专题31几何综合压轴题（共23道）（学生版）（02期）-2023年中考数学真题分类训练

专题31几何综合压轴题(23道)一、解答题1．(2023·江苏·统考中考真题)如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形，点、在边上()，且点、、、在直线的同侧；第二步，设置，矩形能在边上左右滑动；第三步，画出边的中点，射线与射线相交于点(点、不重合)，射线与射线相交于点(点、不重合)，观测、的长度．(1)如图，小丽取，滑动矩形，当点、重合时，______；(2)小丽滑动矩形，使得恰为边的中点．她发现对于任意的总成立．请说明理由；(3)经过数次操作，小丽猜想，设定、的某种数量关系后，滑动矩形，总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．2．(2023·辽宁盘锦·统考中考真题)如图，四边形是正方形，点M在上，点N在的延长线上，，连接，，点H在的延长线上，，点E在线段上，且，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，使得，交于点F．(1)线段与线段的关系是______．(2)若，，求的长．(3)求证：．3．(2023·辽宁鞍山·统考中考真题)如图，在中，，，点D是射线上的动点(不与点B，C重合)，连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接，，．

(1)如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是________，________．(2)如图2，点D在线段上，当，时，求证：．(3)当，时，直线与直线交于点N．若，，请直接写出线段的长．4．(2023·湖南益阳·统考中考真题)如图，在中，，，点D在边上，将线段绕点D按顺时针方向旋转得到，线段交于点E，作于点F，与线段交于点G，连接．

(1)求证：；(2)求证：；(3)若，，当平分四边形的面积时，求的长．5．(2023·山东济南·统考中考真题)在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．

(1)如图1，连接，求的度数和的值；(2)如图2，当点在射线上时，求线段的长；(3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．6．(2023·江苏泰州·统考中考真题)如图，矩形是一张纸，其中，小天用该纸玩折纸游戏．游戏1

折出对角线，将点B翻折到上的点E处，折痕交于点G．展开后得到图①，发现点F恰为的中点．游戏2

在游戏1的基础上，将点C翻折到上，折痕为；展开后将点B沿过点F的直线翻折到上的点H处；再展开并连接后得到图②，发现是一个特定的角．(1)请你证明游戏1中发现的结论；(2)请你猜想游戏2中的度数，并说明理由．7．(2023·湖南娄底·统考中考真题)鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形的边的延长线相交于点F，的平分线交于点M．

(1)求证：．(2)若，求的长．(3)求的值．8．(2023·辽宁沈阳·统考中考真题)如图，在纸片中，，，，点为边上的一点(点不与点重合)，连接，将纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为、，射线与射线交于点．(1)求证：；(2)如图，当时，的长为______；(3)如图，当时，过点作，垂足为点，延长交于点，连接、，求的面积．9．(2023·宁夏·统考中考真题)综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现如图1，在中，，．

(1)操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______(用含的式子表示)；(2)进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在(1)的条件下试证明：；拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．

10．(2023·山东泰安·统考中考真题)如图，、是两个等腰直角三角形，．

(1)当时，求；(2)求证：；(3)求证：．11．(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．

(1)当点E在线段上，时，如图①，求证：；(2)当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；(3)在(1)、(2)的条件下，若，，则_______．12．(2023·辽宁营口·统考中考真题)在中，，点E在上，点G在上，点F在的延长线上，连接．，．

(1)如图1，当时，请用等式表示线段与线段的数量关系______；(2)如图2，当时，写出线段和之间的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，当点G是的中点时，连接，求的值．13．(2023·江苏徐州·统考中考真题)【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：．【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为_______．

14．(2023·辽宁·统考中考真题)在中，，，点为的中点，点在直线上(不与点重合)，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．(1)如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；(2)如图，当点在线段上时，求证：；(3)连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．15．(2023·贵州·统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．

(1)【动手操作】如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由．16．(2023·吉林长春·统考中考真题)如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．()

(1)当点和点重合时，线段的长为__________；(2)当点和点重合时，求；(3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；(4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．17．(2023·甘肃兰州·统考中考真题)综合与实践【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．

18．(2023·山东东营·统考中考真题)(1)用数学的眼光观察．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．(2)用数学的思维思考．如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．(3)用数学的语言表达．如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．19．(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点．

(1)如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若，且，①求证：；②当时，设，求的长(用含的代数式表示)．20．(2023·湖南·统考中考真题)问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．

特例感知：(1)当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；(2)小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；规律探究：(3)如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．二、填空题21．(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，在正方形中，E在边上，交对角线于点F，于M，的平分线所在直线分别交，于点N，P，连接．下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是．

22．(2023·山东日照·统考中考真题)如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所