3.6 运算律解决问题策略多样化（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学四年级下册同步培优讲义（人教版）

3.6运算律解决问题策略多样化第一部分第一部分学问清单计算某些特殊的乘法算式时，可以将其中一个因数拆分成两个数的积，再运用乘法交换律和乘法结合律来进行简算；也可以将其中一个因数拆分成两个数的和，再运用乘法安排律来进行简算。一个数连续除以两个数，可以改为除以两个数的积。用字母表示：a÷b÷c=a÷(b×c)b、c,皆不为0。两数相乘，若其中一个因数是25(或125)，而另一个因数正好是4(或8)的几倍，可将另一个因数拆分成4(或8)与其他数的乘积的形式，再利用乘法运算定律进行简算；也可将另一个因数拆分成几十加几的形式，再利用乘法运算定律进行简算。一个数连续除以两个数，若这两个数相乘的积是整十、整百或整千的数，可以改写成除以这两个除数的积，这样可使计算简便。计算两商之和(或差)时，假如除数相同，可以先把两个被除数相加(或相减)，再除以这个相同的除数，这样可使计算简便。其次部分其次部分典型例题例1：计算630÷35时，正确的简便算法是（

）。A．630÷7÷5 B．630÷7×5 C．630÷5×7答案：A分析：乘法口诀“七九六十三”，63÷7＝9，整数除法的性质：7×5＝35，一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的积。详解：630÷35＝630÷（7×5）＝630÷7÷5故答案为：A例2：计算600÷25，下面四种算法中不正确的是（

）。A．600÷5÷5 B．6×（100÷25） C．600÷20＋600÷5 D．（600×4）÷（25×4）答案：C分析：（1）除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）；所以600÷25＝600÷5÷5；（2）计算出算式的结果进行推断；（3）计算出算式的结果进行推断；（4）被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变，所以600÷25＝（600×4）÷（25×4）。详解：A．依据除法的性质可知，600÷5÷5＝600÷（5×5）＝600÷25B．600÷25＝24，6×（100÷25）＝6×4＝24，所以600÷25＝6×（100÷25）C．600÷25＝24，600÷20＋600÷5＝30＋120＝150，所以600÷20＋600÷5算法不正确。D．依据商不变规律可知，600÷25＝（600×4）÷（25×4）故答案为：C例3：在括号里填上“＜”“＞”或“＝”。107685()106857

3平方千米()300公顷

2亿()20000000004800÷8()4800÷4

130×40()13×40

360÷4÷9()360÷（4×9）答案：＞＝＜＜＞＝分析：（1）整数比较大小时，要看他们的数位。数位多的那个数就大；假如数位相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大，那个数就大。（2）平方千米和公顷之间的进率是100，据此可知，3平方千米＝300公顷。（3）2亿是200000000，再与2000000000比较大小。（4）整数除法中，被除数不变，除数变小，商变大。（5）整数乘法中，一个因数不变，另一个因数变小，积变小。（6）依据除法的性质可知，计算360÷4÷9时，先计算4×9，再用360除以这个积，即360÷4÷9＝360÷（4×9）。详解：107685＞106857

3平方千米＝300公顷

2亿＝200000000，200000000＜2000000000，则2亿＜20000000008＞4，则4800÷8＜4800÷4

130＞13，则130×40＞13×40

360÷4÷9＝360÷（4×9）例4：欢欢发觉计算器上的按键“5”坏了，假如要计算630÷56，可以怎么办？请用算式表示你的想法：()。答案：630÷7÷8分析：计算630÷56时，按键“5”坏了不能按出56，可以依据除法的性质，将56看成7×8，先计算630÷7，再用商除以8。详解：用算式表示你的想法：630÷56＝630÷（7×8）＝630÷7÷8：基础过关练一、选择题1．某次雏鹰小队活动租车前往博物馆参观。有家长20人，同学160人，每辆大车可坐40人，租金900元；小车可坐20人，租金500元。下列方案（

）最省钱。A．5辆大车 B．9辆小车C．3辆大车3辆小车 D．4辆大车1辆小车2．下面不能说明“5×4＋4×3＝（5＋3）×4”成立的是（

）。A．B．C．D．3．集集在计算5×（●＋▲）时，错看成了5×●＋▲，结果比原来小。假如将相差的部分在图上圈出来，下面圈法正确的是（

）。A． B． C． D．4．求下图的面积，既可以列式为（20＋40）×30，也可以列式为20×30＋40×30。这两个算式之间的关系符合（

）。

A．乘法交换律 B．乘法安排律 C．乘法结合律 D．加法结合律5．小明买了4支圆珠笔，每支1.3元，在计算总价时，他是这么想的：小明的计算过程体现了（

）。1元×4＝4元3角×4＝12角＝1.2元4元＋1.2元＝5.2元A．乘法结合律 B．乘法安排律 C．加法结合律 D．乘法交换律6．下面可以用来说明“5×4＋3×4”与“（5＋3）×4”相等的是（

）。A．

B．

C．

D．

二、填空题7．每天在计算45×（口＋6）时，连犯了两次错误，请挂念解答怀疑。(1)每天把算式算成了45×口＋6，这样与原来的答案相差了()。(2)每天把算式看成了45×6＋口，算出的结果比正确答案少了88，正确答案应当是()。8．假如35×A＋35×B运用乘法安排律进行简便计算后，结果是3500，则A可以是()，B可以是()。（只写一种）9．（25×5）×2＝()，25×（5×2）＝()，所以（25×5）×2＝25×（5×2）像这样，三个数相乘时，先乘前两个数，或者先乘后两个数；积不变，这叫乘法()，用字母表示为()。10．用计算器计算“1356×49”时，发觉数字键“4”坏了，假如还用这个计算器，你会怎样计算呢？请写出算式：()。三、推断题11．28×（100＋1）＝28×100＋1。()12．101×99＝100×99＋99是依据乘法的安排律计算的。()13．103×25＝100×25＋3。()14．81×125的简便算法是80＋1×125。()15．计算98×101＝98×100＋98×1＝9898，这是依据乘法安排律进行简便运算的。()：培优提升练四、计算题16．看图列综合算式。17．看图列式计算。五、解答题18．某种产品由小明、小宇两人来完成，小明每天生产247个，小宇每天生产353个，小宇和小明各需要65天才能完成，问这批产品共有多少个？19．水果店购进苹果和梨各125箱。苹果每箱42元，梨每箱38元。水果店购进这些水果一共花了多少元？20．运动可以使我们的身体健康，心情愉悦。在运动会开幕式上，合唱社团需要舞蹈社团的18名同学伴舞。学校给伴舞的同学每人购买一套服装，一件上衣127元，一条裤子73元，一共需要多少元？21．图书馆里有8本同样的漫画书，每本漫画书有25页，每页有6幅画，这些漫画书共有多少幅画？22．学校合唱队的37名同学要参与演出，每人需要购买一套演出服，一件上衣126元，一条裤子74元。一共需要多少钱？23．学校为参与运动会的同学购置24套运动装（如图）。购买20套以上，每套优待10元，算一算，购置这些运动装共需要多少元？

24．学校阅览室要购进《儿童文学》和《当代学校生》两种杂志各120本，《儿童文学》每本9元，《当代学校生》每本11元。学校一共需要花多少元？

1．D分析：要求哪种方案最省钱，只需要将下列方案进行计算，再比较哪种方案花的钱最少，即可得出。详解：方案一：租大车5辆需租金：900×5＝4500（元）方案二：租小车9辆需租金：500×9＝4500（元）方案三：租大车3辆，小车3辆需租金：900×3＋500×3＝2700＋1500＝4200（元）方案四：租大车4辆，小车1辆需租金：900×4＋500＝3600＋500＝4100（元）4100＜4200＜4500也就是租大车4辆，小车1辆最省钱。故答案选：D2．B分析：（1）一格表示4，第一次跳了5格，表示为5×4，其次次跳了3格，表示为4×3，合起来表示5×4＋4×3，也可以说一共跳了（5＋3）格，表示（5＋3）×4，所以5×4＋4×3＝（5＋3）×4。（2）白圆一排5个，有3排，共有（5×3）个，黑圆一排有4个，有3排，共有（4×3）个，合起来有（5×3＋4×3）个；也可以是一排（5＋4）个，有3排，共有（5＋4）×3个；所以5×3＋4×3＝（5＋4）×3。（3）左边长方形的面积为（5×4）平方米，右边长方形的面积为（4×3）平方米，合起来面积为：（5×4＋4×3）平方米，把两个长方形拼成一个大长方形，大长方形的面积为（5＋3）×4平方米；所以5×4＋4×3＝（5＋3）×4。（4）5×4等于4本笔记本的钱数，3×4等于4支钢笔的钱数，所以（5×4＋4×3）为4本笔记本和4支钢笔的钱数；5＋3等于1本笔记本和1支钢笔的钱数，（5＋3）×4等于4本笔记本和4支钢笔的钱数；所以5×4＋4×3＝（5＋3）×4。详解：A．依据分析可知，图A可以表示5×4＋4×3＝（5＋3）×4。

B．依据分析可知，图B可以表示5×3＋4×3＝（5＋4）×3，不能表示5×4＋4×3＝（5＋3）×4。

C．依据分析可知，图C可以表示5×4＋4×3＝（5＋3）×4。

D．依据分析可知，图D可以表示5×4＋4×3＝（5＋3）×4。故答案为：B3．C分析：将5×（●＋▲）依据乘法安排律去括号，应是5个●与5个▲的和，由此可以看出少算了几个▲，再据图来解答。详解：5×（●＋▲）＝5×●＋5×▲由此可知少算了4个▲。A．4个●，不正确；B．5个●，不正确C．4个▲，是正确的；D．5个▲，不正确；故答案为：C点睛：此题主要考查同学对乘法安排律的把握状况。4．B分析：乘法交换律的特点是两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变；乘法安排律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；乘法结合律的特点是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变；加法结合律的特点是三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；依此选择即可。详解：依据分析可知，此图的面积，既可以列式为（20＋40）×30，也可以列式为20×30＋40×30。这两个算式之间的关系符合乘法安排律。故答案为：B点睛：解答此题的关键是应娴熟把握加法结合律、乘法交换律、乘法结合律，以及乘法安排律的特点。5．B分析：在小明的计算过程中，将每支1.3元，分成了1元和3角，分别与圆珠笔的支数相乘，再将得数相加，计算过程符合乘法安排律，据此解答即可。详解：小明的计算过程体现了乘法安排律。故答案选：B。点睛：本题考查乘法安排律的生疏以及实际应用。6．C分析：每排有汤圆的个数×每盒的排数×汤圆的盒数＝汤圆的总个数；黑圆圈每排的个数×黑圆圈的排数＋白圆圈每排的个数×白圆圈的排数＝圆圈的总个数，或（每排中黑圆圈的个数＋每排白圆圈的个数）×排数＝圆圈的总个数；每本书的价钱×本数＋每支笔的价钱×支数＝这些书和笔的总钱数，或（每本书的价钱＋每支笔的价钱）×书和笔共同的支数＝这些书和笔的总钱数；计算三条线段的长度之和，用加法计算；乘法安排律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；依此列式并选择即可。详解：A．此图列式为：4×3×5。B．此图列式为：5×3＋3×3或（5＋3）×3。C．此图列式为：5×4＋3×4或（5＋3）×4。D．此图列式为：5＋3＋4。由此可知，可以用来说明“5×4＋3×4”与“（5＋3）×4”相等的是。故答案为：C点睛：此题考查的是乘法安排律的特点，应先列出每个选项中的算式再进行选择。7．(1)264(2)360分析：（1）依据题意可知，要求与原式相差多少，用原式减去错误的式子，再利用乘法安排律，即可求出答案。（2）已知原式算出的结果比正确答案少了88，据此列式，求出方框内的数为多少，代入原式，即可求出正确答案。详解：（1）45×（口＋6）－（45×口＋6）＝45×口＋45×6－45×口－6＝45×6－6＝（45－1）×6＝44×6＝264（2）45×（口＋6）－（45×6＋口）＝45×口＋45×6－45×6－口＝45×口－口＝88依据乘法安排律可知：45×口－口＝44×口＝88则“口”的值为2。代入原式中，即可求得正确答案为360。点睛：本题主要考查的是乘法安排律的应用，解题关键在于找出题中的数量关系，即可得出答案。8．4060分析：计算35×A＋35×B时，先计算A＋B，再用35乘这个和，即35×A＋35×B＝35×（A＋B）。由于结果是3500，则A＋B＝3500÷35＝100，满足这两个数相加得100即可。详解：35×A＋35×B＝35×（A＋B）＝3500A＋B＝3500÷35＝100若A＝40，B＝100－40＝60。（答案不唯一）点睛：本题考查乘法安排律的应用，关键是求出A＋B＝100。9．250250结合律（a×b）×c＝a×（b×c）分析：先计算括号里面的，再计算括号外面的，计算出两个算式的结果；乘法结合律是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变；乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c）；据此解答。详解：依据分析：（25×5）×2＝125×2＝25025×（5×2）＝25×10＝250所以（25×5）×2＝250，25×（5×2）＝250，所以（25×5）×2＝25×（5×2）像这样，三个数相乘时，先乘前两个数，或者先乘后两个数；积不变，这叫乘法结合律，用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。点睛：把握乘法结合律的概念是解答本题的关键。10．1356×7×7分析：依据题意，把49分成两个数的乘积的形式，即49＝7×7，然后再求解即可。据此解答。详解：运用乘法结合律，把49分成7×7，即可进行计算。1356×49＝1356×（7×7）＝1356×7×7＝9492×7＝66444所以假如计算器的“4”坏了，可以将1356×49转化为1356×7×7。点睛：本题考查同学对乘法运算定律的把握。解决此题还可以运用乘法安排律将49看成（50－1）进行计算。11．×分析：乘法安排律是指两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；据此解答即可。详解：28×（100＋1）＝28×100＋1×28＝2800＋28＝282828×（100＋1）≠28×100＋1所以原题说法错误。故答案为：×点睛：此题考查的目的是能够机敏运用乘法安排律进行简便计算。12．√分析：乘法安排律：两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变，用字母表示为：a×（b＋c）＝a×b＋a×c。所以计算101×99时，把101分解成（100＋1），然后依据乘法安排律简算。详解：101×99＝（100＋1）×99＝100×99＋1×99＝9900＋99＝9999所以101×99＝100×99＋99是依据乘法的安排律计算的，此说法正确。故答案为：√点睛：乘法安排律是最常用的简便运算的方法，要娴熟把握，机敏运用。13．×分析：计算103×25时，可将103写成100＋3，然后再依据乘法安排律的特点进行简算，乘法安排律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；依此推断。详解：103×25＝（100＋3）×25＝100×25－3×25。故答案为：×点睛：娴熟把握乘法安排律的特点是解答此题的关键。14．×分析：乘法安排律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；据此可知，计算“81×125”时，把81看作是80与1的和，利用乘法安排律可以简算。详解：81×125＝（80＋1）×125＝80×125＋1×125＝10000＋125＝10125所以，81×125的简便算法是80×125＋1×125；故原题干说法错误。故答案为：×点睛：正确理解乘法安排律的意义并机敏应用，是解答此题的关键。15．√分析：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。据此解答。详解：98×101＝98×100＋98×1＝9898计算过程利用了乘法安排律。所以原题说法正确。故答案为：√点睛：本题考查了乘法安排律在计算中的运用，需娴熟把握运算律公式。16．630－235－165＝230（米）分析：先用总长度630米减235米，再减165米，据此解答即可。详解：17．520米分析：由图可以看出，小琼家到学校之间的每条线段表示60米，即小琼家离学校的距离为60×4；同理，小欣家离学校的距离是70×4；要求总共长多少米，把这两部分加起来即可。详解：60×4＋70×4＝（60＋70）×4＝130×4＝520（米）点睛：解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，依据基本数量关系列式解答。18．39000个分析：依据题意可知，小明每天生产的个数×小明完成的天数＋小宇每天生产的个数×小宇完成的天数＝这批产品的总个数，由于小宇和小明各需要65天才能完成，因此可依据乘法安排律的特点进行简算，依此解答。详解：247×65＋353×65＝（247＋353）×65＝600×65＝39000（个）答：这批产品共有39000个。点睛：此题考查的是运用乘法安排律的特点解答实际问题，应先找到题目中对应的关系再进行解答。19．10000元分析：依据题意可知，每箱苹果的价钱×购进苹果的箱数＋每箱梨的价钱×购进梨的箱数＝购进这些水果一共花的钱数，依此列式，由于购进苹果和梨各125箱，因此可依据乘法安排律的特点进行简算，依此解答。详解：42×125＋38×125＝（42＋38）×125＝80×125＝10000（元）答：水果店购进这些水果一共花了10000元。点睛：此题考查的是经济问题的计算，运用乘法安排律的特点进行计算更加简便。20．3600元分析：依据题意可知，每件上衣的价钱×上衣的件数＋每条裤子的价钱×裤子的条数＝买这些衣服需要的钱，依此列式，由于衣服需要18件，裤子需要18条，因此可依据乘法安排律的特点进