专题26直线与圆的位置关系（全章直通中考）（提升练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.6直线与圆的位置关系（全章直通中考）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·山东·统考中考真题）在中，，下列说法错误的是（）A． B．C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形2．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（

）

A． B． C． D．3．（2023·山西·统考中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（

）．

A． B． C． D．4．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（

）

A． B． C． D．一定经过的内心5．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（）

A． B． C． D．6．（2023·重庆·统考中考真题）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（

）A．6 B．7 C．8 D．98．（2022·宁夏·中考真题）把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（）A． B．C． D．9．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．10．（2022·广东深圳·统考中考真题）如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，为直径，则和面积之比为（

） B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·海南·统考中考真题）如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则度．12．（2023·北京·统考中考真题）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为．

13．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则°．

14．（2023·河南·统考中考真题）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为．15．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则．

16．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为．

17．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为．

18．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为；的最大值为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．

（1）求证：；（2）若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积．20．（8分）（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求的半径长．21．（10分）（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，将矩形沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．

（1）求证：．（2）当，时，求的长．22．（10分）（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．

（1）求证：是的切线；（2）若，求的长；（3）若，求证：．23．（10分）（2022·四川巴中·统考中考真题）四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点．（1）如图1，若，且，求证：平分；（2）如图2，连接，若，求证：．24．（12分）（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，已知，是的直径，是的切线，点在的延长线上，，交于点，（1）求证：；（2）求证：；（3）若的面积，求四边形的面积．参考答案：1．C【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．解：∵，∴即，故A说法正确；当时，，若以为底，高，∴，故B说法正确；设内切圆的半径为r，则，∵，∴，，∵，∴，∴，故C说法错误；当时，，∴是直角三角形，故D说法正确；故选：C．【点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形面积，三角形内切圆半径以及勾股定理的逆定理，掌握内切圆半径与圆的面积周长之间的关系是解题的关键．2．B【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．解：如图所示，作延长线于点，连接，

∵，，∴，∴四边形为矩形，，，∴为的切线，由题意，为的切线，∴，，∵，∴设，，，则，，在中，，在中，，∵，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，∴，∴，故选：B．【点拨】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．3．B【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．解：如图：

∵，∴，∵过点的两条切线相交于点，∴,∴,∴．故选B．【点拨】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．4．C【分析】根据作图可得是的角平分线，根据角平分线的性质得出，即可判断B，证明，根据全等三角形的性质，即可判断A，根据三角形内心的定义，即可判断D选项，假设成立，得出，即可判断C选项．解：根据作图可得是的角平分线，点在上，，∴，故B选项正确，在中，，∴，∴，故A选项正确；∵是的角平分线，三角形的内心是三条角平分线的交点，∴一定经过的内心，故D选项正确；若，则，，又，则，∴，而题目没有给出这个条件，故C选项不一定正确，故选：C．【点拨】本题考查了作角平分线，三角形角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内心的定义，熟练掌握基本作图是解题的关键．5．B【分析】连接，，首先根据勾股定理求出，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，，证明出，利用相似三角形的性质求出．解：如图所示，连接，，

∵，，，∴，∵以为直径的半圆与相切于点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，∴解得．故选：B．【点拨】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．6．B【分析】连接，先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质即可得．解：如图，连接，

直线与相切，，，，，，，故选：B．【点拨】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．7．B【分析】过点作，根据切线长定理设，进而结合已知条件表示出，求得的长，进而即可求解．解：如图，过点作，∵是的内心，∴，设，∵BD＝10，∴，∴,，∵，∴，解得，∴，故选B．【点拨】本题考查了三角形内心的性质，切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．8．C【分析】先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案．解：在中，，∴，，，连接，则，∵外圆弧与斜边相切，∴∠BEO＝90°，在中，，，，根据勾股定理得，，，故选：C．【点拨】此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键．9．C【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解．解：如图，连接,，

边长为的正方形内接于，即，，，为的直径，，，分别与相切于点和点，，四边形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，．故选C．【点拨】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．10．B【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可．解：如图取中点O，连接．∵是圆O的直径．∴．∵与圆O相切．∴．∵．∴．∵．∴．又∵．∴．∵，，．∴．∴．∵点O是的中点．∴．∴．∴故答案是：1：2．故选：B．【点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．11．100【分析】由切线的性质可得，则，通过计算可得，再由圆周角定理即可得到答案．解：为的直径，是的切线，，，，，，故答案为：100．【点拨】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理，熟练掌握切线的性质及圆周角定理是解题的关键．12．【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．解：∵，∴，．∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切线，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴．故答案为：．【点拨】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出．13．66【分析】连接，则有，然后可得，则，进而问题可求解．解：连接，如图所示：

∵是的直径，且是的切线，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：66．【点拨】本题主要考查切线的性质、圆周角、弧之间的关系，熟练掌握切线的性质、圆周角、弧之间的关系是解题的关键．14．【分析】连接，证明，设，则，再证明，列出比例式计算即可．解：如图，连接，∵与相切于点A，∴；∵,∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，设，则，∴，解得，故的长为，故答案为：．【点拨】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键．15．/度【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则．解：如图所示，连接，设交于H，∵是的内切圆，∴分别是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∵与分别相切于点，，∴，又∵，∴是的垂直平分线，∴，即，∴，故答案为：．

【点拨】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．16．或【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可．解：连接，

∵以为直径的半圆O与相切于点D，∴，，∴设，则，在中：，即：，解得：，∴，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵为等腰三角形，当时，，当时，∵，∴点与点重合，∴，

不存在的情况；综上：的长为或．故答案为：或．【点拨】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键．17．24【分析】设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可．解：设，∵与轴相切于点，∴轴，∴，则点D到的距离为a，∵为的直径，∴，∴，解得：，故答案为：．【点拨】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．18．【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；（2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值．解：由题意可得的面积等于矩形的一半，∴的面积为，在中，，∴当最大时，即最大，由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：

由题意可得：，，∴，，∴∵，∴，∴，∴，∴，在中，，故答案为：，．【点拨】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键．19．（1）证明过程见分析；（2）①2；②【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论；（2）①证出，再由直角三角形的性质即可求解；②由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可．解：（1）证明：如图，连接，∵是的切线，点D为切点，∴，∵，，，∴，∴；

（2）解：①∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴半圆O的半径为2；②在中，，，∴，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．20．（1）见分析；（2）的半径长为．【分析】（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；（2）设，则，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可．解：（1）证明：连接，如下图所示，

∵是的平分线，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，又∵过半径的外端点B，∴与相切；（2）解：设，则，∵在中，，，，∴，∵，∴，∴，即，解得．故的半径长为．【点拨】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．21．（1）见分析；（2）【分析】（1）连接，由切线的性质得，则，由矩形的性质得，再由直角三角形两锐角互余得，根据对顶角相等和同圆的半径相等得，，然后由等角的余角相等得，最后由等角对等边得出结论；（2）由锐角三角函数得，，得，由翻折得，由得，再由矩形对边相等得，最后在中解直角三角形即可得出结论．解：（1）证明：如图，连接．

∵与相切于点E，∴，∴．∵四边形是矩形，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．（2）解：在中，，，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，由翻折可知，，∵四边形是矩形，∴，在中，，∴．【点拨】本题是四边形与圆的综合题，考查了矩形的性质、切线的性质、翻折的有关性质、锐角三角函数的定义，正确作出辅助线，巧用解直角三角形是解答本题的关键．22．（1）证明见分析；（2）；（3）证明见分析【分析】（1）由是的直径得到，则，由得到，则，结论得证；（2）证明，则，可得，解得或3，由即可得