形，根据勾股定理可得边的长，进而求得结果．【详解】(1)证法一：如图，连接，∵，∴，∵是的直径，∴，∴∵，∴，∴，

证法二：如图，连接，∵四边形是的内接四边形，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，∴，

(2)解：如图，连接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．∵的半径为3，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，

【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．17．(2023·湖南·统考中考真题)问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①)．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．(参考数据，)

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．(结果精确到米)【答案】(1)(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米【分析】(1)先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；(2)作于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解．【详解】(1)解：∵旋转一周用时120秒，∴每秒旋转，当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，，∵，∴；(2)解：作于点C，设与水平面交于点D，则，

在中，，，∴，，在中，，，∴，∴(米)，答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．18．(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)，【分析】(1)根据“连半径，证垂直”即可，(2)先由“直径所对的圆周角是直角”，证是直角三角形，用勾股定理求出长，再通过三角形相似即可求解．【详解】(1)连接

∵为的中点，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，为半径，∴为的切线，(2)∵为直径，∴，