专题229相似形章末十大题型总结（培优篇）（沪科版）

专题22.9相似形章末十大题型总结（培优篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1由比例的性质求值或证明】 1【题型2由平行判断成比例的线段】 1【题型3黄金分割】 1【题型4证明两三角形相似】 2【题型5证明三角形的对应线段成比例】 2【题型6确定相似三角形的点的个数】 2【题型7相似与翻折】 2【题型8利用相似求坐标】 2【题型9在网格中作位似图形】 2【题型10相似三角形的应用】 3【题型1由比例的性质求值或证明】【例1】（2023秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知a+bc=b【答案】8或-【分析】观察(a+b)c=(b+c)a=(c+a)b与(a+b)(b【详解】设a则a(a+2(即(所以a+b当a+ba+bc=-1所以(a+b)(当k=2(所以(a+故答案为8或1【点睛】做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设a+【变式11】（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a【答案】△ABC三边的长为6，8，【分析】设a3=b4=c5=k，则a【详解】解：设a3=b4=c5∵a∴3k解得：k=2∴a=3k=6，∴△ABC三边的长为6，8，10【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．【变式12】（2023秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）已知线段a、b满足a(1)求a、(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求【答案】(1)a(2)c【分析】（1）利用a:b=1:2，可设a=k,b=2k（2）根据比例中项的定义得到c2=ab【详解】（1）∵∴设a=∵a∴k∴k∴（2）∵c是a、b∴c∵c是线段，c∴c【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a,b,c,d【变式13】（2023秋·广东珠海·九年级统考期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.（1）若ab=2，cd=2，则badc，acbd（用“＞（2）若ab=cd,（3）令ac=bd=t,若分式【答案】（1）=；=；（2）ba+b=【分析】（1）由ab=2，cd=2，得到a=2b，（2）设ab=t，则cd=t，得到a=（3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论.【详解】（1）∵ab=2，∴a=2b，c=2d，∴ba=d故答案为：==；（2）ba+b=设ab=t∴a=bt，c=dt，∴badc∴ba+b（3）∵ac∴a=ct，b=dt.∵2a+∴2t解得：t=12经检验：t=12是原方程的解【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键.【题型2平行判断成比例的线段的运用】【例2】（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，点M是EF的中点，连接BM

A．320 B．29 C．16【答案】A【分析】过点F作FG∥BN交AC于点G,可证EN=GN．同理，可得AEEC=ADDB=13，EC=3AE，AEEC=BFFC=【详解】解：过点F作FG∥BN交AC于点∴EN∴EN=∵DE∥∴AEEC∴EC=3∵EF∥∴AEEC∵FG∥∴BFFC∴GC=3设EN=NG=∴EC∴EC=3∴AE=∴AC=∴ENAC故选：A【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键．【变式21】（2023秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF=2

【答案】6【分析】根据平行线分线段成比例定理的推论——“平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”，先由EF∥CD，得EFCD=BF【详解】解：∵△BCD中，EF∴EFCD∵EF=2，CD∴23∴DFDB∵AB∥∴EFAB∴AB=3【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题的关键是从图形中找准成比例的线段．【变式22】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，E在BC上，且EC=2BEA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】取CE的中点M，连接DM，根据三角形中位线定理得DM∥AE，【解答】解：如图，取CE的中点M，连接DM，∵D是AC边上的中点，∴DM∥AE∵EC=2∴EFDM=∴EF=∴12∴AE=4∴AFFE故选:B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键．【变式23】（2023秋·四川成都·九年级校考期中）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=3，BC=1，BF分别交AC，DC，DE于P，Q，【答案】1【分析】过点F作FH⊥BG于点H，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出EH=HG=12EG=12，FH=EF2-EH2【详解】解：过点F作FH⊥BG于点∵△ABC，△DCE，∴BC=CE=∠ABC∵FH⊥∴EH=∴FH=∴BH=∴BF=∵∠ACB∴AC∥同理可得：DE∥∴AC∥∴BPBC∵BC=∴BP=∵BP+∴BP=∵∠BCD=180°-∠DCE又∵∠DCE∴∠BCD∴CD∥∴BQQP∴BQ=∴PQ=故答案为：12【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，求出BP=1，BQ【题型3黄金分割的运用】【例3】（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段AB的黄金分割点，且AB=2，则图中五边形CDEFG的周长为（

A．25-2 B．103 C．【答案】C【分析】根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=5-12AB=【详解】解：∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，∴AC=BD=5∴CD=BD∴五边形CDEFG的周长525故选：C．【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．【变式31】（2023春·山东威海·九年级校联考期末）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段．

【答案】AF【分析】根据作图可知，∠ABD=90°，DB=DF=BM=12AB，设【详解】解：根据作图可知，∠ABD=90°，设DB=DF=∴根据勾股定理得，AD=∴AF∴AF∴以A为圆心，“AF”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点．故答案为：AF．【点睛】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出AFAB【变式32】（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长AB=20米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走

【答案】30-10【分析】根据黄金分割的概念，可求出AP，【详解】由题意知AB=20BPAP∴AP∴BP=20-(105故主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走(30-105)故答案为：30-105【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．【变式33】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市立达中学校校考期末）已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点（AP

(1)求线段AP的长；(2)以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ=AP，连接QP，若QP平分∠【答案】(1)5(2)2【分析】（1）根据黄金分割点的定义得出BP=（2）根据角平分线的性质得出P到AQ、BQ的距离相等，可得出S△PAQS【详解】（1）解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP>∴AP=（2）解：∵QP平分∠AQB∴P到AQ、BQ的距离相等，∴S△又由（1）AP=∵AB=2∴PB=∴AQ=【点睛】本题考查黄金分割点的定义，角平分线的性质等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用．【题型4证明两三角形相似】【例4】（2023秋·广东清远·九年级统考期末）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF

(1)△BDG(2)BG⊥【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先判断出∠FDC=∠EBC（2）由三角形的内角和定理可求∠DGE【详解】（1）证明：由旋转可知：△BCE∴∠FDC∵BE平分∠∴∠DBE∴∠FDC∵∠DGE∴△BDG（2）证明：∵∠EBC=∠GDE∴∠DGE∴BG【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．【变式41】（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，已知∠B=∠E(1)求CE的长；(2)求证：△ABC【答案】(1)CE(2)见解析【分析】（1）利用勾股定理求出EF，再用EF-CF即可求出（2）先求出BC的长，得到ABDE=BC【详解】（1）解：∵DE=15,∴EF=∴CE=（2）证明：∵BF=3，CF∴BC=∵ABDE=6∴ABDE∵∠B∴△ABC【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定．熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定方法，是解题的关键．【变式42】（2023秋·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为点D，点M是AC上的一点，连接BM，作（1）求证：ΔBCP~（2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来.【答案】（1）详见解析；（2）ΔACD~ΔABC；ΔACD~ΔBCD；ΔBCD【分析】（1）由∠ACB=90∘，CD⊥AB证得∠A（2）利用直角与公共角的关系得到ΔACD~ΔABC；ΔACD~ΔBCD；【详解】（1）∵AB∴∠∴∠A又∵NM∴∠∴∠AMN∴ΔAMN（2）∵AB∴∠ACB=∠ADC=∠BCD=90°，∵∠A=∠A,∴ΔACD~∵∠ABC=∠CBD,∴ΔBCD~∴ΔACD~∵MN⊥∴∠BMN=∠BDP=90°，又∵∠DBP=∠MBN,∴ΔBDP~∴共4对相似三角形：ΔACD~ΔABC；ΔACD~ΔBCD；【点睛】此题考查相似三角形的判定，注意公共角在证明三角形相似中的作用，再由已知条件所给的都是关于角的条件，因此通过证明两组角分别相等证明两个三角形相似比较简单.【变式43】（2023秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F(1)求证：△ABF(2)若AB=23，AD=4(3)当点F是线段BC的中点时，求证：AF【答案】(1)证明见解析(2)2(3)证明见解析【分析】（1）利用同角的余角相等，先说明∠BAF=∠（2）先利用勾股定理求出BF，再利用相似三角形的性质得方程，求解即可．（3）由△ABF∽△FCE，可得ABCF=BFCE=AFEF，结合【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠∵△ADE沿AE翻折得到△AFE∴∠D=∠∵∠BAF+∠∴∠BAF=∠又∵∠B=∠∴△ABF（2）∵四边形ABCD是矩形，AB=23，∴AB=CD=23∵△ADE沿AE翻折得到△AFE∴AD=AF=4，在Rt△ABF中，BF设CE的长为x，则DE=EF∵△ABF∽△∴BFCE=∴CE⋅AF即4x=2∴x=即EC=（3）∵△ABF∴ABCF∵F为BC的中点，∴BF=∴ABBF∵∠AFE∴△ABF∴ABAF∴AF【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键．【题型5证明三角形的对应线段成比例】【例5】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取【答案】见解析【分析】过点E作EM//AB交BC于点M，可得到△CEM∼△CAB，△FEM∼△FDB，进而有EM【详解】如图，过点E作EM//AB交BC于点∵EM//∴△CEM∼△CAB∴EMAB=CEAC∴AB⋅即ABAC=∵BD∴EMCE=∴ABAC∴AB【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质．【变式51】（2023春·江西南昌·九年级统考期末）(1)已知抛物线y=ax2-6x+(2)

如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AB边上的点，且∠ADE=∠C．求证：BD【答案】（1）y=-3x2-【分析】1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）由AB=AC可得∠B=∠C，由已知条件∠ADE=∠C可证∠BDE=∠CAD，根据相似三角形的判定定理即可证△BDE∽△CAD，由相似三角形的性质可得结论．【详解】（1）解：由题意得，4a+12+∴抛物线的解析式为y=-3（2）证明：∵AB=AC

∴∠B=∠C∵∠ADB=∠C+∠DAC

∠ADE=∠C．

∠ADB=∠ADE+∠BDE∴∠DAC=∠BDE∴△BDE∽△CAD

∴AC∴BD·故答案为（1）y=-3x2-【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定及性质，解题的关键是能够掌握并熟练运用所学知识．【变式52】（2023·上海松江·统考一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且求证：(1)△ABD(2)BD⋅【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由BE2=EF⋅EC可证△BEF∼△CEB（2）由△BEF∼△CEB得到BFBC=BECE，△【详解】（1）∵BE∴BE∵∠BEF∴△∴∠∵AD∥∴∠∴△ABD（2）∵△BEF∴BF∵△ABD∴AB∴BF∴BE∴BE⋅【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键．【变式53】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E.求证：ADDB【答案】证明见解析.【分析】根据CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，故BC=CE；根据平行线的性质及BC=CE可得出结论．【详解】解：证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD．又∵BE∥CD，∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．∵∠ACD=∠BCD，∴∠CBE=∠CEB．∴BC=CE．∵BE∥CD，∴ADDB又∵BC=CE，∴ADDB【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质．【题型6确定相似三角形的点的个数】【例6】（2023春·江苏苏州·九年级校联考期末）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为b4，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用相似三角形的对应边成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP两种情况分别求解即可.【详解】∵点P的纵坐标为b4∴点P在直线y＝b4①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，12)②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，∴PA2＝AB•OA，∴b216＝b﹣∴(b﹣8)2＝48，解得b＝8±43，∴P(1，2+3)或(1，2﹣3)，综上所述，符合条件的点P有3个，故选D．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键.【变式61】（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．【详解】解：根据题意得：AC=∴AC∴该三角形为直角三角形，且两直角边的比为BCAC第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，则两直角边的比为2，故第1个图形中三角形与△ABC相似；第2个图形中，三边长分别为12+22=∵52则该三角形是直角三角形，两直角边的比为1，故第2个图形中三角形不与△ABC相似；第3个图形中，三边长分别为12+22=∵52则该三角形不是直角三角形，故第3个图形中三角形不与△ABC相似；第4个图形中，三边长分别为12+22=∵52则该三角形是直角三角形，两直角边的比为2，故第4个图形中三角形与△ABC相似；故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．【变式62】（2023秋·九年级单元测试）如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=6cm，D是AC上一点，AD=2cm，点P从C出发沿C→B→A方