《实变函数与泛函分析》课程教学大纲

《实变函数与泛函分析》教学大纲课程编号：120233B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课eq\o\ac(□,√)学科基础课□专业核心课□专业提升课□专业拓展课总学时：48讲课学时：48实验（上机）学时：0学分：3考试类型：□考试eq\o\ac(□,√)考查适用对象：数学与应用数学（金融方向）、统计学、经济统计学eq\o\ac(□,√)是□否适合作为其他专业学生的个性化选修课先修课程：数学分析Ⅰ、Ⅱ一、教学目标《实变函数与泛函分析》是高等院校数学专业、统计学专业和其它对数学要求较高专业的极为重要的数学基础课之一，深化了《数学分析》课程的学习，是学习测度论，高等概率论，随机过程等深入课程的基础。本课程是理解现代数学理论的必备基础。目标1：通过本课程的学习，掌握课程基本理论内容。目标2：培养学生严谨的逻辑思维和推理论证能力。目标3：提高学生运用数学工具来观察问题、思考问题、分析问题和解决问题的能力，为进一步学习现代数学科学和应用科学打下扎实的数学基础。目标4：培育有坚定理想信念、深厚爱国主义情怀、高尚道德情操，具有扎实数学和统计专业学识，坚韧奋斗进取品格的社会主义新青年。二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（一）教学内容及要求《实变函数与泛函分析》主要教学内容包括度量空间、勒贝格测度、勒贝格可测函数、勒贝格积分、微分与积分、L^p空间等。在教学过程中要细讲基本概念、基本性质及相关理论，使学生建立基本的知识框架，提高数学思维能力。在讲授勒贝格测度时，注意系统讲授实数集的代数结构，序结构，拓扑结构，最后引入测度结构，以及各种结构的相互作用。在讲课中，注意引入一些实际问题，激发学生的学习兴趣，逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。（二）教学方法和教学手段在课堂教学中，以启发式教学为主进行课堂讲授，板书教学和多媒体教学结合。课堂上加强与学生的互动，引导学生探索讨论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，提高课堂学习效率。本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主，使学生能够理论联系实际，学以致用，从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。（三）学习要求学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、完成作业等学习环节，以掌握本课程所学内容。（四）该课程与毕业要求的对应关系该课程是专业知识结构中极为重要的根基，可以使学生掌握数学分析的基本理论和方法，为后续课程的学习打下基础。同时，本课程可以培养学生严谨的逻辑思维和推理论证能力，提高学生运用数学工具解决实际问题的能力。三、各教学环节学时分配教学课时分配序号章节内容讲课实验其他合计1第九章度量空间的性质第一节度量空间的例子第二节开集，闭集，收敛列第三节度量空间之间的连续映射第四节完备度量空间第五节紧致度量空间第六节可分度量空间10102第二章勒贝格测度第一节简介第二节勒贝格外测度第三节勒贝格可测集构成σ-代数第四节勒贝格可测集的内逼近和外逼近第五节可数可加性，连续性，博雷尔-坎特利引理第六节不可测集第七节康托集，康托-勒贝格函数12123第三章勒贝格可测函数第一节函数加法，乘法，与复合第二节函数列的点态极限与简单逼近第三节李特伍德三原理，叶戈罗夫定理，鲁津定理884第四章勒贝格积分第一节黎曼积分第二节有界函数在有限测度集上的勒贝格积分第三节非负可测函数的勒贝格积分第四节勒贝格积分第五节可数可加性与积分的连续性第六节一致可积性，维塔利收敛定理10105第六章微分与积分单调函数的连续性单调函数的可微性，勒贝格定理有界变差函数，约当定理绝对连续函数导数的积分：对不定积分求导数凸函数336第七章L^p空间第一节线性赋范空间第二节杨，赫尔德，闵可夫斯基不等式。第三节L^p空间的完备性，里斯-费希尔定理第四节逼近与可分性337课程总结22合计4848四、教学内容第九章度量空间的性质第一节度量空间的例子第二节开集，闭集，收敛列第三节度量空间之间的连续映射第四节完备度量空间第五节紧致度量空间第六节可分度量空间教学重点、难点：度量空间中开集，闭集，紧集的概念。课程的考核要求：掌握度量空间中开集，闭集，紧集的概念。掌握紧集的等价条件。掌握用拓扑语言刻画函数的连续性。了解度量空间的可分性，连通性。复习思考题：1.什么是开集，闭集，和相应的集代数运算。2.紧集的等价条件。3.连续函数的拓扑刻画。第二章勒贝格测度第一节简介第二节勒贝格外测度第三节勒贝格可测集构成σ-代数第四节勒贝格可测集的内逼近和外逼近第五节可数可加性，连续性，博雷尔-坎特利引理第六节不可测集第七节康托集，康托-勒贝格函数教学重点、难点：勒贝格可测集构成σ-代数，勒贝格测度的可数可加性。课程的考核要求：掌握卡拉西奥多里条件，掌握勒贝格可测集构成σ-代数，勒贝格测度的可数可加性。了解勒贝格可测集的内逼近和外逼近，不可测集，康托集。课程思政切入点：概率论中学习了均匀分布，在本课程中严格的定义了均匀分布，培养求真精神。复习思考题：1.如何证明勒贝格可测集构成σ-代数。2.勒贝格测度的连续性与可数可加性的关系。第三章勒贝格可测函数第一节函数加法，乘法，与复合第二节函数列的点态极限与简单逼近第三节李特伍德三原理，叶戈罗夫定理，鲁津定理教学重点、难点：李特伍德三原理，叶戈罗夫定理，鲁津定理。课程的考核要求：掌握李特伍德三原理，叶戈罗夫定理，鲁津定理。理解简单逼近定理。课程思政切入点：李特伍德三原理用通俗语言形象生动的解释数学定理，在学习数学时注意培养人文素养。复习思考题：1.可测集与区间的关系。2.可测函数与连续函数的关系。3.函数收敛与一致收敛的关系。第四章勒贝格积分第一节黎曼积分第二节有界函数在有限测度集上的勒贝格积分第三节非负可测函数的勒贝格积分第四节勒贝格积分第五节可数可加性与积分的连续性第六节一致可积性，维塔利收敛定理教学重点、难点：法图引理，单调收敛定理，勒贝格控制收敛定理。课程的考核要求：掌握法图引理，单调收敛定理，勒贝格控制收敛定理。理解勒贝格积分的构造过程。复习思考题：1.法图引理，单调收敛定理，勒贝格控制收敛定理与例子。2.勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系。第六章微分与积分单调函数的连续性单调函数的可微性，勒贝格定理有界变差函数，约当定理绝对连续函数导数的积分：对不定积分求导数凸函数教学重点、难点：单调函数的可微性，有界变差函数，绝对连续函数的概念。课程的考核要求：了解有界变差函数，绝对连续函数的概念。了解在勒贝格积分的意义下重新讨论牛顿-莱布尼茨公式。课程思政切入点：从实变函数的角度更加深入的研究微积分学的理论问题，改进了的牛顿-莱布尼茨公式，坚定拼搏的信念，勇于创新。复习思考题：1.有界变差函数的概念与例子。2.绝对连续函数的概念与例子。第七章L^p空间第一节线性赋范空间第二节杨，赫尔德，闵可夫斯基不等式。第三节L^p空间的完备性，里斯-费希尔定理第四节逼近与可分性教学重点、难点：无穷维线性空间的概念。课程的考核要求：了解线性赋范空间的概念。了解杨，赫尔德，闵可夫斯基不等式。复习思考题：1.杨，赫尔德，闵可夫斯基不等式的离散形式2.L^p空间的例子。五、考核方式、成绩评定本课程采用闭卷考试的方式进行考核。考核成绩包括平时成绩与期末考试成绩，其中平时成绩（包括作业、考勤、课堂表现及期中考试）占40%，期末考试成绩占60%。六、主要参考书及其他内容教材H.L.罗伊登，P.M.菲茨帕特里克.《实分析》（原书第4版）北京:机械工业出版社.2019年。教学参考书[1]WalterRudin