《高等代数与几何II》课程教学大纲

《高等代数与几何Ⅱ》教学大纲课程编号：121184A课程类型：eq\o\ac(□)通识教育必修课□通识教育选修课eq\o\ac(□,√)学科基础课□专业核心课□专业提升课□专业拓展课总学时：64讲课学时：64实验（上机）学时：xx学分：4考试类型：eq\o\ac(□,√)考试□考查适用对象：统计学数学与应用数学（金融方向）专业□是eq\o\ac(□,√)否适合作为其他专业学生的个性化选修课先修课程：高等代数与几何I一、教学目标《高等代数与几何II》是数学专业两门最重要的专业基础课之一，其主要内容有多项式理论与线性代数两部分。本课程主要是在学习方法和数学思想上初步完成从中学数学走向大学数学的适应与过渡，逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力，使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、近世代数、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。目标1：在学习方法和数学思想上初步完成从中学数学走向大学数学的适应与过渡；目标2：逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力，使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法；目标3：为后继课程如常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、近世代数、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。目标4：培养具有坚定理想信念、深厚爱国主义情怀、高尚道德情操，具有扎实数学与统计专业学识，坚韧奋斗进取品格的社会主义新青年。二、教学内容及其与毕业要求的对应关系本课程在教学中要求学生正确理解《高等代数与空间解析几何》中的基本概念，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。在讲解内容的同时，重点传授代数学的基本思想。所选教材以线性空间为纲的做法，即把高等代数的主要内容放在线性空间的框架下展开，同时将必要的代数方法做尽可能详细的介绍。讲课的难点在于把握几何直观和代数方法的对应关系和互动关系，使学生既能从几何的观点更好地理解内容，又可把握简洁和直接的代数方法。通过活泼互动的课堂教学，刺激学生的学习兴趣；通过探索讨论课，调动学生的学习主动性；教学中逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力。每一章的重点内容要突出，在讲清概念的基础上，通过适当的练习（课堂讨论、作业、习题课、自学课外资料、问题探讨等）以达到掌握高等代数中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及提高综合计算和解决问题的能力的目的。难点要逐步引入，分散讲解。本大纲列入部分带“*”的内容，供学生自学。本课程的考核成绩采取平时成绩（含课堂参与度、作业、小测验）与期末闭卷测试成绩相结合的方式，拟按4:6比例分配。我校学习本课程的学生是金融数学与应用统计学专业，故在教学过程中应及时了解学生的学习状态，必要时可以合理调整教学模式。三、各教学环节学时分配以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：教学课时分配序号章节内容讲课实验其他合计1第六章线性空间2000202第七章线性变换2200223第八章欧式空间1600164第九章双线性函数6006合计640064四、教学内容第六章线性空间第一节线性空间的定义第二节线性相关第三节秩、维数与基第四节基变换与坐标变换第五节线性子空间第六节子空间的交与和第七节子空间的直和第八节线性空间的同构正确理解线性空间的公理化定义，正确从定义出发判断和证明向量组的线性关系，把握一批重要实例（特别n维行向量空间）的基与维数，熟练应用基变换与坐标变换公式，熟悉直和的概念和等价条件、直和分解的思想，熟悉同构的思想，等价分类的思想。教学重点：线性相关性，线性空间的基与维数、直和分解，线性空间的同构。教学难点：向量组的线性相关性，培养学生严谨的逻辑推理能力和准确简明的表达能力，向量组的极大线性无关组和空间的基，向量组的秩与空间维数的联系与差别；子空间的直和分解的证明方法；关注同构观点，同构映射保持线性相关性，保持子空间的维数，保持直和分解；从向量组，线性空间，线性方程组，等角度理解矩阵的秩的含义。课程的考核要求：判别线性相关性，求线性空间的基与维数，直和的判别与分解。复习思考题：讨论线性空间的数学抽象性。体会将事物的本质提炼出来建立抽象系统进行研究。第七章线性变换第一节线性变换的概念第二节线性变换的运算第三节线性变换的矩阵表示与方阵相似第四节特征值与特征向量第五节相似于对角阵的矩阵第六节不变子空间第七节Jordan标准形理解和掌握线性映射（变换）的概念，理解线性映射由基的像唯一确定及其应用；掌握两个线性空间之间的线性映射（变换）的全体在定义了加法、数乘（和乘法）运算后构成线性空间（代数）；掌握用核空间与像空间刻画单满线性映射，掌握维数公式；学会在同构意义下线性映射的命题与矩阵的命题之间的转化；学会以上内容在具体例子的实现和计算。教学重点：线性映射由基的像唯一确定，并且用以构造线性映射；线性映射与矩阵的同构对应；维数公式的扩基证明方法和同构对应的证明方法。教学难点：在同构的框架下，详细讨论两个线性空间的线性映射（变换）所构成的线性空间（代数）与矩阵空间（代数）的对应；维数公式的证明方法，特别是方法体现的思想；讲授不变子空间时注意线性变换和在不变子空间的导出变换的联系和差别。课程的考核要求：线性变换的运算，计算特征值与特征向量，方阵对角化。复习思考题：学习和探索线性变换在科技中的应用。第八章欧式空间第一节定义第二节标准正交基第三节欧式空间的同构第四节欧式空间的子空间第五节共轭变换与正规变换第六节正交变换第七节对称变换第八节向量到子空间的距离最小二乘法使学生掌握欧氏空间的度量概念与度量性质，掌握正交相似关系，掌握正交变换和正交矩阵的对应，对称变换与对称矩阵的对应，从矩阵的正交相似关系进一步熟练掌握等价分类的思想。教学重点：线性变换与矩阵的同构对应关系。教学难点：伴随变换与表示矩阵的关系。课程的考核要求：标准正交基，标准正交基的过度矩阵，Schmidt正交化，正交补空间，伴随变换与表示矩阵；正交变换与正交阵的判别及性质。复习思考题：课后习题。体会学习过程中不断坚持探索，并能有所收获的乐趣。第八章双线性函数与辛空间第一节线性函数第二节对偶空间第三节双线性函数*第四节辛空间在线性空间的基础上引入线性函数和双线性函数，使得二次型、欧式空间等可以统一到双线性函数之下来讨论，了解辛空间及其简单性质。教学重点与难点：对称双线性函数，将对称双线性函数理论与二次型理论及对称矩阵的理论统一起来研究。课程的考核要求：双线性函数的判定及简单应用。复习思考题：与二次型、欧式空间内容比较，课后习题。五、考核方式、成绩评定本课程的考核成绩采取平时成绩（含课堂参与度、作业、小测验）与期末闭卷测试成绩相结合的方式，拟按3:7比例分配。六、主要参考书及其他内容[